Tính toán lượng tử

Tủ sách mở Wikibooks
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Tính toán lượng tử là các kỹ thuật tính toán dựa trên các hệ thống vận hành bởi các quy luật của cơ học lượng tử. Sách này giới thiệu các nền tảng cơ học lượng tử của tính toán lượng tử, các khái niệm cơ bản của thông tin lượng tử, một số thuật toán lượng tử, chẳng hạn thuật toán có thể phá mã RSA vốn không dễ dàng bẻ khóa được bằng thuật toán của máy tính cổ điển, và một thiết kế của máy tính lượng tử. Người đọc cần có kiến thức về điện từ học, cơ học, quang học sóng, giải tích, giải tích đa biến, phương trình vi phân, biến đổi Fourier, số phức, đại số tuyến tính, xác suất thống kêtoán học rời rạc, trước khi đọc sách này.

Sóng điện từ[sửa]

Ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, lan truyền trong không gian vừa có tính hạt và vừa có tính sóng (gọi là sóng điện từ). Khi cho ánh sáng đi qua các khe của thí nghiệm giao thoa Young, các vân giao thoa có thể được quan sát. Thí nghiệm này cho thấy tính chất sóng của ánh sáng. Tuy nhiên, khi đặt các cảm biến ánh sáng rất nhạy tại các vị trí nhận sáng, sẽ đếm được ánh sáng đi vào cảm biến từng hạt một. Các hạt của ánh sáng nói riêng, hay của sóng điện từ nói chung, gọi là photon.

Với ánh sáng, các thí nghiệm giao thoa với máy đếm hạt photon cho thấy:

Xác suất, trong mỗi đơn vị thời gian, để tìm thấy một hạt photon, trong một vùng thể tích nhỏ quanh một điểm, tỷ lệ với cường độ ánh sáng, tức là tỷ lệ với bình phương độ lớn của điện trường của sóng điện từ trường tại điểm đó [1].

Từ các phương trình Maxwell mô tả điện từ trường, có thể giải ra được một nghiệm của điện từ trường lan truyền trong chân không theo hàm số sau, gọi là sóng phẳng:

Ở đây, điện trường hoặc từ trường, rvéc tơ vị trí, tthời gian, iđơn vị ảo, hằng số Planck rút gọn (bằng hằng số Planck chia cho ), p là véc tơ động lượng hạt photon đang lan truyền trong chân không, E là năng lượng của hạt photon đang lan truyền trong chân không.

Từ biểu thức trên, có thể thấy sóng ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, tuần hoàn trong không gian theo bước sóng:

Sóng ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ:

hay tần số:

Sóng vật chất[sửa]

Khi lặp lại thí nghiệm giao thoa Young cho các vật thể, đặc biệt là các vật thể nhỏ hơn nanomét, như electron, proton, ... các vân giao thoa vẫn xuất hiện, tương tự như với trường hợp của photon. Louis de Broglie đã tổng quát hóa, từ trường hợp của photon, ra rằng chuyển động của mọi vật đều liên hệ với một sóng, gọi là sóng vật chất. Nói cách khác mọi vật chất vừa có tính hạt và vừa có tính sóng. Tính chất này còn được gọi là lưỡng tính sóng hạt.

Sóng vật chất, đôi khi cũng được gọi là hàm sóng, có thể là hàm của vị tríthời gian. Tuy nhiên, nó cũng có thể được biểu diễn như là hàm số phụ thuộc vào các biến số khác. Với hạt vật chất tổng quát, các thí nghiệm giao thoa có sử dụng các máy đếm hạt cho thấy:

Xác suất trong mỗi đơn vị thời gian, để tìm thấy một hạt, trong một vùng thể tích nhỏ quanh một điểm, tỷ lệ với bình phương độ lớn của sóng vật chất tại điểm đó[2].

Với một hạt chuyển động tự do trong chân không, hàm sóng của nó, giống như với photon đã nêu ở trên, là:

Ở đây, là hàm sóng của hạt.

Như vậy, với một hạt vật chất tổng quát, bước sóng liên hệ với động lượng theo công thức tương tự như trường hợp của photon, là:

Bước sóng này còn được gọi là bước sóng de Broglie[3].

Tần số của hàm sóng cũng liên hệ với năng lượng của hạt, tương tự như trường hợp của photon, là:

Cơ học lượng tử[sửa]

Cơ học lượng tử là lý thuyết vật lý mô tả chuyển động của vật chất, đặc biệt là các hạt nhỏ hơn cỡ nanomét, trong đó chuyển động của hạt được xác định thông qua sóng vật chất ứng với hạt. Cơ học lượng tử đã được thực nghiệm chứng tỏ là một lý thuyết có độ chính xác cao.

Trong cơ học lượng tử, chuyển động của vật chất được mô tả đầy đủ bởi hàm sóng của vật chất. Từ hàm sóng, có thể tìm ra được mọi đại lượng vật lý liên quan đến vật chất.

Đại lượng vật lý và Toán tử[sửa]

Với một đại lượng vật lý tổng quát, gọi là O, trong cơ học lượng tử, có thể xác định một toán tử Hermite tương ứng với đại lượng vật lý đó, gọi là thỏa mãn tính chất:

Nếu một hệ vật chất đang ở trạng thái ứng với một giá trị xác định của O gọi là O0, thì ; ở đây là hàm sóng của hệ vật chất ở trạng thái đang xét, gọi là một hàm riêng của và O0 là trị riêng ứng với hàm riêng này.

Ví dụ, với một hạt vật chất chuyển động tự do trong chân không, động lượng của nó là xác định, là p, và năng lượng của nó cũng là xác định, là E. Hàm sóng, như đã nêu ở trên, là:

Có thể kiểm nghiệm rằng toán tử , với là toán tử gradient, thỏa mãn:

Cũng có thể kiểm nghiệm rằng toán tử , với toán tử đạo hàm riêng phần theo thời gian t, thỏa mãn:

Như vậy với đại lượng động lượng p, toán tử tương ứng là ; và đại lượng năng lượng E, toán tử tương ứng là .

Trường hợp hệ vật chất ở trạng thái mà đại lượng O đang không ở một giá trị cố định, thì chỉ có thể xác định được giá trị trung bình và sai số của đại lượng O. Cụ thể, giá trị trung bình là:

Ở đây, liên hợp phức của và khi đó là bình phương độ lớn của hàm sóng; dV là vi thể tích và tích phân trên toàn không gian. Sai số của O, là căn của phương sai:

Ví dụ, với hạt vật chất chuyển động tự do, vị trí của hạt không xác định ở một giá trị cố định. Khi đó chỉ có giá trị trung bình của vị trí có thể được xác định.

Đồng thời, do phân bố xác suất của vị trí của hạt tỷ lệ với bình phương của độ lớn hàm sóng, như đã nêu ở mục trên, giá trị trung bình của tọa độ cũng có thể được tính trực tiếp là:

Từ đó suy ra:

Bài tập ví dụ

Mô men động lượng, L, liên hệ với vị trí, r, và động lượng, p, qua L = r×p. Hãy xác định toán tử .

Lời giải

Nếu một đại lượng vật lý A có thể được xác định thông qua các đại lượng vật lý B1, B2, ... , Bn qua liên hệ:

A = f(B1, B2, ... , Bn)

thì các toán tử của chúng cũng liên hệ tương tự:

Ví dụ, vận tốc của một hạt v = p/m, với m là khối lượng hạt, khi hạt chuyển động chậm so với tốc độ ánh sáng, thì toán tử vận tốc là:

Ví dụ nữa, động năng của một hạt là K = m |v|2 / 2 = m (v.v) / 2, thì toán tử động năng là:

Ở đây toán tử Laplace. Ví dụ nữa, thế năng của một hạt có thể là một hàm số phụ thuộc vào vị trí r, là P = V(r), thì toán tử thế năng là:

Phương trình Schrodinger[sửa]

Với một hệ vật chất chuyển động trong một trường thế năng, năng lượng, gọi là E, của hệ bằng động năng, gọi là K, cộng thế năng, gọi là P. Sử dụng toán tử năng lượng, toán tử động năng, và toán tử thế năng đã nêu ở trên, thu được:

E = K + P

và, khi tác động toán tử ở hai vế lên hàm sóng :

Phương trình thu được ở trên chính là phương trình Schrodinger, cho trường hợp hạt chuyển động chậm so với tốc độ ánh sáng, theo tên của Erwin Schrödinger, người đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926[4]. Cụm toán tử còn được gọi là toán tử Hamilton, ký hiệu là .

Sự biến đổi của hàm sóng theo thời gian hoàn toàn được xác định thông qua phương trình Schodinger. Cho một trường thế năng mà một hệ vật chất chuyển động bên trong, có thể giải phuơng trình Schrodinger để thu được hàm sóng thỏa mãn, và từ hàm sóng có thể xác định các đại lượng vật lý của hệ vật chất đang quan tâm. Phương trình Schrodinger do đó đóng một vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử, tuơng tự như vai trò của phương trình chuyển động trong định luật hai Newton đối với cơ học cổ điển.

Nếu thế năng cũng phụ thuộc vào thời gian, phương trình Schrodinger nêu trên trở thành:

Không gian véc tơ hàm sóng[sửa]

Các hàm sóng, ký hiệu , có thể được ký hiệu là các véc tơ phức, cùng với tích vô hướng được định nghĩa như bên dưới đây, tạo thành một không gian véc tơ, gọi là không gian Hilbert:

Paul Dirac ký hiệu véc tơ hàm sóng là , liên hợp phức của véc tơ hàm sóng là và tích vô hướng hai véc tơ hàm sóng là .

Trong không gian véc tơ của hàm sóng, có thể có nhiều hệ véc tơ cơ sở.

Hệ cơ sở rời rạc[sửa]

Xét một hệ véc tơ cơ sở gồm số lượng hữu hạn, hoặc số lượng đếm được, các véc tơ cơ sở , , ... , , một hàm sóng luôn có thể được biểu diễn là chồng chập tuyến tính của các véc tơ cơ sở này:

Trong đó các hệ số Ai được gọi là thành phần của véc tơ khi chiếu lên véc tơ :

Khi đã biết hệ cơ sở, thì một véc tơ có thể hoàn toàn được xác định bởi các hệ số A1, A2, ..., và có thể viết là véc tơ cột:

Liên hợp phức của nó là véc tơ hàng:

Tích vô hướng là:

Ở đây AiBj là các thành phần của véc tơ .

Bài tập ví dụ

Cho trạng thái một hệ vật lý trong không gian véc tơ hai chiều, chưa chuẩn hóa, là v1 = (1+i, 2e3i). Cho trạng thái khác, cũng chưa chuẩn hóa, là v2 = (3-2i, 4e-2i). Tính tích vô hướng <v1|v2>.

Lời giải

Mọi toán tử , ứng với một đại lượng vật lý O nào đó, đều là tuyến tính. Khi tác động lên một hàm sóng , thì kết quả thu được có thể biểu diễn, trong hệ cơ sở đã chọn, là véc tơ cột bằng với tích ma trận sau:

Với O là ma trận vuông với hệ số ở hàng i cột j là:

Ở đây, tích vô hướng được viết tắt là .

Như vậy, giá trị trung bình của đại lượng vật lý O, ứng với toán tử , của hệ vật chất ở trạng thái hàm sóng là:

Tính toán trong hệ cơ sở , , ... , :

Bài tập ví dụ

Hãy chuẩn hóa véctơ trong không gian véc tơ hai chiều .

Lời giải

Véc tơ chuẩn hóa là .
Chú ý rằng:

Suy ra:

Với mọi toán tử , ứng với một đại lượng vật lý O nào đó, thì luôn tồn tại các hàm sóng , , ... được gọi là hàm riêng của toán tử này, thỏa mãn:

Ở đây Oigiá trị riêng ứng với hàm riêng . Các hàm riêng là các hàm sóng mà ở trạng thái đó hệ vật chất có giá trị đại lượng O là xác định và duy nhất ở giá trị Oi. Tập hợp các hàm riêng , , ... luôn có thể được chuẩn hóa, để tạo thành một hệ cơ sở trực giao chuẩn hóa của không gian véc tơ Hilbert các hàm sóng. Một hệ có sở , , ... trực giao chuẩn hóa là hệ cơ sở thỏa mãn:

Tức là tích vô hướng hai véc tơ bất kỳ trong hệ bằng 0 - tuơng đương hai véc tơ trực giao với nhau, và tích vô hướng của véc tơ bất kỳ với chính nó bằng một - tương đương độ dài véc tơ là 1 hay véc tơ đã chuẩn hóa. Ở đây là ký hiệu delta Kronecker bằng 0 khi i khác j và bằng 1 khi i bằng j.

Xét một trường hợp đặc biệt là ma trận O của toán tử trong hệ cơ sở là các hàm riêng của của :

Giá trị trung bình của đại lượng O với hàm sóng là:

So sánh với trường hợp O là vị trí r đã trình bày ở các mục trước, có thể thấy Ai2 chính là xác suất tìm thế hệ có giá trị đại lượng OOi.

Hệ cơ sở liên tục[sửa]

Thực tế thì cũng tồn tại trường hợp hệ cơ sở của không gian Hilbert là một tập hợp có số lượng không đếm được các véc tơ. Ví dụ, xét đại lượng động lượng p, các hàm riêng của động lượng, là các hàm mà ứng với trạng thái động lượng của hệ vật chất là xác định ở giá trị duy nhất p, gọi là , tức ứng với trường hợp hệ vật chất chuyển động tự do như đã bàn ở các mục trên:

Do có một số lượng không đếm được các giá trị p, các giá trị p biến thiên liên tục, nên có một số lượng không đếm được các tạo nên một hệ cơ sở của không gian các hàm sóng. Một ví dụ khác, xét đại lượng vị trí r, các hàm riêng của vị trí, , cũng tạo thành một hệ cơ sở với số lượng không đếm được các véc tơ, của không gian Hilbert các hàm sóng, do có một số lượng không đếm được các vị trí r. là các hàm mà ứng với trạng thái vị trí của hệ vật chất là xác định ở giá trị duy nhất r.

Khi hệ cơ sở chứa một số lượng không đếm được các hàm sóng, thì các tổng trong các biểu thức bên trên (cho hệ cơ sở chứa một số lượng đếm được các hàm sóng) trở thành các tích phân. Cụ thể, biểu diễn hàm sóng bất kỳ như chồng chập của các hàm sóng trong hệ cơ sở chứa các hàm riêng của một đại lượng vật lý O:

Với A(O) là vẫn là thành phần của véc tơ khi chiếu lên véc tơ :

Trong hệ cơ sở đã biết, chứa các hàm riêng của một đại lượng vật lý O, hàm A(O) hoàn toàn đủ chứa mọi thông tin của hàm sóng . Do vậy, hàm A(O) đôi khi cũng được viết là . Hàm A(O) thay thế biểu diễn véc tơ cột của các hệ số Ai cho trường hợp số lượng véc tơ trong hệ cơ sở là không đếm được.

Bài tập ví dụ

Cho trạng thái một hệ vật lý, v, trong không gian véc tơ có số chiều không đếm được của các hàm riêng của đại lượng vật lý O chạy liên tục từ 0 đến 1, chưa chuẩn hóa, thể hiện bằng hàm A(O) = O2+iO. Hãy chuẩn hóa véc tơ trạng thái này.

Lời giải

Ở đây:

Vậy, véc tơ chuẩn hóa là:

Tích vô hướng hai véc tơ hàm sóng, biểu diễn trong hệ cơ sở chứa số lượng không đếm được các hàm riêng của một đại lượng vật lý O là:

Ở đây A(O) và B(O) là các thành phần của véc tơ .

Quay trở lại định nghĩa tích vô hướng được nêu ra ở ngay đầu phần này:

Có thể thấy rằng chính là thành phần A(O), khi Or, của . Từ đây, suy ra:

Nói cách khác thực tế chỉ là hình chiếu của lên véc tơ . chỉ là một hình thức biểu diễn trạng thái theo vị trí r.

Bản thân trạng thái có thể có rất nhiều cách biểu diễn, không nhất thiết cứ phải biểu diễn phụ thuộc vào r. Tổng quát, một cách biểu diễn theo một đại lượng O là:

với là hàm riêng của toán tử . Ví dụ, khi biểu diễn trạng thái theo động lượng p:

Cuối cùng, giá trị trung bình của đại lượng O với hàm sóng là:

Hệ cơ sở trực giao chuẩn hóa chứa một số lượng không đếm được các hàm riêng , của một đại lượng vật lý O, thỏa mãn :

Với là hàm Dirac delta.

Đo lường[sửa]

Bài tập ví dụ

Xét hệ gồm 2 thành phần, trong đó trạng thái của thành phần 1 khi đo đại lượng O có thể sụp về một trong các hàm riêng của toán tử , ứng với các kết quả đo, là các trị riêng O1O2. Nếu hệ đang ở trạng thái:

và nếu khi thực hiện phép đo đại lượng O trên thành phần 1, thu được kết quả đo O1, thì lúc đó thành phần 2 ở trạng thái nào?

Lời giải

Với kết quả đo O1 thu được trên thành phần 1, chứng tỏ trạng thái của hệ sau khi đo là:

Từ đây suy ra thành phần 2, sau khi đo, ở trạng thái .

Trong cơ học lượng tử, việc thực hiện một phép đo lường một đại lượng vật lý nào đó trên một hệ vật lý tương đương với việc thực hiện một tương tác vào hệ và có thể làm biến đổi trạng thái của hệ.

Hệ cơ sở rời rạc[sửa]

Xét một đại lượng vật lý cần đo, gọi là O cùng với nó là toán tử . Toán tử này có các hàm riêng tạo thành một hệ cơ sở của không gian véc tơ các hàm sóng của một hệ vật lý. Xét hệ vật lý đang ở trạng thái:

Việc thực hiện phép đo, để xác định giá trị của đại lượng O của hệ vật lý, tương đương với thực hiện phép toán là phép chiếu trên hàm sóng , khiến nó bị sụp đổ, một cách hoàn toàn ngẫu nhiên, về một trong các hàm riêng, ví dụ về . Xác suất để sụp đổ về chính bằng . Nếu, và chỉ nếu, sụp đổ về thì giá trị đại lượng O thu được từ phép đo là trị riêng ứng với hàm riêng .

Hệ cơ sở liên tục[sửa]

Trường hợp đại lượng vật lý cần đo, gọi là O, có toán tử với các hàm riêng trong đó O chạy liên tục trên một miền giá trị, thì hệ vật lý ở trạng thái tổng quát có thể được biểu diễn trên hệ cơ sở liên tục các hàm riêng là:

Việc thực hiện phép đo, để xác định giá trị của đại lượng O của hệ vật lý, tương đương với thực hiện phép toán là phép chiếu trên hàm sóng , khiến nó bị sụp đổ, một cách hoàn toàn ngẫu nhiên, về một trong các hàm riêng, ví dụ về . Xác suất để giá trị đại lượng O thu được từ phép đo, nằm trong khoảng từ O1 đến O2 là:

Sai số đo[sửa]

Như vậy, nếu hệ vật lý đang ở trong trạng thái ứng với đúng một trong các hàm riêng của thì hàm sóng có xác suất 100% sụp đổ về chính nó và giá trị thu được của phép đo có xác suất 100% là trị riêng ứng với hàm riêng này. Khi đó phép đo có sai số bằng không.

Trường hợp tổng quát thì nếu có nhiều hệ vật lý ở cùng một trạng thái thì cùng thực hiện phép đo trên chúng sẽ có thể thu được các kết quả khác nhau, ứng với những trị riêng khác nhau, một cách ngẫu nhiên theo xác suất ứng với các trị riêng này như đã nêu ở trên. Giá trị trung bình của các phép đo này, như đã trình bày ở trên, là:

Và sai số của phép đo là:

Tương tác khi đo[sửa]

Khi thực hiện phép đo trên một hệ vật lý, trong nhiều trường hợp, chúng ta đã phá hủy và làm thay đổi trạng thái của nó, khiến trạng thái của nó sụp đổ vế một trong các hàm riêng. Tuy nhiên, nếu hệ vật lý đã ở trong trạng thái của một trong các hàm riêng, có những kỹ thuật đo mà có xác suất cao là không cần có tương tác vật lý với hệ, mà vẫn biết được trạng thái của hệ. Mục "Đo lường không tương tác" dưới đây có trình bày một số kỹ thuật như vậy.

Giao hoán tử[sửa]

Xét hai toán tử , ứng với hai đại lượng vật lý AB. Giao hoán tử của chúng là:

Nếu giao hoán tử bằng toán tử 0 thì hai toán tử giao hoán.

Bài tập ví dụ

Hãy xác định toán tử .

Lời giải

Ví dụ, xét toán tử là các toán tử ứng với đại lượng động lượng theo phương x và tọa độ x của vị trí:

Vậy

và:

Nghĩa là là không giao hoán.

Có định lý trong đại số tuyến tính phát biểu rằng:

Nếu, và chỉ nếu, hai toán tử là giao hoán thì tồn tại các hàm riêng chung của hai toán tử này

Điều này nghĩa là nếu giao hoán, thì tồn tại những hàm sóng mà giá trị của đại lượng A và của đại lượng B cùng đồng thời được xác định với sai số bằng 0, các giá trị này là các giá trị riêng của hàm sóng , khi ở vai trò hàm riêng của và hàm riêng của .

Cũng theo đại số tuyến tính:

Nếu hai toán tử là không giao hoán thì tích của sai số đại lượng A và sai số đại lượng B lớn hơn hoặc bằng

Đây chính là nguyên lý bất định Heisenberg. Ví dụ, với không giao hoán:

Một tính chất nữa của giao hoán tử là:

Xét đạo hàm theo thời gian của giá trị trung bình của một đại lượng A:

Sử dụng phương trình Schrodinger:

thu được:

Đây là định lý Ehrenfest tổng quát. Từ định lý này, suy ra một số trường hợp con.

Toán tử giao hoán nên . Còn:

Vậy:

Tức vận tốc trung bình bằng động lượng trung bình chia cho khối lượng. Tương tự, có thể chứng minh:

Như vậy về mặt hình thức, các giá trị trung bình trong cơ học lượng tử tuân theo cơ học cổ điển của Newton.

Đo lường không tương tác[sửa]

Mặc dù việc đo lường, trong cơ học lượng tử, khiến cho một hệ vật lý có thể bị sụp về trạng thái riêng của toán tử đo, tuy nhiên, nếu hệ đã nằm trong trạng thái riêng, có thể thực hiện việc đo mà có xác suất là không xảy ra tương tác nào với hệ vật lý đang xét.

Xét bài toán của một công ty chế tạo các hạt nhạy sáng, dùng trong nhiếp ảnh. Các hạt này có thể ở một trong hai trạng thái. Trạng thái "sống" là nếu gặp ánh sáng thì sẽ hấp thụ ánh sáng và chuyển thành trạng thái còn lại. Trạng thái còn lại là "chết" và không tương tác với ánh sáng nữa. Công ty này muốn tìm cách đo xem trong các hạt đang có, có bao nhiêu hạt "sống" và bao nhiêu hạt "chết". Khó khăn của việc này là phép đo không được gây ra tương tác giữa ánh sáng với hạt, vì có thể khiến cho các hạt "sống" bị chuyển thành hạt "chết".

Elitzur-Vaidman[sửa]

Phương pháp đo có xác suất không tương tác của Elitzur & Vaidman, hoạt động với hạt "sống".
Phương pháp đo có xác suất không tương tác của Elitzur & Vaidman, hoạt động với hạt "chết".

Năm 1993, Elitzur và Vaidman đã đề xuất một phương án đo mà trong đó có xác suất xác định được trạng thái của hạt mà không tương tác với hạt [5] Thí nghiệm thực tế thực hiện phương án này đã được triển khai thành công vào năm 1994 bởi Anton Zeilinger, Paul Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog và Mark A. Kasevich.[6].

Thí nghiệm được bố trí như ở hai hình hai bên. Nguồn sáng phát ra chỉ một photon.

Nếu hạt "chết", hình bên trái, thì máy đo D1 có xác suất nhận được photon là 100%, còn máy đo D2 có xác suất nhận được photon là 0%.

Nếu hạt "sống", hình bên phải, thì có 50% khả năng photon gặp phải hạt và bị hấp thụ, hạt bị chuyển thành "chết" và cả máy đo D1 và máy đo D2 đều không nhận được photon. Có 25% khả năng D1 nhận được photon, còn D2 không nhận được photon, tình huống này không giúp xác định được trạng thái của hạt, dù hạt không bị tương tác, vì kết quả đo không phân biệt với tình huống hạt "chết" ở trên. 25% còn lại là D1 không nhận được photon, còn D2 nhận được photon, tình huống này cho phép xác định hạt là "sống" đồng thời hạt không bị tương tác.

Kwait[sửa]

Phương pháp đo không tương tác của Kwait, hạt "sống".
Phương pháp đo không tương tác của Kwait, hạt "chết".

Năm 1995, Paul Kwiat đề xuất một phương án đo khác mà xác suất để xác định được trạng thái của hạt đồng thời không tương tác với hạt có thể được tăng lên gần với 100% [7].

Thí nghiệm được bố trí như ở hai hình hai bên. Nguồn sáng phát ra chỉ một photon.

Nếu hạt "chết", hình bên trái, thì 100% xác suất photon quay trở về phía máy đo là bị phân cực vuông góc với phương ban đầu, không lọt qua được kính phân cực, dẫn đến việc máy đo không nhận được photon.

Nếu hạt "sống", hình bên phải, thì có xác suất mà photon quay trở về phía máy đo, lọt qua được kính phân cực, do đó giúp phân biệt rõ hạt "sống" (so với trường hợp hạt "chết" nêu trên) mà hạt vẫn không bị tương tác. Ở đây là góc quay mặt phẳng phân cực của hai kính quay phân cực đặt hai bên gương bật tắt, là số lần photon đi qua gương bán mạ. Có thể đặt nhỏ tùy ý để tiến đến 100%.

Thông tin lượng tử[sửa]

Trong máy tính cổ điển, thông tin có thể được biểu diễn ở dạng chuỗi các bit. Mỗi bit có thể nhận giá trị 0 hoặc 1.

Trong tính toán lượng tử, thông tin có thể được biểu diễn ở dạng chuỗi các qubit. Mỗi qubit là một hệ lượng tử có trạng thái có thể biểu diễn trong không gian véc tơ 2 chiều, có hệ cơ sở gồm hai véc tơ riêng của một toán tử ứng với một đại lượng vật lý nào đó, gọi là hai trạng thái cơ bản |0> và |1>.

1 qubit[sửa]

Trạng thái của qubit có thể được thể hiện trên mặt cầu Bloch.

Mọi trạng thái của qubit có thể biểu diễn bởi véc tơ trạng thái:

Ở đây ab là các số phức thỏa mãn a2+b2=1 với hàm sóng đã được chuẩn hóa. Có thể biểu diễn các tham số ab theo hai tham số khác, là như sau:

Ở đây, .

Mỗi điểm trên một mặt cầu, gọi là mặt cầu Bloch, đều tương ứng với một bộ góc xác định, và do đó tương ứng với một trạng thái của qubit. Điểm ở trên đỉnh của mặt cầu Bloch là trạng thái |0>, còn điểm ở dưới đáy của mặt cầu Bloch là trạng thái |1> và tất cả các trạng thái .

Ngoài hệ cơ sở |0> và |1>, trạng thái của qubit cũng có thể được biểu diễn trên hệ cơ sở khác, ví dụ gồm |+> và |->:

2 qubit[sửa]

Trong máy tính cổ điển, một chuỗi hai bit có thể nhận một trong bốn giá trị 00, 01, 10 hoặc 11.

Trong tính toán lượng tử, trạng thái của chuỗi hai qubit là véc tơ nằm trong không gian véc tơ 4 chiều. Mọi trạng thái của chuỗi 2 qubit có thể biểu diễn bởi véc tơ trạng thái:

Ở đây, |00> là trạng thái qubit thứ nhất là xác định ở |0>, qubit thứ hai cũng ở trạng thái xác định là |0>, hay còn được viết là:

Tương tự:

Có những trạng thái của chuỗi 2 qubit ứng với qubit thứ nhất có trạng thái xác định ở và qubit thứ hai có trạng thái xác định ở :

Tuy nhiên có nhiều trạng thái tổng quát mà không thể phân tích nhân tử thành tích của hai trạng thái xác định của hai qubit. Khi đó, không thể biết chính xác trạng thái của từng qubit, nhưng vẫn biết chính xác trạng thái của chuỗi hai qubit. Trạng thái hai qubit như vậy gọi là trạng thái vướng víu lượng tử.

4 véc tơ , , là một hệ cơ sở, gồm toàn các trạng thái không vướng víu, của không gian véc tơ chứa các trạng thái của 2 qubit. Tuy nhiên cũng tồn tại hệ cơ sở chứa toàn các trạng thái vướng víu, của không gian véc tơ chứa các trạng thái của 2 qubit. Hệ các trạng thái Bell là một hệ như vậy, gồm 4 véc tơ:

Một phép đo thực hiện trên chuỗi các qubit sẽ làm trạng thái của chuỗi sụp đổ về một trong các véc tơ cơ sở. Phép đo Bell là phép đó khiến trạng thái của hệ 2 qubit sụp về một trong các trạng thái Bell.

Tính toán lượng tử[sửa]

Trong tính toán cổ điển, có các "cổng" để thực hiện các phép tính, nhận đầu vào là bit hoặc chuỗi các bit, và cho đầu ra là kết quả phép tính. Với cổng nhận 1 bit, có cổng NOT, cổng ZERO, ... tổng cộng 4 cổng. Với cổng nhận 2 bit, có cổng AND, OR, XOR, NAND, NOR, ... tổng cộng 16 cổng. Có thể chứng minh rằng mọi biểu thức Boole có thể được biểu diễn bằng cổng NOT, cổng AND và cổng OR, mà các cổng này lại đều có thể biểu diễn bằng công NAND (hoặc cổng NOR) nên mọi mạch tính toán đều có thể được xây dựng bằng cổng NAND (hoặc cổng NOR). Ngoài ra, cũng có thể chứng minh rằng mọi biểu thức Boole đều có thể được biểu diễn bằng cổng Toffoli. Các bộ {NOT, AND, OR} hoặc {NAND} hoặc {NOR} hoặc {Toffoli} được gọi là bộ cổng đầy đủ.

Trong tính toán lượng tử, cũng có các "cổng lượng tử" để thực hiện phép tính lượng tử. Cổng này nhận đầu vào là chuỗi qubit, và cho ra kết quả phép tính. Cũng có thể chứng minh rằng mọi phép tính lượng tử đều có thể được xấp xỉ, đến độ chính xác tùy ý, bằng một tổ hợp hữu hạn của các cổng lượng thuộc về một bộ cổng đầy đủ.

Cổng một qubit[sửa]

Trạng thái của một qubit là một véc tơ trong không gian véc tơ 2 chiều. Một phép tính lượng tử với đầu vào là một qubit sẽ tương ứng với một phép toán tuyến tính trên véc tơ trong không gian véc tơ 2 chiều này. Tức là tương đương việc nhân một ma trận vào với véc tơ thể hiện trạng thái qubit đầu vào, với ma trận là ma trận của phép tính. Một cách tổng quát, ma trận này là:

Ở đây, a, b, c, d là các số phức.

Một số cổng nhận đầu vào là một qubit hay được đề cập đến được liệt kê ở dưới đây.

Cổng Pauli[sửa]

Ba cổng Pauli, gọi là cổng Pauli X, ứng với toán tử , cổng Pauli Y, ứng với toán tử , và cổng Pauli Z, ứng với toán tử , có ma trận là:

Bài tập ví dụ

Qubit đang ở trạng thái |0>. Xác suất mà phép đo spin theo trục X thu được kết quả bằng 1 là bao nhiêu?

Lời giải

Biểu diễn trạng thái của qubit trên hệ cơ sở của các véc tơ riêng của :

Xác suất thu được spin theo trục X bằng 1, ứng với trạng thái qubit sụp về |+>, là:

Bài tập nâng cao

Qubit đang ở trạng thái |0>. Xác suất mà phép đo spin dọc theo phương véc tơ e=(sinΘ cosΦ, sinΘ sinΦ, cosΘ) thu được kết quả bằng 1 là bao nhiêu?

Gợi ý lời giải

Đại lượng cần đo là S.e = sinΘ cosΦ X + sinΘ sinΦ Y + cosΘ Z. Toán tử của đại lượng cần đo, do đó có ma trận là:

Biểu diễn trạng thái của qubit trên hệ cơ sở của các véc tơ riêng của ma trận này, sẽ thu được kết quả đo ra trị riêng bằng 1 với xác suất cos(Θ/2)2.

Cổng Pauli X còn được gọi là cổng NOT. Cổng này có ý nghĩa là tạo ra trang thái "ngược" với trạng thái |0> hoặc |1> đầu vào, tương đương với việc quay trạng thái qubit trên mặt cầu Bloch sang điểm đối diện với nó trên mặt cầu.

Ba toán tử Pauli có mối liên hệ với nhau tương tự như ba toán tử thành phần mô men động lượng , , , ví dụ:

Trong cơ học lượng tử, bộ ba toán tử nào liên hệ với nhau theo kiểu trên đều được coi như tương ứng với đại lượng mô men động lượng. Cụ thể các toán tử Pauli tương ứng với một dạng mô men động lượng đặc biệt của hệ vật chất gọi là spin. Toán tử X ứng với đại lượng vật lý spin theo trục X, toán tử Y ứng với spin theo trục Y, toán tử Z ứng với spin theo trục Z. Véc tơ spin là:

Véc tơ riêng của Pauli Z là |0> và |1>, ứng với trị riêng 1 và -1:

Véc tơ riêng của Pauli X là |+> và |->, ứng với trị riêng 1 và -1:

Véc tơ riêng của Pauli Y là , ứng với trị riêng 1 và -1:

.

Hadamard[sửa]

Biểu diễn mạch chứa cổng Hadamard
Mạch khởi tạo thanh ghi lượng tử

Cổng Hadamard có ma trận là:

Cổng Hadamard có thể được biểu diễn trên mạch tính toán lượng tử như ở hình bên phải.

Cổng này có ý nghĩa là tạo ra trang thái "trộn" đều từ trạng thái |0> hoặc |1> đầu vào.

Một mạch lượng tử tạo bởi các cổng Hadamard như hình bên được gọi là mạch khởi tạo thanh ghi lượng tử. Đầu ra của mạch này là:

Ở đây, N là số qubit đầu vào. Như vậy đầu ra của mạch khởi tạo thanh ghi lượng tử, với đầu vào N qubit ở trạng thái |0>, là trạng thái "trộn" đều của tất cả các véc tơ trong hệ cơ sở của không gian 2N chiều chứa các trạng thái của N qubit.

Quay pha[sửa]

Biểu diễn mạch chứa cổng quay pha

Cổng quay pha, với pha được quay đi một góc , có ma trận là:

Cổng quay pha có thể được biểu diễn trên mạch tính toán lượng tử như ở hình bên phải.

Như vậy, . Còn cổng quay pha tác động lên trạng thái qubit tổng quát, trên một mặt cầu Bloch, ra kết quả là xoay trạng thái này theo góc quanh trục thẳng đứng trên mặt cầu Bloch.

Cổng hai qubit[sửa]

Trạng thái của hai qubit là một véc tơ trong không gian véc tơ 4 chiều. Một phép tính lượng tử với đầu vào là một qubit sẽ tương ứng với một phép toán tuyến tính trên véc tơ trong không gian véc tơ 4 chiều này. Tức là tương đương việc nhân một ma trận vào với véc tơ thể hiện trạng thái qubit đầu vào, với ma trận là ma trận của phép tính. Một cách tổng quát, ma trận này là:

Ở đây, aij là các số phức. Một số cổng nhận đầu vào là hai qubit hay được đề cập đến được liệt kê ở dưới đây.

CNOT[sửa]

Biểu diễn trên mạch của cổng CNOT

Cổng CNOT nhận đầu vào là hai qubit: qubit thứ nhất là qubit điều khiển và qubit thứ hai là qubit bị điều khiển. Ở kết quả đầu ra, qubit thứ hai cho ra sẽ bằng NOT của qubit bị điều khiển cho vào, khi và chỉ khi qubit điều khiển bằng |1>. Ma trận của CNOT là:

Cổng CNOT chuyển đầu vào là hai qubit đang vướng víu lượng tử thành đầu ra không bị vướng víu lượng tử. Ví dụ:

Ngược lại, cổng CNOT chuyển đầu vào là hai qubit đang không vướng víu lượng tử thành đầu ra bị vướng víu lượng tử.

Các cổng điều khiển khác[sửa]

Biểu diễn trong mạch lượng tử của cổng điều khiển CU

Một cách tổng quát, cho một cổng U nhận một qubit đầu vào và cho ra 1 qubit, với ma trận:

Một cổng điều khiển lượng tử tương ứng với U, viết tắt là CU, nhận đầu vào là hai qubit: qubit thứ nhất là qubit điều khiển và qubit thứ hai là qubit bị điều khiển. Ở kết quả đầu ra, qubit thứ hai cho ra sẽ bằng U của qubit bị điều khiển cho vào, khi và chỉ khi qubit điều khiển bằng |1>. Ma trận của CU là:

Biểu diễn trong mạch lượng tử của cổng điều khiển CU như hình bên phải.

Cổng ba qubit[sửa]

Với cổng nhận đầu vào là ba qubit, ma trận có kích thước 8×8. Một số cổng nhận đầu vào là ba qubit hay được đề cập đến được liệt kê ở dưới đây.

Deustch[sửa]

Cổng Deutsch , thực hiện việc biến đổi đầu vào ba qubit như sau[8]

Tiffoli[sửa]

Biểu diễn trên mạch tính toán lượng tử của cổng Toffoli

Cổng Toffoli, còn gọi là cổng CCNOT, có ma trận như sau:

Bộ cổng đầy đủ[sửa]

Trong tính toán cổ điển, bộ {Tiffoli} là một bộ đầy đủ, mà cổng Tiffoli cổ điển có cổng Tiffoli lượng tử hoàn toàn tương ứng, do đó, mọi tính toán cổ điển đều có thể được thực hiện trên máy tính lượng tử. Điều này nghĩa là mọi biểu thức toán học f(x), với x là một đầu vào có thể biểu diễn bằng trạng thái lượng tử , đều có thể được thực thi bằng một toán tử ứng với f trên .

Trong tính toán lượng tử, bộ {H, , CNOT} là một bộ đầy đủ, tức là mọi biểu thức tính toán trên các mạch hoặc máy tính lượng tử đều có thể thực hiện đến độ chính xác tùy ý bằng việc kết hợp thực thi các cổng Hadamard, quay pha và CNOT. Một bộ đầy đủ khác là {}.

Đo lường[sửa]

Biểu diễn trong mạch lượng tử của phép đo

Bản thân phép đo trong cơ học lượng tử cũng là một phép tính lượng tử, thực hiện trên một trạng thái lượng tử của một hoặc nhiều qubit đầu vào, và cho ra một trong các trạng thái riêng của các qubit này đối với toán tử của đại lượng vật lý cần đo.

Như vậy, khi nói đến phép đo, luôn cần nói rõ đo đại lượng vật lý nào, ứng với toán tử nào, có hàm riêng là các hàm nào và các trị riêng tương ứng là gì.

Biểu diễn trong mạch lượng tử của phép đo như hình bên phải.

Thuật toán lượng tử[sửa]

Trong phần này một số thuật toán sử dụng các phép tính toán và đo đạc lượng tử, để giải quyết một số bài toán nhất định, sẽ được trình bày.

Viễn tải lượng tử[sửa]

Giả định một người tên A có trong tay một qubit, gọi là q1, ở trạng thái . Người A muốn gửi cho người B, ở một vị trí cách xa người A, toàn bộ qubit q1, hoặc toàn bộ thông tin về q1.

Thực tế, người A không thể thu được thông tin đầy đủ về q1, vì nếu người A thực hiện phép đo, để thu thông tin, trên q1 thì trạng thái của q1 sẽ bị sụp đổ về một trong các trạng thái riêng của phép đo. Do người A không có được thông tin đầy đủ về q1, người A cũng không thể gửi thông tin này cho người B. Trong cơ học lượng tử, định lý không nhân bản nói rằng không thể nhân bản một hệ vật lý thành nhiều bản mới giống hệt mà không gây ra phá hủy hệ vật lý ban đầu.

Cách cổ điển để thực hiện yêu cầu của bài toán là di chuyển qubit từ A đến B. Tốc độ di chuyển này nhỏ hơn tốc độ ánh sáng. Có một phương án khác thực hiện với tốc độ nhanh hơn, tiệm cận đến tốc độ ánh sáng. Phương án này được gọi là viễn tải lượng tử.

  • Bước 1: Chuẩn bị sẵn từ trước một cặp hai qubit, gọi là q2 và q3, đang ở trong trạng thái vướng víu lượng tử, chẳng hạn ở 1 trong 4 trạng thái Bell, rồi để q2 tại A và q3 tại B.
  • Bước 2: Tại A, với cặp qubit q1 và qubit q2, thực hiện một phép đo Bell, khiến cho trạng thái của cặp q1 và q2 sụp đổ về 1 trong 4 trạng thái Bell. Kết quả đo thu được là 1 trong 4 trạng thái Bell, có thể được mã hóa bởi một con số, từ 1 đến 4. Cặp q1 và q2 tại A, sau phép đo, sẽ không cần dùng đến nữa.
  • Bước 3: Thông tin về kết quả đo, là số nguyên trong khoảng từ 1 đến 4, được gửi từ A đến B theo con đường cổ điển. Việc gửi thông tin này có tốc độ nhanh nhất là tốc độ ánh sáng.
  • Bước 4: Tại B, thực hiện 1 trong 4 phép biến đổi trạng thái trên qubit q3, tùy thuộc vào kết quả đo nhận được từ A, để thu lại được trạng thái của q3 chính là trạng thái của q1 ban đầu.
Mạch lượng tử thể hiện thuật toán viễn tải lượng tử

Ví dụ, tại bước 1, cặp q1 và q2 ở trạng thái Bell thứ nhất:

Khi đó, phép biến đổi, P, ở bước 4 sẽ là một hàm của kết quả đo ở bước 2, như sau:

Mạch lượng tử thể hiện thuật toán viễn tải lượng tử trong ví dụ trên ở hình bên phải.

Tìm kiếm Grover[sửa]

Trong tính toán cổ điển, cho một bảng gồm 2 cột và N dòng, cột thứ nhất là số thứ tự, cột thứ hai là các giá trị nhất định, bài toán tìm kiếm có thể phát biểu là với một giá trị x cho trước, tìm thứ tự i của dòng mà chứa giá trị x này. Bài toán này có độ phức tạp là O(N).

Trong tính toán lượng tử, để thể hiện N dòng trong bảng, sử dụng không gian véctơ N chiều của các trạng thái lượng tử, mỗi dòng trong bảng ứng với một véctơ cơ sở của không gian này.

, , ...,

Giá trị tìm kiếm tương ứng với hàm sóng bằng với một trong các véctơ cơ sở nêu trên, và bài toán tìm kiếm tương ứng với tìm bằng . N trạng thái có thể được biểu diễn bằng n qubit, với n là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn logarit cơ số 2 của N.

Mạch lượng tử thể hiện thuật toán tìm kiếm Grover

Thuật toán Grover thực hiện như sau:

  • Bước 1: Khởi tạo thanh ghi lượng tử cho n qubit, để chúng ở trạng thái trộn đều (chồng chập đều) của tất cả các véc tơ riêng
  • Bước 2: Lặp lại k lần việc thực hiện toán tử Grover vào hệ n qubit. Toán tử Grover được giải thích ở bên dưới đây.
  • Bước 3: Thực hiện phép đo để trạng thái của hệ n qubit sụp về một trong các véctơ cơ sở. Kết quả thu được có xác suất cao là cần tìm.

Toán tử Grover là , trong đó:

Sau mỗi lần áp dụng toán tử Grover, trạng thái của hệ n qubit được xoay về gần với trạng thái hơn, với góc xoay :

Sau k lần quay, trạng thái của hệ n qubit về gần với trạng thái , và xác suất để đo được trạng thái của hệ sập về là:

Số k nhỏ nhất để xác suất trên gần với 1 là . Như vậy thuật toán tìm kiếm Grover có độ phức tạp , nhanh hơn tìm kiếm bằng tính toán cổ điển.

Mạch lượng tử thể hiện thuật toán tìm kiếm Grover có ở hình bên phải.

Biến đổi Fourier[sửa]

Biến đổi Fourier rời rạc, trên một bộ N giá trị dữ liệu {x1,x2,...,xN}, tức là một véctơ trong không gian phức N chiều, được thực hiện bằng việc nhân ma trận sau.

với

Theo tính toán cổ điển, độ phức tạp của phép tính này là O(N2).

Mạch lượng tử của biến đổi Fourier

Trong tính toán lượng tử, các véctơ trong không gian phức N chiều được biểu diễn bằng trạng thái lượng tử trong không gian véc tơ N chiều. Một hệ n qubit có thể biễu diễn không gian này, với n là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn logarit cơ số 2 của N. Toán tử biến đổi Fourier, tác động vào hệ n qubit, cũng có ma trận chính là ma trận nêu trên.

Có thể thấy khi n = 2, thì ma trận chính là ma trận của toán tử Hadamard. Có thể chứng minh quy nạp rằng mạch lượng tử của biến đổi Fourier cho hệ n qubit liên hệ với mạch lượng tử của biến đổi Fourier cho hệ n-1 qubit theo sơ đồ trình bày trên hình bên phải. Số cổng lượng tử của mạch lượng tử của biến đổi Fourier cho hệ n qubit bằng n cổng quay pha có điều khiển cộng với số cổng lượng tử của mạch lượng tử của biến đổi Fourier cho hệ n-1 qubit. Như vậy số cổng lượng tử của mạch lượng tử của biến đổi Fourier cho hệ n qubit là:

1+2+ ... n = n (n + 1) /2

Nghĩa là độ phức tạp của biến đổi Fourier lượng tử là O(n2) = O(log(N)2) , nhỏ hơn độ phức tạp của phép tính này trong tính toán cổ điển.

Thuật toán Shor (Phá mã RSA)[sửa]

Thuật toán Shor là thuật toán lượng tử giúp phân tích nhân tử một số nguyên ở dạng N = pq, với pq là các số nguyên tố, tức là tìm ra các giá trị pq khi cho vào N.

Với tính toán cổ điển, hàm N(p,q) = pq là một hàm một chiều tức là việc tính ra N từ pq có độ phức tạp nhỏ, O(0), còn việc tính ra pq từ N có độ phức tạp cao. Tính chất này được áp dụng cho việc xây dựng và ứng dụng mật mã hóa công khai RSA. Tuy nhiên nếu có phương án phân tích nhân tử một số nguyên N nhanh thành pq thì mã hóa RSA sẽ không còn an toàn trước các cuộc tấn công bẻ khóa. Thuật toán Shor đã thực hiện được việc phân tích nhân tử một số nguyên N thành pq nhanh hơn các thuật toán cổ điển.

Cụ thể, trong thuật toán Shor, thực hiện lại hầu hết các bước của thuật toán Miller bằng tính toán cổ điển, ngoại trừ một bước có độ phức tạp cao nhất. Thuật toán Miller gồm các bước sau:

  • Chọn một số ngẫu nhiên a < N.
  • Tìm ƯCLN(a, N), có thể dùng thuật toán Ơclit cho bước này.
  • Nếu ƯCLN(a, N) ≠ 1, thì p=aq = N/a.
  • Nếu không thì tìm chu kỳ r của hàm f(x) = ax mod N, tức là f(x+r) = f(x).
  • Nếu r lẻ, thì quay lại bước đầu tiên.
  • Nếu a r /2 ≡ −1 (mod N), thì quay lại bước đầu tiên.
  • p = ƯCLN(ar/2 + 1, N) và q=ƯCLN(ar/2 - 1, N)
Biểu diễn trên mạch lượng tử của phần tính toán lượng tử của thuật toán Shor

Trong thuật toán Miller, bước có độ phức tạp cao nhất là bước tìm chu kỳ r của hàm f(x). Để tìm chu kỳ của một hàm số, có thể biến đổi Fourier hàm số này, khi đó kết quả biến đổi Fourier sẽ cực đại tại các giá trị k/r với k là các số nguyên. Biến đổi Fourier có thể thực hiện nhanh hơn trong tính toán lượng tử, như đã trình bày ở mục bên trên. Do đó bước này có thể được thực hiện bằng tính toán lượng tử như sau.

Cụ thể, hàm f(x) làm hàm tuần hoàn có thể nhận tối đa N giá trị, và có thể được biểu diễn bằng Q bit, với Q là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn lôgarit cơ số 2 của N. Có thể thiết lập một hệ vật lý gồm hai thanh ghi cạnh nhau, mỗi thanh gồm Q qubit, và thực hiện:

  • Khởi tạo thanh ghi thứ nhất, còn thanh ghi thứ hai ở trạng thái nghỉ (trạng thái năng lượng thấp nhất, thường ứng với qubit |0>). Trạng thái của hệ 2 thanh ghi sau bước này là:
  • Xây dựng hàm f(x) thành toán tử lượng tử để áp dụng và hệ 2 thanh ghi sau bước trên, và thu được trạng thái mới của hệ là
  • Áp dụng biến đổi Fourier vào hệ.
  • Thực hiện phép đo, để trạng thái của hệ hai thanh ghi sụp về một trong các trạng thái riêng. Thanh ghi thứ nhất sụp về trạng thái ứng với chuỗi nhị phân thể hiện giá trị s, trong đó xác suất để s là bội số của 1/r là cao.
  • Thử lại, bằng tính toán cổ điển, xem nếu f(x) = f(x + 1/s) thì kết thúc
  • Nếu không thì thử, bằng tính toán cổ điển, với các giá trị là 1/sk với các k nguyên khác nhau, nếu một trong các giá trị này thỏa mãn thì kết thúc.
  • Nếu không thì lặp lại từ bước đầu tiên

Biểu diễn trên mạch lượng tử của phần tính toán lượng tử của thuật toán Shor ở hình bên phải. Do độ phức tạp của biến đổi Fourier lượng tử là nhỏ hơn độ phức tạp của phép tính này trong tính toán cổ điển, bước tìm chu kỳ bằng biến đổi Fourier của thuật toán Shor nhanh hơn khi thực hiện phép tính này trên máy tính cổ điển. Độ phức tạp của thuật toán Shor là lớn hơn O(log(N)2), cụ thể là O((log N)2(log log N)(log log log N)) [9].

Máy tính lượng tử bẫy ion[sửa]

Mô hình máy tính lượng tử bẫy ion
Một bẫy ion thực tế, để tạo ra máy tính lượng tử

Máy tính lượng tử bẫy ion là một đề xuất thực thi máy tính lượng tử ở quy mô lớn (hoạt động với nhiều qubit). Các ion có thể bị bẫy trong một điện từ trường xoay, tạo bởi các điện cực được bố trí theo những cách nhất định. Trong bẫy này, các ion có thể nằm thành chuỗi cạnh nhau, và tương tác với nhau qua lực tĩnh điện, tương đương với gửi và nhận giữa chúng các phonon. Mỗi ion đóng vai trong một qubit, với hai trạng thái năng lượng của ion được dùng để thể hiện trạng thái |0> và |1>.

Ví dụ, trạng thái năng lượng nghỉ của ion là trạng thái |0> và một trong các trạng thái kích thích phù hợp được chọn là trạng thái |1>. Loại qubit này còn được gọi là qubit quang học, vì để thực thi các phép tính lượng tử trên qubit, có thể chiếu vào ion ánh sáng có năng lượng photon phù hợp.

Cụ thể, việc khởi tạo qubit quang học ở một trạng thái nhất định được thực hiện bằng quá trình bơm quang học. Trong đó, photon được "bơm" vào để ion bị kích thích lên một mức năng lượng không bền rồi rơi về mức năng lượng đã kích thích nhưng bền mà ở đó không tương tác với photon được bơm vào. Nếu ion rơi về mức năng lượng khác có tương tác với photon thì sẽ bị kích thích lên trở lại, và cuối cùng, sau nhiều lần lên và xuống sẽ về mức năng lượng đã kích thích nhưng bền mà ở đó không tương tác với photon. Độ tin cậy, tức xác suất thành công, của quá trình này lên tới trên 99.9%.

Việc đo qubit quang học cũng được thực hiện bằng chiếu ánh sáng vào qubit này. Đẻ đo, cần chọn tần số ánh sáng chỉ tương tác với một trong hai trạng thái |0> hoặc |1>. Nếu trạng thái của ion sụp về trạng thái có tương tác với ánh sáng, thì nó sẽ bị bơm lên một trạng thái kích thích không bền, rồi rơi trở lại và phát ra ánh sáng, rồi lại tiếp tục bị bơm lên, và cứ thế liên tục phát sáng. Ngược lại thì ion không phát sáng. Dựa vào sự phát sáng của ion, đo được bằng camera hay ống nhân photon thì sẽ biết được kết quả đo ion sụp về trạng thái nào trong |0> và |1>. Độ chính xác của phép đo này cũng trên 99.9% [10].

Vì các phép tính lượng tử đều có thể thực hiện, đến độ chính xác tùy ý, bằng tổ hợp các phép tính thuộc bộ đầy đủ {H, , CNOT} nên chỉ cần có cơ chế thực hiện các phép tính này trên các ion là có thể hoàn tất máy tính lượng tử thực hiện mọi phép tính lượng tử trên các ion. Cổng quay pha và Hadamard có thể thực hiện bằng chuyển đổi tứ cực điện tử trên qubit quang học, với độ tin cậy trên 99%. Cổng CNOT có thể thực thi bằng phương án được Cirac và Zoller đề xuất năm 1995[11], cũng với độ tin cậy trên 99% [10].

Cụ thể, trong chuyển đổi tứ cực điện tử, nếu chiếu vào ion các photon có:

  • năng lượng: = chênh lệch năng lượng giữa hai mức |0> và |1>
  • thời lượng: bằng với Tchu kỳ Rabi[12]
  • pha (so với pha của ánh sáng khởi tạo qubit quang học):

thì tương đương với việc xoay trạng thái của ion trên mặt cầu Bloch quanh trục X theo góc rồi xoay tiếp quanh trục Z một góc [13].

Như vậy, cổng Hadamard được thực hiện bằng cách xoay trạng thái của ion trên mặt cầu Bloch quanh trục X theo góc , tức chiếu vào ion các photon có:

  • năng lượng: = chênh lệch năng lượng giữa hai mức |0> và |1>
  • thời lượng: bằng T/4
  • pha: 0

Như vậy, cổng được thực hiện bằng cách xoay trạng thái của ion trên mặt cầu Bloch quanh trục X theo góc rồi xoay tiếp quanh trục Z một góc , tức chiếu vào ion các photon có:

  • năng lượng: = chênh lệch năng lượng giữa hai mức |0> và |1>
  • thời lượng: bằng T
  • pha:

Đối với cổng CNOT, thực hiện trên qubit điều khiển là ion thứ m trong chuỗi và qubit bị điều khiển là ion thứ n trong chuỗi, thì lần lượt làm:

  • Bước 1: thực hiện cổng Hadamard trên ion n
  • Bước 2: thực hiện chiếu vào ion m phpton có:
    • năng lượng: bằng với tần số góc của phonon ứng với một trạng thái dao động của ion
    • thời lượng: bằng T/2
    • pha: 0
  • Bước 3: thực hiện chiếu vào ion n phpton có:
    • năng lượng: bằng
    • thời lượng: bằng T
    • pha: 0
  • Bước 4: thực hiện chiếu vào ion m phpton có:
    • năng lượng: bằng với tần số góc của phonon ứng với một trạng thái dao động của ion
    • thời lượng: bằng T/2
    • pha: 0
  • Bước 5: thực hiện cổng Hadamard trên ion n

Tham khảo[sửa]

  1. Haliday; Resnick (2011). Fundamental of Physics. John Wiley & Sons. 1066. 
  2. Haliday; Resnick (2011). Fundamental of Physics. John Wiley & Sons. 1071. 
  3. Haliday; Resnick (2011). Fundamental of Physics. John Wiley & Sons. 1067. 
  4. Schrödinger, Erwin (December 1926). "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules" (PDF). Phys. Rev. 28 (6): 1049–1070. doi:10.1103/PhysRev.28.1049. http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf. 
  5. Elitzur, Avshalom C.; Lev Vaidman (1993). "Quantum mechanical interaction-free measurements". Foundations of Physics 23 (7): 987–997. arXiv:hep-th/9305002. doi:10.1007/BF00736012. http://link.springer.com/article/10.1007/BF00736012. Truy cập 1 tháng 4 năm 2014. 
  6. Paul G. Kwiat; H. Weinfurter (1994). "Experimental realization of "interaction-free" measurements" (pdf). http://www.univie.ac.at/qfp/publications3/pdffiles/1994-08.pdf. Retrieved 2012-05-07. 
  7. Paul G. Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog, Anton Zeilinger, and Mark A. Kasevich, "Interaction-free measurement," Physical Review Letters 74, (1995) 4763.
  8. Deutsch, David (September 8, 1989), "Quantum computational networks", Proc. R. Soc. Lond. A 425 (1968): 73–90, Bibcode:1989RSPSA.425...73D, doi:10.1098/rspa.1989.0099
  9. Beckman, David; Chari, Amalavoyal N.; Devabhaktuni, Srikrishna; Preskill, John (1996). "Efficient Networks for Quantum Factoring". Physical Review A 54 (2): 1034–1063. arXiv:quant-ph/9602016. doi:10.1103/PhysRevA.54.1034
  10. 10,0 10,1 Jungsang Kim, Viewpoint: Trapped Ions Make Impeccable Qubits, Physics 7, 119
  11. Cirac, J. I. và Zoller, P. Phys. Rev. Lett. 74 4091 (1995).
  12. H. Haffner et. al, Quantum computing with trapped ions, Arxiv.org 2008
  13. Andrew Steane, The Ion Trap Quantum Information Processor, Arxiv.org 1996

Xem thêm[sửa]