Bước tới nội dung

Sách công thức toán

Tủ sách mở Wikibooks

Ký số[sửa]

Loại Ký số Biểu tượng số
Ký số La Mã I II III IV V VI VII VIII IX X
Ký số Ả rập 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ký số Trung quốc - =
Giá trị 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Số đại số[sửa]

Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.

Loai số đại số[sửa]

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số đại số Định nghỉa Ký hiệu Thí dụ
Số tự nhiên
Số chẳn Mọi số chia hết cho 2
Số lẻ Mọi số không chia hết cho 2
Số nguyên tố Mọi số chia hết cho 1 và cho chính nó
Số lũy thừa
Số căn khi có
Số log khi có
Số nguyên
Phân số Số có dạng một số trên một số khác
Số thập phân
Số hửu tỉ
Số vô tỉ
Số phức
Số thực
Số ảo
Hằng số Số đại số có giá trị không đổi

Phép toán số đại số[sửa]

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán Ký Hiệu Công Thức Định Nghỉa
Toán cộng Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân Toán Nhân hai số đại số
Toán chia Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn nếu có Toán lủy thừa nghịch
Toán log Nếu có Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Phép toán Số nguyên[sửa]

Số nguyên


Toán Số nguyên Công thức
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không




Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm




Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương




Lũy thừa số nguyên



. . Với

Căn số nguyên



Phép toán Lũy thừa[sửa]

Toán lủy thừa Công thức
Lủy thừa không
Lủy thừa 1
Lủy thừa của số không
Lủy thừa của số 1
Lủy thừa trừ
Lủy thừa phân số
Lủy thừa của số nguyên âm


Với .
. Với

Lủy thừa của số nguyên dương
Lủy thừa của lủy thừa
Lủy thừa của tích hai số
Lủy thừa của thương hai số
Lủy thừa của căn
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa






Lủy thừa của tổng hai số






Lủy thừa của hiệu hai số






Hiệu 2 lũy thừa
Tổng 2 lũy thừa

Phép toán Toán căn[sửa]

khi có
Toán căn số Công thức
Căn và lủy thừa
Căn của số nguyên




Căn lủy thừa


Căn thương số



Căn tích số


=

Vô căn


Ra căn


Phép toán Toán log[sửa]

khi có
Toán Log Công thức
Viết tắc

Log 1
Log lũy thừa
Lũy thừa log
Log của tích số
Log của thương số
Log của lủy thừa
Đổi nền log

Phép toán Toán số phức[sửa]

Số phức được biểu diển như ở dưới đây

Số phức Thuận Nghịch
Biểu diển dưới dạng xy
Biểu diển dưới dạng Zθ
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác
Biểu diển dưới lũy thừa của e

Toán số phức được thực thi như sau

Toán Số phức Toán cộng Toán trừ Toán nhân Toán chia

Định lý Demoive

Dải số đại số[sửa]

Dải số[sửa]

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên
Dải số của các số tự nhiên chẳn
Dải số của các số tự nhiên lẻ

Tổng dải số đại số[sửa]

Chuổi sô Định nghỉa Ký hiệu Thí dụ
Chuổi số phép toán tìm tổng của một dải số


Tổng chuổi số cấp số cộng[sửa]

Dạng tổng quát

Chứng minh

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

Tổng số của dải số

Cách giải

Tổng chuổi số cấp số nhân[sửa]

Dạng tổng quát

Chứng minh

với

Thí dụ

Tổng chuổi số Pascal[sửa]

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

Với

Thí dụ


Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây


                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor[sửa]

Dạng tổng quát

Tổng dải số Fourier[sửa]

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

Công thức tổng dải số[sửa]

where is some constant.

Biểu thức đại số[sửa]

Biểu thức Đơn thức Đa thức Đẳng thức Bất đẳng thức
, , , > , <

Hằng đẳng thức[sửa]

Hằng đẳng thức Công thức
Bình phương tổng 2 số đại số
Bình phương hiệu 2 số đại số
Tổng 2 bình phương
Hiệu 2 bình phương
Tổng 2 lập phương
Hiệu 2 lập phương

Bất đẳng thức[sửa]

Hàm số đại số[sửa]

Tính chất[sửa]

Hàm số Công thức
Hàm số có dạng tổng quát
Giá trị hàm số

Loại hàm số[sửa]

Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function
Hàm số chẳn even function
Hàm số lẽ odd function
Hàm số nghịch đảo inverse function
Hàm số trong hàm số composite function
Hàm số nhiều biến số parametric function
Hàm số tương quan/]] recursive function

Phép toán hàm số[sửa]

Đồ thị hàm số[sửa]

Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)

x -2 -1 0 1 2 Hình
F(x)=x -2 -1 0 1 2
Đồ thị hàm số Hình
Thẳng
Cong
Tròn
Lũy thừa
Log Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, Bản mẫu:Mvar và 10
Sin
Cos
Sec
Csc
Tan
Cot

Công thức toán[sửa]

Danh sách các hàm số Công thức
Hàm số đường thẳng


Hàm số vòng tròn Z đơn vị


Hàm số vòng tròn 1 đơn vị





Hàm số lượng giác







Hàm số lũy thừa Power function


Hàm số Lô ga rít


Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function


Hàm số chia/]] Rational function

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số Maclaurin[sửa]

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

Chứng minh

Khi x=0


Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0



Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0




Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0




Thế vào hàm số ở trên ta được

Toán giải tích - Phép toán hàm số[sửa]

Với đường thẳng nghiêng đi qua 2 điểm (xo,yo) - (x,y) dưới đây

Ta có thể tính các loại toán sau

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số cho biết tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x có thể biểu diển bằng công thức toán dưới đây

Với

- Thay đổi biến số x
- Thay đổi biến số y
Diện tích dưới hình

Với mọi đường cong bên dưới

Ta có thể tính các loại toán sau

Đạo hàm hàm số đường cong
Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến b
Tích phân xác định đường cong
Tích phân bất định đường cong

Phương trình đại số[sửa]

Dạng tổng quát[sửa]

Phương trình có dạng tổng quát

Giải phương trình[sửa]

Quá trình tìm giá trị nghiệm số thỏa mản

Giải phương trình lũy thừa[sửa]

Phương trình lũy thừa Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1
Giải phương trình lũy thừa bậc 2


:
.
.
.




v

Giải phương trình lũy thừa bậc n

Giải phương trình đạo hàm[sửa]

Phương trình đạo hàm Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n




. Với ≥ 2

Phương trình đạo hàm bậc 2



. . =
. . <
. . >
. . .

Phương trình đạo hàm bậc 1



Hình học Eucleur[sửa]

Điểm[sửa]

Góc Định nghỉa Ký hiệu Đơn vị Thí dụ
. Một chấm A __ B

Đường thẳng[sửa]

Góc Định nghỉa Ký hiệu Đơn vị Thí dụ
Đường nối liền giửa 2 điểm tạo từ nhiều đoạn thẳng A __ B

Góc[sửa]

Góc Định nghỉa Ký hiệu Đơn vị Thí dụ
Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm
sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng

Đường thẳng[sửa]

Định nghỉa[sửa]

Tọa độ điểm đại số[sửa]

Đường thẳng là một đường nối liền giửa 2 điểm (xo,yo) - (x,y)

Có độ dóc tính bằng

Có thể biểu diển bằng hàm số toán đại số dưới đây

Dạng đường thẳng[sửa]

Đường thẳng vuông góc[sửa]

Định nghỉa Tính chất
Đường thẳng vuông góc Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông 90o sẻ tạo ra hai Đường thẳng vuông góc voi nhau


Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD

Góc B đỏ = Góc B xanh = 90o
Góc B đỏ + Góc B xanh = 90o + 90o = 180o
Góc B đỏ = 180o - Góc B xanh
Góc B xanh = 180o - Góc B đỏ

Đường thẳng song song[sửa]

Hai đường thẳng không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào là đường thẳng song song . Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung . Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song

A ------------- B
C ------------- D

Ký hiệu đường thẳng song song

AB // CD

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

  1. Hai góc so le trong bằng nhau;
  2. Hai góc đồng vị bằng nhau;
  3. Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Vector đường thẳng[sửa]

Vector đường thẳng là một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ đường thẳng có ký hiệu Vector . Thí dụ, Vector

Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây

Với

- Vector
. Cường độ vector
. Vector 1 đơn vị


Cường độ vector

Vector 1 đơn vị

Phép toán vector[sửa]

Không gian 2 chiều[sửa]

Cộng vector[sửa]

Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ là một vectơ được xác định theo quy tắc:

  • Quy tắc 3 điểm
di chuyển vectơ sao cho điểm đầu C của trùng với điểm cuối B của : . Khi đó vectơ có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
  • Quy tắc hình bình hành
di chuyển vectơ đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ . Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần , chiều từ gốc A đến điểm cuối


Tính chất Vectơ Công thức
Tính chất giao hoán
Tính chất kết hợp
Tính chất của vectơ-không
Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có:
I là trung điểm đoạn thẳng AB
G là trọng tâm
Trừ vector[sửa]
Nhân vector[sửa]

Với hai vectơ bất kì, với hằng số h và k, ta có

Không gian 3 chiều[sửa]

Chấm 2 vector[sửa]

Tích vô hướng của hai vectơ A = [A1, A2,..., An]B = [B1, B2,..., Bn] được định nghĩa như sau

. Trong đó θ là góc giữa AB.

Trường hợp đặc biệt,

  • Nếu AB trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:
  • Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:

Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:

ta có:

khoảng cách Euclid của vectơ, luôn có giá trị dương khi A khác 0.


Cho vectơ A = [A1, A2,..., An] ta có


Cho a, b, và c là các vectơ và rđại lượng vô hướng, tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:.

  1. Giao hoán:
    được suy ra từ định nghĩa (θ góc giữa ab):
  2. Phân phối cho phép cộng vectơ:
  3. Dạng song tuyến:
  4. Phép nhân vô hướng:
  5. Không có tính kết hợp bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng (a ⋅ b) và vectơ (c) không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: (a ⋅ b) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c) là không hợp lệ.
  6. Trực giao:
    Hai vectơ khác vectơ không: ab trực giao khi và chỉ khi ab = 0.
    Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là vuông góc.
  7. Không có tính khử:
    Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu
    ab = ac, thì b luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:
    Nếu ab = aca0, thì ta có: a ⋅ (bc) = 0 theo như luật phân phối; suy ra a trực giao với (bc), tức là (bc) ≠ 0, và dẫn đến bc.
  8. Quy tắc đạo hàm tích: Nếu abhàm số, thì đạo hàm của aba′ ⋅ b + ab.


Tam giác có cạnh vectơ a and b, và góc giữa 2 vectơ là θ.

Hai vectơ ab có góc giữa hai vectơ là θ (như trong hình bên phải) tạo thành một tam giác có cạnh thứ ba là c = ab. Tích vô hướng của c và chính nó là Định lý cos:

Chéo 2 vector[sửa]

Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải


Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải.

Phép nhân vectơ của vectơ ab được ký hiệu là a × b hay , định nghĩa bởi:

với θgóc giữa ab (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa ab, và nvectơ đơn vị vuông góc với ab.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với ab (khi ab không cùng phương), vì nếu n vuông góc với ab thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.


Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho , khi đó tích có hướng giữa 2 vectơ là vectơ có tọa độ

Ứng dụng[sửa]

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.

  • Diện tích hình bình hành ABCD:
  • Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D':
  • 2 vector cùng phương
  • 3 vector , , đồng phẳng

Góc[sửa]

Định nghỉa[sửa]

Góc Định nghỉa Ký hiệu Đơn vị Thí dụ
Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm
sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng

Thể loại góc[sửa]

Góc Hình Định nghỉa
Góc nhọn Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hình tam giác[sửa]

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin
Một tam giác với các thành phần trong định lý sin
  • 3 điểm .
  • 3 cạnh .
  • 3 góc .

Chu vi Diện tích Thể tích[sửa]

Chu vi Diện tích Thể tích

Tam giác thường[sửa]

Định lý Sin[sửa]

Một tam giác với các thành phần trong định lý sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

Định lý Cosin[sửa]

Tam giác vuông[sửa]

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng

c - Cạnh huyền
a - Cạnh đối
b - Cạnh kề



  • Tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau tạo ra một góc vuông 90o

Định lý tam giác vuông[sửa]

  • Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông
  • Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
  • Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo)
  • Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
  • Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông
  • Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông.

Định lý Pytago[sửa]

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này . Nó được thể hiện bằng phương trình

Trong đó, cchiều dài của cạnh huyền và abchiều dài của hai cạnh còn lại.

Hàm số lượng giác[sửa]

Tương quan các cạnh và góc

Hàm số góc lượng giác Tỉ lệ cạnh Đồ thị
Cosine
Sine
Cosine
Cosecant
Tangent
Cotangent

Tam giác vuông trên đồ thị XY[sửa]

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang



Độ dài cạnh dọc
Độ dóc
Độ nghiêng


Vector đương thẳng ngang


Vector đương thẳng dọc
Vector đương thẳng nghiêng


Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z

Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ


Diện tích dưới hình

Hình cong[sửa]

Hàm số lượng giác cơ bản[sửa]

Định nghỉa[sửa]

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản

Tỉ lệ các cạnh trong tam giác vuông







Đồ thị






Tính chất[sửa]

Tuần hoàn[sửa]

Đối xứng[sửa]

Tịnh tiến[sửa]


Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

với

Góc bội[sửa]

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

công thức de Moivre:

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

Hay theo công thức hồi quy:

=

Góc chia đôi[sửa]


Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

Suy ra:

Nếu

thì:

      and     and  

Tổng 2 góc[sửa]

Hiệu 2 góc[sửa]

Tích 2 góc[sửa]

Lũy thừa góc[sửa]

Hàm số lượng giác nghịch[sửa]

Hàm số lượng đường thẳng[sửa]

Hàm số lượng đường thẳng nghiêng

Hàm số lượng đường thẳng dọc

Hàm số lượng đường thẳng ngang

Hàm số lượng đường tròn[sửa]

Hàm số lượng đường tròn Z đơn vị

Hàm số lượng đường tròn 1 đơn vị

Vector[sửa]

Vector đại diện cho một đường thẳng có hướng và có một độ dài . Vectơ có ký hiệu . Thí dụ, Vector

Tính chất[sửa]

Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây

Với

- Vector
. Cường độ vector
. Vector 1 đơn vị


Cường độ vector

Vector 1 đơn vị

Vector đường thẳng[sửa]

Vector đường thẳng ngang
Vector đường thẳng dọc
Vector đường thẳng nghiêng

Vector đường tròn[sửa]

Vector đường tròn

Vector chuyển động[sửa]

Vector[sửa]

Vector chuyển động thẳng hàng ngang
Vector chuyển động thẳng hàng dọc
Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng
Vector chuyển động tròn

Vector 1 đơn vị[sửa]

Vector chuyển động thẳng hàng ngang
Vector chuyển động thẳng hàng dọc
Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng
Vector chuyển động tròn

Cường độ Vector[sửa]

Cường độ Vector chuyển động thẳng hàng ngang
Cường độ Vector chuyển động thẳng hàng dọc
Cường độ Vector chuyển động thẳng hàng nghiêng
Cường độ Vector chuyển động tròn


Chuyển Động s v a
Cong

Vector đương thẳng ngang

→→




Vector đương thẳng dọc






Vector đương thẳng nghiêng





Vector đương tròn







Vector đương tròn