Sách công thức toán

Ký số

Loại Ký số	Biểu tượng số
Ký số La Mã	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Ký số Ả rập	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Ký số Trung quốc	-	=
Giá trị	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Số đại số

Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số. Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số đại số	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Số tự nhiên		$N$	$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Số chẳn	Mọi số chia hết cho 2	$2n$	$2,4,6,$
Số lẻ	Mọi số không chia hết cho 2	$2n+1$	$1,3,5,7,9$
Số nguyên tố	Mọi số chia hết cho 1 và cho chính nó	$p$	$1,3,5,7$
Số lũy thừa	$a^n=a\times a\times a\mathrm{...}\times a$	$a^n$	$2^3=2\times 2\times 2=8$
Số căn	$n\sqrt{a}$ khi có $a^{\frac{1}{n}}$	$n\sqrt{a}$	$a^{\frac{1}{n}}$
Số log	$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$	$Lo{g}_{a}b$	$Lo{g}_{10}100=2$
Số nguyên	$I=+I,-I,0$	$I$	$+1,-1,0$
Phân số	Số có dạng một số trên một số khác	$\frac{a}{b}$	$\frac{1}{2}$
Số thập phân		$0.abcd$	$0.5$
Số hửu tỉ
Số vô tỉ
Số phức	$Z=a\pm jb$	$Z$	$2\pm j3$
Số thực	$a$	$a$	$2$
Số ảo	$j/i=\sqrt{-1}$	$i,j$	$\pm j3$
Hằng số	Số đại số có giá trị không đổi	$c$	$\pi ,e$

Phép toán số đại số

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
Toán cộng	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
Toán chia	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa	$a^n$	$a^n=a\times a\times a\mathrm{...}$	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn	$\sqrt{}$	$\sqrt{a}=b$ nếu có $b^n=a$	Toán lủy thừa nghịch
Toán log	$Log,Ln$	$Lo{g}_{10}a=b$ Nếu có $10^b=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Phép toán Số nguyên

Số nguyên $I=I<0,I=0,I>0$

Toán Số nguyên	Công thức
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^2$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^2$ $\frac{a}{a}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a\mathrm{...}\times a$ $(-a{)}^n=a^n$ . $n=2m$$(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	$\sqrt{0}=0$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{(-1)}=j$

Phép toán Lũy thừa

$a^n=a\times a\times a\times a\mathrm{...}\times a$

Toán lủy thừa	Công thức
Lủy thừa không	$a^0=1$
Lủy thừa 1	$a^1=a$
Lủy thừa của số không	$0^n$
Lủy thừa của số 1	$1^n=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac{m}{n}}=n\sqrt{a^m}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$. $(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a{)}^n=a^n$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab{)}^m=a^m\times b^m$
Lủy thừa của thương hai số	$(\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{a^n}$
Lủy thừa của căn	$(\sqrt{a^n}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^m+a^n=a^m(1+a^{n-m})$ $a^m-a^n=a^m(1-a^{n-m})$ $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)}}$ $(a+b{)}^n=a^n+C_{n-1}{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+C_{1}a{b}^{n-1}+b^n$ $(a+b{)}^0=1$ $(a+b{)}^1=a+b$ $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+2ab+b^2$ $(a+b{)}^3=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)}}$ $(a-b{)}^0=1$ $(a-b{)}^1=a+b$ $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)=a^2-2ab+b^2$ $(a-b{)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^2-b^2=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

Phép toán Toán căn

$n\sqrt{a}=b$ khi có $a=b^n$

Toán căn số	Công thức
Căn và lủy thừa	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$
Căn của số nguyên	$\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$
Căn lủy thừa	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$
Căn thương số	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Căn tích số	$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$
Vô căn	$a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$
Ra căn	$\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$

Phép toán Toán log

$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$

Toán Log	Công thức
Viết tắc	$Log=Lo{g}_{10}$ $Ln=Lo{g}_2$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Lo{g}_n(A{)}^n=A$
Lũy thừa log	$B^{Lo{g}_B(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log(\frac{A}{B})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^n)=nLogA$
Đổi nền log	$Lo{g}_{a}x=\frac{Logx}{Loga}$

Phép toán Toán số phức

Số phức được biểu diển như ở dưới đây

Số phức	Thuận $Z$	Nghịch $Z^{\ast }$
Biểu diển dưới dạng xy	$Z=x+jy$	$Z=x-jy$
Biểu diển dưới dạng Zθ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }-ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác	$Z=z(cos\theta +jsin\theta )$	$Z=z(cos\theta -jsin\theta )$
Biểu diển dưới lũy thừa của e	$Z=z{e}^{j\theta }$	$Z=z{e}^{-j\theta }$

Toán số phức được thực thi như sau

Toán Số phức	Toán cộng	Toán trừ	Toán nhân	Toán chia
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$Z=z{e}^{j\theta }$ và $Z=z{e}^{-j\theta }$	$z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$	$z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$	$z^2$	$e^{j2\theta }$

Định lý Demoive

$(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$

Dải số đại số

Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên	$1,2,3,4,5,\mathrm{....},n$
Dải số của các số tự nhiên chẳn	$2,4,6,8,10,\mathrm{...},2n$
Dải số của các số tự nhiên lẻ	$1,3,5,7,\mathrm{...},2n+1$

Tổng dải số đại số

Chuổi sô	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Chuổi số	phép toán tìm tổng của một dải số	$S=\sum$	$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n=1+2+3+\mathrm{...}+n=k(1+n)$

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+\mathrm{...}+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,\mathrm{...9}$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+\mathrm{...9}=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\mathrm{...}+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\mathrm{...}+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Tổng dải số Fourier

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Biểu thức đại số

Biểu thức	Đơn thức	Đa thức	Đẳng thức	Bất đẳng thức
$2x$, $5xyz$	$2x+5y$, $5xy-2y$	$2x=5y$, $5xy=2y$	$2x$ > $5y$, $5xy$ < $2y$

Hằng đẳng thức

Hằng đẳng thức	Công thức
Bình phương tổng 2 số đại số	$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$
Bình phương hiệu 2 số đại số	$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$
Tổng 2 bình phương	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$ $a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab$
Hiệu 2 bình phương	$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
Tổng 2 lập phương	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
Hiệu 2 lập phương	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Hàm số đại số

Tính chất

Hàm số	Công thức
Hàm số có dạng tổng quát	$f(x,y,z,\mathrm{...})$
Giá trị hàm số	$f(x,y,z,\mathrm{...})=C$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn even function	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ odd function	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo inverse function	$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$si{n}^{-1}x=\frac{1}{sinx}$
Hàm số trong hàm số composite function	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số parametric function	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] recursive function

Phép toán hàm số

Đồ thị hàm số

Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)

x	-2 -1 0 1 2	Hình
F(x)=x	-2 -1 0 1 2

Đồ thị hàm số	Hình
Thẳng
Cong
Tròn
Lũy thừa
Log
Sin
Cos
Sec
Csc
Tan
Cot

Công thức toán

Danh sách các hàm số	Công thức
Hàm số đường thẳng	$Y=ZX$ $y-y_o=Z(x-x_o)$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số vòng tròn Z đơn vị	$Z^2=X^2+Y^2$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$
Hàm số lượng giác	$cos\theta =\frac{X}{Z}$ $sin\theta =\frac{Y}{Z}$ $sec\theta =\frac{1}{X}$ $csc\theta =\frac{1}{Y}$ $tan\theta =\frac{Y}{X}$ $cot\theta =\frac{X}{Y}$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=a{x}^n$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function	$y(x)=a{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_0{x}^0$
Hàm số chia/]] Rational function	$Q(x)=\frac{N(x)}{M(x)}-R(x)$

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_3{x}^4+\mathrm{...}=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+\mathrm{...}$

Chứng minh

Khi x=0
$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0
$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$
$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$
$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$
$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$
$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được
$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Toán giải tích - Phép toán hàm số

Với đường thẳng nghiêng đi qua 2 điểm (xo,yo) - (x,y) dưới đây

Ta có thể tính các loại toán sau

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số cho biết tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x có thể biểu diển bằng công thức toán dưới đây

$a=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y-y_o}{x-x_o}$

$a=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Với

Thay đổi biến số x

$\mathrm{\Delta }x=x-x_o=(x+\mathrm{\Delta }x)-x$

Thay đổi biến số y

$\mathrm{\Delta }y=y-y_o=\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$ -

Diện tích dưới hình

$s=\mathrm{\Delta }xy+\mathrm{\Delta }x\frac{\mathrm{\Delta }y}{2}=\mathrm{\Delta }x[y+\frac{\mathrm{\Delta }y}{2}]=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]$

$s=\mathrm{\Delta }x[f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2}]=\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}[2f(x)+f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)]=\frac{\mathrm{\Delta }x}{2}[f(x)+f(x+\mathrm{\Delta }x)]$

Với mọi đường cong bên dưới

Ta có thể tính các loại toán sau

Đạo hàm hàm số đường cong

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Tích phân xác định đường cong

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định đường cong

$\int f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=F(x)+C$

Phương trình đại số

Dạng tổng quát

Phương trình có dạng tổng quát

$f(x,y,z,\mathrm{...})=0$

Giải phương trình

Quá trình tìm giá trị nghiệm số thỏa mản

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ :$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ v$x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s^n=-\frac{b}{a}$ $s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$ $f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+\frac{b}{a}sf(x)+\frac{c}{a}f(x)=0$ $s^2+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=A{e}^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha =\frac{b}{2a}$ . $\beta =\frac{c}{a}$ . $\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$ . $\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s=-\frac{b}{a}$ $f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$

Hình học Eucleur

Điểm

Ký hiệu

.

Thí dụ

. A

Đường thẳng

Đường nối liền giửa 2 điểm tạo từ nhiều đoạn thẳng

Đường thẳng vuông góc

	Định nghỉa	Tính chất
Đường thẳng vuông góc	Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông 90o sẻ tạo ra hai Đường thẳng vuông góc voi nhau $AB\perp CD$ Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD	$\perp$	Góc B đỏ = Góc B xanh = 90o Góc B đỏ + Góc B xanh = 90o + 90o = 180o Góc B đỏ = 180o - Góc B xanh Góc B xanh = 180o - Góc B đỏ

Đường thẳng song song

Hai đường thẳng không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào là đường thẳng song song . Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung . Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song

A ------------- B

C ------------- D

Ký hiệu đường thẳng song song $//$

AB // CD

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

1. Hai góc so le trong bằng nhau;
2. Hai góc đồng vị bằng nhau;
3. Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Độ dài đường thẳng trong tam giác vuông Pythagore

Tương quan giửa góc và cạnh trong tam giác vuông Pythagore

$cos\theta =\frac{X}{Z}$

$sin\theta =\frac{Y}{Z}$

$sec\theta =\frac{1}{X}$

$csc\theta =\frac{1}{Y}$

$tan\theta =\frac{Y}{X}$

$cot\theta =\frac{X}{Y}$

Độ dài các cạnh

$X=\frac{Y}{Z}=Zcos\theta =x-x_o=\mathrm{\Delta }x$ - Cạnh ngang

$Y=ZX=Zsin\theta =y-y_o=\mathrm{\Delta }y$ - Cạnh dọc

$Z=\frac{Y}{X}=tan\theta =\frac{y-y_o}{x-x_o}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$ - Cạnh nghiêng

$\theta =ta{n}^{-1}Z=ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$

Phương trình đường thẳng nghiêng

$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$

$Y=ZX$

Từ trên

$X=\frac{Y}{Z}=\frac{y-y_o}{Z}$

$y=y_o+ZX$

$y_o=y-ZX$

Diện tích dưới hình

$S=X(y_o+\frac{Y}{2})=X(y_o+\frac{ZX}{2})=X(y-\frac{ZX}{2})$

$S=(\frac{y-y_o}{Z})(\frac{2y_o+y-y_o}{2})=\frac{y^2-y_o^2}{2Z}$

Vector

Vector đại diện cho một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ có ký hiệu → . Thí dụ, Vector $\overrightarrow{AB}$

Tính chất

Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây

$\overrightarrow{A}=A\overrightarrow{a}$

Với

$\overrightarrow{A}$ - Vector

$\overrightarrow{A}=A$ . Cường độ vector

$\overrightarrow{A}=\overrightarrow{a}$ . Vector 1 đơn vị

Cường độ vector

$A=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Vector 1 đơn vị

$\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{A}}{a}$

Vector đường thẳng

Vector đường thẳng ngang	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$
Vector đường thẳng dọc	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$
Vector đường thẳng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}$

Vector đường tròn

Vector đường tròn

$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}=X\overrightarrow{i}+Y\overrightarrow{j}$

Cộng vector

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là một vectơ được xác định theo quy tắc:

• Quy tắc 3 điểm

di chuyển vectơ $\overrightarrow{CD}$ sao cho điểm đầu C của $\overrightarrow{CD}$ trùng với điểm cuối B của $\overrightarrow{AB}$: $C\equiv B$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng

• Quy tắc hình bình hành

di chuyển vectơ $\overrightarrow{CD}$ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ $\overrightarrow{AB}$. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, chiều từ gốc A đến điểm cuối

Tính chất Vectơ	Công thức
Tính chất giao hoán	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
Tính chất kết hợp	$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$
Tính chất của vectơ-không	$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$
Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có:	$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
I là trung điểm đoạn thẳng AB	$\iff \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{0}$
G là trọng tâm $△ABC$	$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Nhân vector

Với hai vectơ bất kì, với hằng số h và k, ta có

• $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$
• $(h+k)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$
• $h(k\overrightarrow{a})=(hk)\overrightarrow{a}$
• $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$
• $(-1).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$

Chấm 2 vector

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] và B = [B₁, B₂,..., B_n] được định nghĩa như sau

$𝐀\cdot 𝐁=\sum _{i=1}^n{A}_i{B}_i=A_1{B}_1+A_2{B}_2+\cdots +A_n{B}_n$

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert \cos (\theta ),$ . Trong đó θ là góc giữa A và B.

Trường hợp đặc biệt,

• Nếu A và B trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:

$𝐀\cdot 𝐁=0.$

• Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:

$𝐀\cdot 𝐁=\Vert 𝐀\Vert \Vert 𝐁\Vert$

Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:

$𝐀\cdot 𝐀={\Vert 𝐀\Vert }^2,$

ta có:

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{𝐀\cdot 𝐀},$

là khoảng cách Euclid của vectơ, luôn có giá trị dương khi A khác 0.

Cho vectơ A = [A₁, A₂,..., A_n] ta có

$\Vert 𝐀\Vert =\sqrt{\sum _{k=1}^n{A}_k^2}$

Cho a, b, và c là các vectơ và r là đại lượng vô hướng, tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:.

1. Giao hoán:

   $𝐚\cdot 𝐛=𝐛\cdot 𝐚,$

   được suy ra từ định nghĩa (θ góc giữa a và b):

   $𝐚\cdot 𝐛=\Vert 𝐚\Vert \Vert 𝐛\Vert \cos \theta =\Vert 𝐛\Vert \Vert 𝐚\Vert \cos \theta =𝐛\cdot 𝐚.$

2. Phân phối cho phép cộng vectơ:

   $𝐚\cdot (𝐛+𝐜)=𝐚\cdot 𝐛+𝐚\cdot 𝐜.$

3. Dạng song tuyến:

   $𝐚\cdot (r𝐛+𝐜)=r(𝐚\cdot 𝐛)+(𝐚\cdot 𝐜).$

4. Phép nhân vô hướng:

   $(c_1𝐚)\cdot (c_2𝐛)=c_1{c}_2(𝐚\cdot 𝐛).$

5. Không có tính kết hợp bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng (a ⋅ b) và vectơ (c) không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c) là không hợp lệ.
6. Trực giao:

   Hai vectơ khác vectơ không: a và b trực giao khi và chỉ khi a ⋅ b = 0.

   Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là vuông góc.

7. Không có tính khử:

   Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu

   ab = ac, thì b luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:

   Nếu a ⋅ b = a ⋅ c và a ≠ 0, thì ta có: a ⋅ (b − c) = 0 theo như luật phân phối; suy ra a trực giao với (b − c), tức là (b − c) ≠ 0, và dẫn đến b ≠ c.

8. Quy tắc đạo hàm tích: Nếu a và b là hàm số, thì đạo hàm của a ⋅ b là a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

Tam giác có cạnh vectơ a and b, và góc giữa 2 vectơ là θ.

Hai vectơ a và b có góc giữa hai vectơ là θ (như trong hình bên phải) tạo thành một tam giác có cạnh thứ ba là c = a − b. Tích vô hướng của c và chính nó là Định lý cos:

$\begin{array}{cc}𝐜\cdot 𝐜& =(𝐚-𝐛)\cdot (𝐚-𝐛)\\ & =𝐚\cdot 𝐚-𝐚\cdot 𝐛-𝐛\cdot 𝐚+𝐛\cdot 𝐛\\ & =a^2-𝐚\cdot 𝐛-𝐚\cdot 𝐛+b^2\\ & =a^2-2𝐚\cdot 𝐛+b^2\\ c^2& =a^2+b^2-2ab\cos \theta \\ \end{array}$

Chéo 2 vector

Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải

Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải.

Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay $[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]$, định nghĩa bởi:

$𝐚\times 𝐛=\widehat{𝐧}\left|𝐚\right|\left|𝐛\right|\sin \theta$

với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$, khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

$[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}]=(\left|\begin{array}{cc}{B}_1& C_1\\ B_2& C_2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{C}_1& A_1\\ C_2& A_2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|)$

Vector chuyển động

Vector

Vector chuyển động thẳng hàng ngang	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$
Vector chuyển động thẳng hàng dọc	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$
Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}$
Vector chuyển động tròn	$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$

Vector 1 đơn vị

Vector chuyển động thẳng hàng ngang	$\overrightarrow{i}=\frac{\overrightarrow{X}}{X}$
Vector chuyển động thẳng hàng dọc	$\overrightarrow{j}=\frac{\overrightarrow{Y}}{Y}$
Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng	$\overrightarrow{k}=\frac{\overrightarrow{Z}}{Z}$
Vector chuyển động tròn	$\overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{R}}{R}$

Cường độ Vector

Cường độ Vector chuyển động thẳng hàng ngang	$X=\frac{\overrightarrow{X}}{\overrightarrow{i}}$
Cường độ Vector chuyển động thẳng hàng dọc	$Y=\frac{\overrightarrow{Y}}{\overrightarrow{j}}$
Cường độ Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng	$Z=\frac{\overrightarrow{Z}}{\overrightarrow{k}}$
Cường độ Vector chuyển động tròn	$R=\frac{\overrightarrow{R}}{\overrightarrow{r}}$

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	$\frac{d}{dt}s(t)$	$\frac{d^2}{d{t}^2}s(t)$
Vector đương thẳng ngang	→→	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{X}=\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}=v_x\overrightarrow{i}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{X}=\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}=a_x\overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	↑ ↑	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Y}=\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}=v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Y}=\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}=a_y\overrightarrow{j}$
Vector đương thẳng nghiêng		$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Z}=\frac{dZ}{dt}\overrightarrow{k}=v_z\overrightarrow{k}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Z}=\frac{d^{2}Z}{d{t}^2}\overrightarrow{k}=a_z\overrightarrow{k}$
Vector đương tròn		$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}$ $R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d}{dt}R=R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}$ $R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d^2}{d{t}^2}R=R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}$
Vector đương tròn		$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$ $\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}=\frac{d^2}{d{t}^2}(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$ $\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}+\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}$

Góc

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng

Ký hiệu

$\mathrm{\angle }$

Đơn vị

$1rad=\frac{180^o}{\pi }$
$1^o=\frac{\pi }{180^o}$

Thí dụ

$\mathrm{\angle }A=30^0=\frac{\pi }{6}rad$

Thể loại góc

Góc	Hình	Định nghỉa
Góc nhọn		Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông		Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù		Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt		Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản		Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy		Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hình tam giác

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin

• 3 điểm . $A,B,C$
• 3 cạnh . $AB,BC,CA$
• 3 góc . $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }C$

Chu vi Diện tích Thể tích

	Chu vi	Diện tích	Thể tích
	$a+b+c$	$\frac{ba}{2}$	$ab\frac{h}{2}$

Tam giác thường

Định lý Sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}.$

Định lý Cosin

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng $90^o$

c - Cạnh huyền

a - Cạnh đối

b - Cạnh kề

• Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90^o
• $\mathrm{\angle }C=90^o$
• $\overline{AC}\perp \overline{CB}$

Định lý tam giác vuông

• Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông
• Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
• Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo)
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
• Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông
• Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông.

Định lý Pytago

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình

$a^2+b^2=c^2$

Trong đó, c là chiều dài của cạnh huyền và a và b là chiều dài của hai cạnh còn lại.

Hàm số lượng giác

Tương quan các cạnh và góc

Hàm số góc lượng giác	Tỉ lệ cạnh	Đồ thị
Cosine	$\frac{X}{Z}=\cos \theta$
Sine	$\frac{Y}{Z}=\sin \theta$
Cosine	$\frac{1}{X}=\sec \theta$
Cosecant	$\frac{1}{Y}=\csc \theta$
Tangent	$\frac{Y}{X}=\tan \theta$
Cotangent	$\frac{X}{Y}=\cot \theta$

Tam giác vuông trên đồ thị XY

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang	$X=\frac{Y}{Z}$	$x-x_o$	$\mathrm{\Delta }x$	$Z\cos \theta$
Độ dài cạnh dọc	$Y=ZX$	$y-y_o$	$\mathrm{\Delta }y$	$Z\sin \theta$
Độ dóc	$Z=\frac{Y}{X}$	$\frac{y-y_o}{x-x_o}$	$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$	$Tan\theta$
Độ nghiêng	$\theta ={\tan }^{-1}Z$	$\theta ={\tan }^{-1}\frac{Y}{X}$

Vector đương thẳng ngang	$\overrightarrow{X}=x\overrightarrow{i}$	$(x-x_o)\overrightarrow{i}$	$Z\cos \theta \overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	$\overrightarrow{Y}=y\overrightarrow{i}$	$(y-y_o)\overrightarrow{i}$	$Z\sin \theta \overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng nghiêng	$\overrightarrow{Z}=z\overrightarrow{k}$	$(z-z_o)\overrightarrow{k}$

Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z	$Y=ZX$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }Ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$
Diện tích dưới hình	$s=X(y_o+\frac{Y}{2})=X(y_o+\frac{ZX}{2})=X(y-\frac{ZX}{2})=\frac{y^2-y_o^2}{2Z}$

Hàm số lượng giác cơ bản

Định nghỉa

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tỉ lệ các cạnh trong tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Tính chất

Tuần hoàn

$\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$

$\sin (-x)=-\sin (x)$

$\sin (x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$

Đối xứng

$\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$

$\cos (-x)=\cos (x)$

$\cos (x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$

Tịnh tiến

$\tan (x)=\tan (x+k\pi )$

$\tan (-x)=-\tan (x)$

$\tan (x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$

$\cot (-x)=-\cot (x)$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

với

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a\ge 0;\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a<0.\end{array}$

Góc bội

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

công thức de Moivre:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)$

$=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin (nx)=2\sin ((n-1)x)\cos (x)-\sin ((n-2)x)$

$\cos (nx)=2\cos ((n-1)x)\cos (x)-\cos ((n-2)x)$=

Góc chia đôi

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Nếu

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

thì:

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

and

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

and

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Tổng 2 góc

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

Hiệu 2 góc

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

Tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Lũy thừa góc

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^{2}2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{4}$

${\sin }^3(x)=\frac{2\sin 2(x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Hàm số lượng đường thẳng

Hàm số lượng đường thẳng nghiêng

$Z=z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{X^2+Y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{Y}{X}$

Hàm số lượng đường thẳng dọc

$Y=y\mathrm{\angle }90$

Hàm số lượng đường thẳng ngang

$X=x\mathrm{\angle }0$

Hàm số lượng đường tròn

Hàm số lượng đường tròn Z đơn vị

$R=\theta$

$Z^2=X^2+Y^2$

Hàm số lượng đường tròn 1 đơn vị

$1=(\frac{X}{Z}{)}^2+(\frac{Y}{Z}{)}^2=co{s}^{2}x+si{n}^{2}x=se{c}^{2}x-ta{n}^{2}x=cs{c}^{2}x-co{t}^{2}x$