Tính toán lượng tử/Thông tin lượng tử

Trong máy tính cổ điển, thông tin có thể được biểu diễn ở dạng chuỗi các bit. Mỗi bit có thể nhận giá trị 0 hoặc 1.

Trong tính toán lượng tử, thông tin có thể được biểu diễn ở dạng chuỗi các qubit. Mỗi qubit là một hệ lượng tử có trạng thái có thể biểu diễn trong không gian véc tơ 2 chiều, có hệ cơ sở gồm hai véc tơ riêng của một toán tử ứng với một đại lượng vật lý nào đó, gọi là hai trạng thái cơ bản |0> và |1>.

1 qubit

Trạng thái của qubit có thể được thể hiện trên mặt cầu Bloch.

Mọi trạng thái của qubit có thể biểu diễn bởi véc tơ trạng thái:

$|\Psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle$

Ở đây a và b là các số phức thỏa mãn a²+b²=1 với hàm sóng đã được chuẩn hóa. Có thể biểu diễn các tham số a và b theo hai tham số khác, là $\theta$ và $\phi$ như sau:

$|\Psi \rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)|1\rangle$

Ở đây, $0\leq \theta \leq \pi$ và $0\leq \phi <2\pi$.

Mỗi điểm trên một mặt cầu, gọi là mặt cầu Bloch, đều tương ứng với một bộ góc $\theta$ và $\phi$ xác định, và do đó tương ứng với một trạng thái của qubit. Điểm ở trên đỉnh của mặt cầu Bloch là trạng thái |0>, còn điểm ở dưới đáy của mặt cầu Bloch là trạng thái |1> và tất cả các trạng thái $e^{i\phi }|1\rangle$.

Ngoài hệ cơ sở |0> và |1>, trạng thái của qubit cũng có thể được biểu diễn trên hệ cơ sở khác, ví dụ gồm |+> và |->:

$|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )$

$|-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )$

2 qubit

Trong máy tính cổ điển, một chuỗi hai bit có thể nhận một trong bốn giá trị 00, 01, 10 hoặc 11.

Trong tính toán lượng tử, trạng thái của chuỗi hai qubit là véc tơ nằm trong không gian véc tơ 4 chiều. Mọi trạng thái của chuỗi 2 qubit có thể biểu diễn bởi véc tơ trạng thái:

$|\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle$

Ở đây, |00> là trạng thái qubit thứ nhất là xác định ở |0>, qubit thứ hai cũng ở trạng thái xác định là |0>, hay còn được viết là:

$|00\rangle =|0\rangle |0\rangle$

Tương tự:

$|01\rangle =|0\rangle |1\rangle ,|10\rangle =|1\rangle |0\rangle ,|11\rangle =|1\rangle |1\rangle$

Có những trạng thái của chuỗi 2 qubit ứng với qubit thứ nhất có trạng thái xác định ở $e|0\rangle +f|1\rangle$ và qubit thứ hai có trạng thái xác định ở $g|0\rangle +h|1\rangle$:

$|\Psi \rangle =(e|0\rangle +f|1\rangle )(g|0\rangle +h|1\rangle )=eg|0\rangle |0\rangle +eh|0\rangle |1\rangle +fg|1\rangle |0\rangle +fh|1\rangle |1\rangle =eg|00\rangle +eh|01\rangle +fg|10\rangle +fh|11\rangle$

Tuy nhiên có nhiều trạng thái tổng quát $|\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle$ mà không thể phân tích nhân tử thành tích của hai trạng thái xác định của hai qubit. Khi đó, không thể biết chính xác trạng thái của từng qubit, nhưng vẫn biết chính xác trạng thái của chuỗi hai qubit. Trạng thái hai qubit như vậy gọi là trạng thái vướng víu lượng tử.

4 véc tơ $|00\rangle =|0\rangle |0\rangle$, $|00\rangle =|0\rangle |0\rangle$, $|00\rangle =|0\rangle |0\rangle$ và $|00\rangle =|0\rangle |0\rangle$ là một hệ cơ sở, gồm toàn các trạng thái không vướng víu, của không gian véc tơ chứa các trạng thái của 2 qubit. Tuy nhiên cũng tồn tại hệ cơ sở chứa toàn các trạng thái vướng víu, của không gian véc tơ chứa các trạng thái của 2 qubit. Hệ các trạng thái Bell là một hệ như vậy, gồm 4 véc tơ:

$|\beta _{00}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

$|\beta _{01}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle -|11\rangle )$

$|\beta _{10}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )$

$|\beta _{11}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle )$

Một phép đo thực hiện trên chuỗi các qubit sẽ làm trạng thái của chuỗi sụp đổ về một trong các véc tơ cơ sở. Phép đo Bell là phép đó khiến trạng thái của hệ 2 qubit sụp về một trong các trạng thái Bell.

---