Tính toán lượng tử/Cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử là lý thuyết vật lý mô tả chuyển động của vật chất, đặc biệt là các hạt nhỏ hơn cỡ nanomét, trong đó chuyển động của hạt được xác định thông qua sóng vật chất ứng với hạt. Cơ học lượng tử đã được thực nghiệm chứng tỏ là một lý thuyết có độ chính xác cao.

Trong cơ học lượng tử, chuyển động của vật chất được mô tả đầy đủ bởi hàm sóng của vật chất. Từ hàm sóng, có thể tìm ra được mọi đại lượng vật lý liên quan đến vật chất.

Đại lượng vật lý và Toán tử

Với một đại lượng vật lý tổng quát, gọi là O, trong cơ học lượng tử, có thể xác định một toán tử Hermite tương ứng với đại lượng vật lý đó, gọi là ${\hat {O}}$ thỏa mãn tính chất:

Nếu một hệ vật chất đang ở trạng thái ứng với một giá trị xác định của O gọi là O₀, thì ${\hat {O}}\Psi _{0}=O_{0}\Psi _{0}$; ở đây $\Psi _{0}$ là hàm sóng của hệ vật chất ở trạng thái đang xét, gọi là một hàm riêng của ${\hat {O}}$ và O₀ là trị riêng ứng với hàm riêng này.

Ví dụ, với một hạt vật chất chuyển động tự do trong chân không, động lượng của nó là xác định, là p, và năng lượng của nó cũng là xác định, là E. Hàm sóng, như đã nêu ở trên, là:

$\Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} .\mathbf {r} }e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}$

Có thể kiểm nghiệm rằng toán tử ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$, với $\nabla$ là toán tử gradient, thỏa mãn:

${\hat {\mathbf {p} }}\Psi =-i\hbar \nabla e^{-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} .\mathbf {r} }e^{{\frac {i}{\hbar }}Et}=\mathbf {p} \Psi$

Cũng có thể kiểm nghiệm rằng toán tử ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$, với toán tử ${\frac {\partial }{\partial t}}$ là đạo hàm riêng phần theo thời gian t, thỏa mãn:

${\hat {E}}\Psi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} .\mathbf {r} }e^{{\frac {i}{\hbar }}Et}=E\Psi$

Như vậy với đại lượng động lượng p, toán tử tương ứng là ${\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla$; và đại lượng năng lượng E, toán tử tương ứng là ${\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$.

Trường hợp hệ vật chất ở trạng thái mà đại lượng O đang không ở một giá trị cố định, thì chỉ có thể xác định được giá trị trung bình và sai số của đại lượng O. Cụ thể, giá trị trung bình là:

${\bar {O}}=\int \Psi (\mathbf {r} ,t)^{*}{\hat {O}}\Psi (\mathbf {r} ,t)dV$

Ở đây, $\Psi (\mathbf {r} ,t)^{*}$ là liên hợp phức của $\Psi (\mathbf {r} ,t)$ và khi đó $\Psi (\mathbf {r} ,t)^{*}\Psi (\mathbf {r} ,t)$ là bình phương độ lớn của hàm sóng; dV là vi thể tích và tích phân trên toàn không gian. Sai số của O, là căn của phương sai:

$(\Delta O)^{2}=\int \Psi (\mathbf {r} ,t)^{*}({\hat {O}}-{\bar {O}})\Psi (\mathbf {r} ,t)dV$

Ví dụ, với hạt vật chất chuyển động tự do, vị trí của hạt không xác định ở một giá trị cố định. Khi đó chỉ có giá trị trung bình của vị trí có thể được xác định.

${\bar {\mathbf {r} }}=\int \Psi (\mathbf {r} ,t)^{*}{\hat {\mathbf {r} }}\Psi (\mathbf {r} ,t)dV$

Đồng thời, do phân bố xác suất của vị trí của hạt tỷ lệ với bình phương của độ lớn hàm sóng, như đã nêu ở mục trên, giá trị trung bình của tọa độ cũng có thể được tính trực tiếp là:

${\bar {\mathbf {r} }}=\int \Psi (\mathbf {r} ,t)^{*}\mathbf {r} \Psi (\mathbf {r} ,t)dV$

Từ đó suy ra:

${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r}$

Bài tập ví dụ

Mô men động lượng, L, liên hệ với vị trí, r, và động lượng, p, qua L = r×p. Hãy xác định toán tử ${\hat {\mathbf {L} }}$.

Lời giải

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {L} }}&={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}=\mathbf {r} \times (-i\hbar )\nabla \\&=-i\hbar {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\frac {\delta }{\delta x}}\\{\frac {\delta }{\delta y}}\\{\frac {\delta }{\delta z}}\end{pmatrix}}\\&=-i\hbar {\begin{pmatrix}y{\frac {\delta }{\delta z}}-z{\frac {\delta }{\delta y}}\\z{\frac {\delta }{\delta x}}-x{\frac {\delta }{\delta z}}\\x{\frac {\delta }{\delta y}}-y{\frac {\delta }{\delta x}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Nếu một đại lượng vật lý A có thể được xác định thông qua các đại lượng vật lý B₁, B₂, ... , B_n qua liên hệ:

A = f(B₁, B₂, ... , B_n)

thì các toán tử của chúng cũng liên hệ tương tự:

${\hat {A}}=f({\hat {B_{1}}},{\hat {B_{2}}},...,{\hat {B_{n}}})$

Ví dụ, vận tốc của một hạt v = p/m, với m là khối lượng hạt, khi hạt chuyển động chậm so với tốc độ ánh sáng, thì toán tử vận tốc là:

${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {\hat {\mathbf {p} }}{m}}=-{\frac {i\hbar }{m}}\nabla$

Ví dụ nữa, động năng của một hạt là K = m |v|² / 2 = m (v.v) / 2, thì toán tử động năng là:

${\hat {K}}={\frac {m{\hat {\mathbf {v} }}.{\hat {\mathbf {v} }}}{2}}={\frac {m(-{\frac {i\hbar }{m}}\nabla ).(-{\frac {i\hbar }{m}}\nabla )}{2}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

Ở đây $\nabla ^{2}$ là toán tử Laplace. Ví dụ nữa, thế năng của một hạt có thể là một hàm số phụ thuộc vào vị trí r, là P = V(r), thì toán tử thế năng là:

${\hat {P}}=V({\hat {\mathbf {r} }})=V(\mathbf {r} )$

Phương trình Schrodinger

Với một hệ vật chất chuyển động trong một trường thế năng, năng lượng, gọi là E, của hệ bằng động năng, gọi là K, cộng thế năng, gọi là P. Sử dụng toán tử năng lượng, toán tử động năng, và toán tử thế năng đã nêu ở trên, thu được:

E = K + P

${\hat {E}}={\hat {K}}+{\hat {P}}$

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$

và, khi tác động toán tử ở hai vế lên hàm sóng $\Psi$:

${\hat {E}}\Psi =({\hat {K}}+{\hat {P}})\Psi$

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ))\Psi$

Phương trình thu được ở trên chính là phương trình Schrodinger, cho trường hợp hạt chuyển động chậm so với tốc độ ánh sáng, theo tên của Erwin Schrödinger, người đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926. Cụm toán tử $({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ))$ còn được gọi là toán tử Hamilton, ký hiệu là ${\hat {H}}$.

Sự biến đổi của hàm sóng theo thời gian hoàn toàn được xác định thông qua phương trình Schodinger. Cho một trường thế năng mà một hệ vật chất chuyển động bên trong, có thể giải phuơng trình Schrodinger để thu được hàm sóng thỏa mãn, và từ hàm sóng có thể xác định các đại lượng vật lý của hệ vật chất đang quan tâm. Phương trình Schrodinger do đó đóng một vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử, tuơng tự như vai trò của phương trình chuyển động trong định luật hai Newton đối với cơ học cổ điển.

Nếu thế năng cũng phụ thuộc vào thời gian, phương trình Schrodinger nêu trên trở thành:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =({\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t))\Psi$

Không gian véc tơ hàm sóng

Các hàm sóng, ký hiệu $\Psi$, có thể được ký hiệu là các véc tơ phức, cùng với tích vô hướng được định nghĩa như bên dưới đây, tạo thành một không gian véc tơ, gọi là không gian Hilbert:

$\Psi _{1}.\Psi _{2}=\int \Psi _{1}(\mathbf {r} )^{*}\Psi _{2}(\mathbf {r} )dV$

Paul Dirac ký hiệu véc tơ hàm sóng là $|\Psi >$, liên hợp phức của véc tơ hàm sóng là $<\Psi |$ và tích vô hướng hai véc tơ hàm sóng là $<\Psi _{1}|\Psi _{2}>$.

Trong không gian véc tơ của hàm sóng, có thể có nhiều hệ véc tơ cơ sở.

Hệ cơ sở rời rạc

Xét một hệ véc tơ cơ sở gồm số lượng hữu hạn, hoặc số lượng đếm được, các véc tơ cơ sở $|\phi _{1}>$, $|\phi _{2}>$, ... , $|\phi _{n}>$, một hàm sóng luôn có thể được biểu diễn là chồng chập tuyến tính của các véc tơ cơ sở này:

$|\Psi >=A_{1}|\phi _{1}>+A_{2}|\phi _{2}>+...+A_{n}|\phi _{n}>$

Trong đó các hệ số A_i được gọi là thành phần của véc tơ $|\Psi >$ khi chiếu lên véc tơ $|\phi _{i}>$:

$A_{i}=<\phi _{i}|\Psi >$

Khi đã biết hệ cơ sở, thì một véc tơ $<\Psi |$ có thể hoàn toàn được xác định bởi các hệ số A₁, A₂, ..., và có thể viết là véc tơ cột:

$|\Psi >={\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\...\\A_{n}\end{pmatrix}}$

Liên hợp phức của nó là véc tơ hàng:

$<\Psi |={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&...&A_{n}^{*}\end{pmatrix}}$

Tích vô hướng là:

$<\Psi _{1}|\Psi _{2}>={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&...&A_{n}^{*}\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\...\\B_{n}\end{pmatrix}}=A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+...+A_{n}^{*}.B_{n}$

Ở đây A_i và B_j là các thành phần của véc tơ $|\Psi _{1}>$ và $|\Psi _{2}>$.

Bài tập ví dụ

Cho trạng thái một hệ vật lý trong không gian véc tơ hai chiều, chưa chuẩn hóa, là v1 = (1+i, 2e3i). Cho trạng thái khác, cũng chưa chuẩn hóa, là v2 = (3-2i, 4e-2i). Tính tích vô hướng <v1|v2>.

Lời giải

${\begin{aligned}\langle v_{1}|v_{2}\rangle &={\begin{pmatrix}(1+i)^{*}&(2e^{3i})^{*}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3-2i\\4e^{-2i}\end{pmatrix}}\\&=(1-i)(3-2i)+2e^{-3i}4e^{-2i}\\&=1-5i+8^{-5i}\end{aligned}}$

Mọi toán tử ${\hat {O}}$, ứng với một đại lượng vật lý O nào đó, đều là tuyến tính. Khi tác động lên một hàm sóng , thì kết quả thu được có thể biểu diễn, trong hệ cơ sở đã chọn, là véc tơ cột bằng với tích ma trận sau:

${\hat {O}}|\Psi >=\mathbf {O} .{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\...\\A_{n}\end{pmatrix}}$

Với O là ma trận vuông với hệ số ở hàng i cột j là:

$O_{ij}=<\phi _{i}|({\hat {O}}|\phi _{j}>)=<\phi _{i}|{\hat {O}}|\phi _{j}>$

Ở đây, tích vô hướng $<x|({\hat {O}}|y>)$ được viết tắt là $<x|{\hat {O}}|y>$.

Như vậy, giá trị trung bình của đại lượng vật lý O, ứng với toán tử ${\hat {O}}$, của hệ vật chất ở trạng thái hàm sóng $\Psi$ là:

${\bar {O}}=<\Psi |{\hat {O}}|\Psi >$

Tính toán trong hệ cơ sở $|\phi _{1}>$, $|\phi _{2}>$, ... , $|\phi _{n}>$:

${\bar {O}}={\begin{pmatrix}A_{1}^{*}&A_{2}^{*}&...&A_{n}^{*}\end{pmatrix}}.\mathbf {O} .{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\\...\\A_{n}\end{pmatrix}}=A_{1}^{*}(O_{11}A_{1}+...+O_{1n}A_{n})+...+A_{n}^{*}(O_{n1}A_{1}+...+O_{nn}A_{n})=\sum A_{i}^{*}(\sum {O_{ij}A_{j}})$

Bài tập ví dụ

Hãy chuẩn hóa véctơ trong không gian véc tơ hai chiều $v={\begin{pmatrix}\sin \theta e^{i\phi }\\1-\cos \theta \end{pmatrix}}$.

Lời giải

Véc tơ chuẩn hóa là $v'={\frac {v}{\sqrt {\langle v|v\rangle }}}$. Chú ý rằng: ${\begin{aligned}v&={\begin{pmatrix}\sin \theta e^{i\phi }\\1-\cos \theta \end{pmatrix}}\\&=\sin {\frac {\theta }{2}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i\phi }\\\sin {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ Suy ra: $v'={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i\phi }\\\sin {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}$

Với mọi toán tử ${\hat {O}}$, ứng với một đại lượng vật lý O nào đó, thì luôn tồn tại các hàm sóng $|\Psi _{1}>$, $|\Psi _{2}>$, ... được gọi là hàm riêng của toán tử này, thỏa mãn:

${\hat {O}}|\Psi _{i}>=O_{i}|\Psi _{i}>$

Ở đây O_i là giá trị riêng ứng với hàm riêng $|\Psi _{i}>$. Các hàm riêng $|\Psi _{i}>$ là các hàm sóng mà ở trạng thái đó hệ vật chất có giá trị đại lượng O là xác định và duy nhất ở giá trị O_i. Tập hợp các hàm riêng $|\Psi _{1}>$, $|\Psi _{2}>$, ... luôn có thể được chuẩn hóa, để tạo thành một hệ cơ sở trực giao chuẩn hóa của không gian véc tơ Hilbert các hàm sóng. Một hệ có sở $|\Psi _{1}>$, $|\Psi _{2}>$, ... trực giao chuẩn hóa là hệ cơ sở thỏa mãn:

$<\Psi _{i}|\Psi _{j}>={\begin{cases}0,&{\mbox{khi }}i\neq j\\1,&{\mbox{khi }}i=j\end{cases}}=\delta _{ij}$

Tức là tích vô hướng hai véc tơ bất kỳ trong hệ bằng 0 - tuơng đương hai véc tơ trực giao với nhau, và tích vô hướng của véc tơ bất kỳ với chính nó bằng một - tương đương độ dài véc tơ là 1 hay véc tơ đã chuẩn hóa. Ở đây $\delta _{ij}$ là ký hiệu delta Kronecker bằng 0 khi i khác j và bằng 1 khi i bằng j.

Xét một trường hợp đặc biệt là ma trận O của toán tử ${\hat {O}}$ trong hệ cơ sở là các hàm riêng của $|\Psi _{i}>$ của ${\hat {O}}$:

$O_{ij}=<\Psi _{i}|({\hat {O}}|\Psi _{j}>)=O_{j}<\Psi _{i}|\Psi _{j}>=O_{j}\delta _{ij}$

Giá trị trung bình của đại lượng O với hàm sóng $|\Psi >$ là:

${\bar {O}}=\sum A_{i}^{*}(\sum {O_{ij}A_{j}})=\sum A_{i}^{*}(\sum {O_{j}\delta _{ij}A_{j}})=\sum A_{i}^{2}O_{i}$

So sánh với trường hợp O là vị trí r đã trình bày ở các mục trước, có thể thấy A_i² chính là xác suất tìm thế hệ $|\Psi >$ có giá trị đại lượng O là O_i.

Hệ cơ sở liên tục

Thực tế thì cũng tồn tại trường hợp hệ cơ sở của không gian Hilbert là một tập hợp có số lượng không đếm được các véc tơ. Ví dụ, xét đại lượng động lượng p, các hàm riêng của động lượng, là các hàm mà ứng với trạng thái động lượng của hệ vật chất là xác định ở giá trị duy nhất p, gọi là $|\Psi _{\mathbf {p} }>$, tức ứng với trường hợp hệ vật chất chuyển động tự do như đã bàn ở các mục trên:

$|\Psi _{\mathbf {p} }>=e^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} .\mathbf {r} }e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}$

Do có một số lượng không đếm được các giá trị p, các giá trị p biến thiên liên tục, nên có một số lượng không đếm được các $|\Psi _{\mathbf {p} }>$ tạo nên một hệ cơ sở của không gian các hàm sóng. Một ví dụ khác, xét đại lượng vị trí r, các hàm riêng của vị trí, $|\Psi _{\mathbf {r} }>$, cũng tạo thành một hệ cơ sở với số lượng không đếm được các véc tơ, của không gian Hilbert các hàm sóng, do có một số lượng không đếm được các vị trí r. $|\Psi _{\mathbf {r} }>$ là các hàm mà ứng với trạng thái vị trí của hệ vật chất là xác định ở giá trị duy nhất r.

Khi hệ cơ sở chứa một số lượng không đếm được các hàm sóng, thì các tổng trong các biểu thức bên trên (cho hệ cơ sở chứa một số lượng đếm được các hàm sóng) trở thành các tích phân. Cụ thể, biểu diễn hàm sóng bất kỳ như chồng chập của các hàm sóng trong hệ cơ sở chứa các hàm riêng $|\Psi _{O}>$ của một đại lượng vật lý O:

$|\Psi >=\int A(O)|\Psi _{O}>dO$

Với A(O) là vẫn là thành phần của véc tơ $|\Psi >$ khi chiếu lên véc tơ $|\Psi _{O}>$:

$A(O)=<\Psi _{O}|\Psi >$

Trong hệ cơ sở đã biết, chứa các hàm riêng $|\Psi _{O}>$ của một đại lượng vật lý O, hàm A(O) hoàn toàn đủ chứa mọi thông tin của hàm sóng $|\Psi >$. Do vậy, hàm A(O) đôi khi cũng được viết là $\Psi (O)$. Hàm A(O) thay thế biểu diễn véc tơ cột của các hệ số A_i cho trường hợp số lượng véc tơ trong hệ cơ sở là không đếm được.

Bài tập ví dụ

Cho trạng thái một hệ vật lý, v, trong không gian véc tơ có số chiều không đếm được của các hàm riêng của đại lượng vật lý O chạy liên tục từ 0 đến 1, chưa chuẩn hóa, thể hiện bằng hàm A(O) = O2+iO. Hãy chuẩn hóa véc tơ trạng thái này.

Lời giải

Ở đây: ${\begin{aligned}\langle v|v\rangle &=\int _{0}^{1}(O^{2}+iO)^{*}(O^{2}+iO)dO\\&=\int _{0}^{1}(O^{4}+O^{2})dO\\&={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}\end{aligned}}$ Vậy, véc tơ chuẩn hóa là: $v'={\frac {v}{\langle v|v\rangle }}={\frac {15}{8}}(O^{2}+iO)$

Tích vô hướng hai véc tơ hàm sóng, biểu diễn trong hệ cơ sở chứa số lượng không đếm được các hàm riêng $|\Psi _{O}>$ của một đại lượng vật lý O là:

$<\Psi _{1}|\Psi _{2}>=\int A(O)^{*}B(O)dO$

Ở đây A(O) và B(O) là các thành phần của véc tơ $|\Psi _{1}>$ và $|\Psi _{2}>$.

Quay trở lại định nghĩa tích vô hướng được nêu ra ở ngay đầu phần này:

$<\Psi _{1}|\Psi _{2}>=\int \Psi _{1}(\mathbf {r} )^{*}\Psi _{2}(\mathbf {r} )dV$

Có thể thấy rằng $\Psi _{1}(\mathbf {r} )$ chính là thành phần A(O), khi O là r, của $|\Psi _{1}>$. Từ đây, suy ra:

$\Psi (\mathbf {r} )=A(\mathbf {r} )=<\Psi _{\mathbf {r} }|\Psi >$

Nói cách khác thực tế $\Psi (\mathbf {r} )$ chỉ là hình chiếu của $\Psi$ lên véc tơ $\Psi _{\mathbf {r} }$. $\Psi (\mathbf {r} )$ chỉ là một hình thức biểu diễn trạng thái $\Psi$ theo vị trí r.

Bản thân trạng thái $\Psi$ có thể có rất nhiều cách biểu diễn, không nhất thiết cứ phải biểu diễn phụ thuộc vào r. Tổng quát, một cách biểu diễn $\Psi$ theo một đại lượng O là:

$\Psi (O)=<\Psi _{O}|\Psi >$

với $\Psi _{O}$ là hàm riêng của toán tử ${\hat {O}}$. Ví dụ, khi biểu diễn trạng thái $\Psi$ theo động lượng p:

$\Psi (\mathbf {p} )=<\Psi _{\mathbf {p} }|\Psi >$

$\Psi (\mathbf {p} )=<e^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} .\mathbf {r} }e^{-{\frac {i}{\hbar }}Et}|\Psi >$

Cuối cùng, giá trị trung bình của đại lượng O với hàm sóng $|\Psi >$ là:

${\bar {O}}=<\Psi |{\hat {O}}|\Psi >=\int A(O)^{2}OdO=\int \Psi (O)^{2}OdO$

Hệ cơ sở trực giao chuẩn hóa chứa một số lượng không đếm được các hàm riêng $|\Psi _{O}>$, của một đại lượng vật lý O, thỏa mãn :

$<\Psi _{O}|\Psi _{O'}>=\delta (O-O')$

Với $\delta (x)$ là hàm Dirac delta.

Đo lường

Bài tập ví dụ

Xét hệ gồm 2 thành phần, trong đó trạng thái của thành phần 1 khi đo đại lượng O có thể sụp về một trong các hàm riêng của toán tử ${\hat {O}}$ là $\Psi _{O_{1}}$ và $\Psi _{O_{2}}$, ứng với các kết quả đo, là các trị riêng O1 và O2. Nếu hệ đang ở trạng thái: $|\Psi \rangle =\Psi _{O_{1}}\Phi _{1}+\Psi _{O_{2}}\Phi _{2}$ và nếu khi thực hiện phép đo đại lượng O trên thành phần 1, thu được kết quả đo O1, thì lúc đó thành phần 2 ở trạng thái nào?

Lời giải

Với kết quả đo O1 thu được trên thành phần 1, chứng tỏ trạng thái của hệ sau khi đo là: $|\Psi '\rangle =\Psi _{O_{1}}\Phi _{1}$ Từ đây suy ra thành phần 2, sau khi đo, ở trạng thái $\Phi _{1}$.

Trong cơ học lượng tử, việc thực hiện một phép đo lường một đại lượng vật lý nào đó trên một hệ vật lý tương đương với việc thực hiện một tương tác vào hệ và có thể làm biến đổi trạng thái của hệ.

Hệ cơ sở rời rạc

Xét một đại lượng vật lý cần đo, gọi là O cùng với nó là toán tử ${\hat {O}}$. Toán tử này có các hàm riêng $\Psi _{O_{j}}$ tạo thành một hệ cơ sở của không gian véc tơ các hàm sóng của một hệ vật lý. Xét hệ vật lý đang ở trạng thái:

$|\Psi >=\sum _{i}A_{i}|\Psi _{O_{i}}>$

Việc thực hiện phép đo, để xác định giá trị của đại lượng O của hệ vật lý, tương đương với thực hiện phép toán là phép chiếu trên hàm sóng $|\Psi >$, khiến nó bị sụp đổ, một cách hoàn toàn ngẫu nhiên, về một trong các hàm riêng, ví dụ về $|\Psi _{O_{i}}>$. Xác suất để $|\Psi >$ sụp đổ về $|\Psi _{O_{i}}>$ chính bằng $|A_{i}|^{2}$. Nếu, và chỉ nếu, $|\Psi >$ sụp đổ về $|\Psi _{O_{i}}>$ thì giá trị đại lượng O thu được từ phép đo là trị riêng ứng với hàm riêng $|\Psi _{O_{i}}>$.

Hệ cơ sở liên tục

Trường hợp đại lượng vật lý cần đo, gọi là O, có toán tử ${\hat {O}}$ với các hàm riêng $\Psi _{O}$ trong đó O chạy liên tục trên một miền giá trị, thì hệ vật lý ở trạng thái tổng quát có thể được biểu diễn trên hệ cơ sở liên tục các hàm riêng $\Psi _{O}$ là:

$|\Psi >=\int A(O)|\Psi _{O}>dO$

Việc thực hiện phép đo, để xác định giá trị của đại lượng O của hệ vật lý, tương đương với thực hiện phép toán là phép chiếu trên hàm sóng $|\Psi >$, khiến nó bị sụp đổ, một cách hoàn toàn ngẫu nhiên, về một trong các hàm riêng, ví dụ về $|\Psi _{O}>$. Xác suất để giá trị đại lượng O thu được từ phép đo, nằm trong khoảng từ O₁ đến O₂ là:

$\int _{O_{1}}^{O_{2}}(A(O))^{2}dO$

Sai số đo

Như vậy, nếu hệ vật lý đang ở trong trạng thái ứng với đúng một trong các hàm riêng của ${\hat {O}}$ thì hàm sóng có xác suất 100% sụp đổ về chính nó và giá trị thu được của phép đo có xác suất 100% là trị riêng ứng với hàm riêng này. Khi đó phép đo có sai số bằng không.

Trường hợp tổng quát thì nếu có nhiều hệ vật lý ở cùng một trạng thái thì cùng thực hiện phép đo trên chúng sẽ có thể thu được các kết quả khác nhau, ứng với những trị riêng khác nhau, một cách ngẫu nhiên theo xác suất ứng với các trị riêng này như đã nêu ở trên. Giá trị trung bình của các phép đo này, như đã trình bày ở trên, là:

${\bar {O}}=<\Psi |{\hat {O}}|\Psi >$

Và sai số của phép đo là:

$(\Delta O)^{2}=<\Psi |({\bar {O}}-{\hat {O}})^{2}|\Psi >$

Tương tác khi đo

Khi thực hiện phép đo trên một hệ vật lý, trong nhiều trường hợp, chúng ta đã phá hủy và làm thay đổi trạng thái của nó, khiến trạng thái của nó sụp đổ vế một trong các hàm riêng. Tuy nhiên, nếu hệ vật lý đã ở trong trạng thái của một trong các hàm riêng, có những kỹ thuật đo mà có xác suất cao là không cần có tương tác vật lý với hệ, mà vẫn biết được trạng thái của hệ. Mục "Đo lường không tương tác" dưới đây có trình bày một số kỹ thuật như vậy.

Giao hoán tử

Xét hai toán tử ${\hat {A}}$ và ${\hat {B}}$, ứng với hai đại lượng vật lý A và B. Giao hoán tử của chúng là:

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}{\hat {B}}$

Nếu giao hoán tử bằng toán tử 0 thì hai toán tử ${\hat {A}}$ và ${\hat {B}}$ là giao hoán.

Bài tập ví dụ

Hãy xác định toán tử $[{\hat {L_{x}}},{\hat {L_{y}}}]$.

Lời giải

${\begin{aligned}[{\hat {L_{x}}},{\hat {L_{y}}}]&=-\hbar ^{2}((y{\frac {\delta }{\delta z}}-z{\frac {\delta }{\delta y}})(z{\frac {\delta }{\delta x}}-x{\frac {\delta }{\delta z}})\\&-(z{\frac {\delta }{\delta x}}-x{\frac {\delta }{\delta z}})(y{\frac {\delta }{\delta z}}-z{\frac {\delta }{\delta y}}))\\&=\hbar ^{2}(x{\frac {\delta }{\delta y}}-y{\frac {\delta }{\delta x}})=i\hbar {\hat {L_{z}}}\end{aligned}}$

Ví dụ, xét toán tử ${\hat {p_{x}}}$ và ${\hat {x}}$ là các toán tử ứng với đại lượng động lượng theo phương x và tọa độ x của vị trí:

${\hat {p_{x}}}{\hat {x}}\Psi =(-i\hbar ){\frac {\delta }{\delta x}})(x)\Psi =-i\hbar (({\frac {\delta x}{\delta x}})\Psi +x{\frac {\delta \Psi }{\delta x}}))=-i\hbar \Psi +{\hat {x}}{\hat {p_{x}}}\Psi$

Vậy

$[{\hat {p_{x}}},{\hat {x}}]={\hat {p_{x}}}{\hat {x}}-{\hat {x}}{\hat {p_{x}}}=-i\hbar$

và:

$[{\hat {x}},{\hat {p_{x}}}]=i\hbar$

Nghĩa là ${\hat {p_{x}}}$ và ${\hat {x}}$ là không giao hoán.

Có định lý trong đại số tuyến tính phát biểu rằng:

Nếu, và chỉ nếu, hai toán tử là giao hoán thì tồn tại các hàm riêng chung của hai toán tử này

Điều này nghĩa là nếu ${\hat {A}}$ và ${\hat {B}}$ giao hoán, thì tồn tại những hàm sóng mà giá trị của đại lượng A và của đại lượng B cùng đồng thời được xác định với sai số bằng 0, các giá trị này là các giá trị riêng của hàm sóng , khi ở vai trò hàm riêng của ${\hat {A}}$ và hàm riêng của ${\hat {B}}$.

Cũng theo đại số tuyến tính:

Nếu hai toán tử ${\hat {A}}$ và ${\hat {B}}$ là không giao hoán thì tích của sai số đại lượng A và sai số đại lượng B lớn hơn hoặc bằng ${\frac {1}{2}}|{\overline {[{\hat {A}},{\hat {B}}]}}|$

Đây chính là nguyên lý bất định Heisenberg. Ví dụ, với ${\hat {p_{x}}}$ và ${\hat {x}}$ không giao hoán:

$\Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {1}{2}}|{\overline {[{\hat {p_{x}}},{\hat {x}}]}}|$

$\Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\hbar$

Một tính chất nữa của giao hoán tử là:

$[{\hat {A}}{\hat {B}},{\hat {C}}]={\hat {A}}[{\hat {B}},{\hat {C}}]+[{\hat {A}},{\hat {C}}]{\hat {B}}$

Xét đạo hàm theo thời gian của giá trị trung bình của một đại lượng A:

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bar {A}}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}<\Psi |{\hat {A}}|\Psi >\\&=<{\frac {\partial {\Psi ^{*}}}{\partial t}}|{\hat {A}}\Psi >+<\Psi ^{*}|{\frac {\partial A}{\partial t}}\Psi >+<\Psi ^{*}|A{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}>\\&=<{\frac {\partial {\Psi ^{*}}}{\partial t}}|{\hat {A}}\Psi >+{\overline {\frac {\partial A}{\partial t}}}+<\Phi ^{*}|A{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}>\end{aligned}}$

Sử dụng phương trình Schrodinger:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}\Psi$

${\frac {\partial {\Psi ^{*}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Psi ^{*}{\hat {H}}^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Psi ^{*}{\hat {H}}$

thu được:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bar {A}}={\frac {1}{i\hbar }}<\Psi |{\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}|\Psi >+{\overline {\frac {\partial A}{\partial t}}}={\frac {1}{i\hbar }}{\overline {[{\hat {A}},{\hat {H}}]}}+{\overline {\frac {\partial A}{\partial t}}}$

Đây là định lý Ehrenfest tổng quát. Từ định lý này, suy ra một số trường hợp con.

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bar {x}}&={\frac {1}{i\hbar }}{\overline {[{\hat {x}},{\hat {H}}]}}+{\overline {\frac {\partial {\hat {x}}}{\partial t}}}\\&={\frac {1}{i\hbar }}{\overline {[{\hat {x}},{\frac {{\hat {p_{x}}}.{\hat {p_{x}}}}{2m}}-V({\hat {x}})]}}\end{aligned}}$

Toán tử $V({\hat {x}})$ và ${\hat {x}}$ giao hoán nên $[{\hat {x}},V({\hat {x}})]=0$. Còn:

$[{\hat {x}},{\hat {p_{x}}}.{\hat {p_{x}}}]=-[{\hat {p_{x}}}.{\hat {p_{x}}},{\hat {x}}]=-({\hat {p_{x}}}[{\hat {p_{x}}},{\hat {x}}]+[{\hat {p_{x}}},{\hat {x}}]{\hat {p_{x}}})=-({\hat {p_{x}}}(-i\hbar )+(-i\hbar ){\hat {p_{x}}})=2i\hbar {\hat {p_{x}}}$

Vậy:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bar {x}}={\overline {\frac {p_{x}}{m}}}$

Tức vận tốc trung bình bằng động lượng trung bình chia cho khối lượng. Tương tự, có thể chứng minh:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bar {p_{x}}}=-{\overline {\frac {\delta V(x)}{\delta x}}}$

Như vậy về mặt hình thức, các giá trị trung bình trong cơ học lượng tử tuân theo cơ học cổ điển của Newton.

---