Sách giải tích/Phương trình biến số/Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm bậc n là một phương trình giải tích có dạng tổng quát

a_{n}f^{n}(t)+a_{n-1}f^{n-1}(t)+...+a_{o}f(t)=0

Giải phương trình đạo hàm bậc nhứt

Phương trình đạo hàm bậc nhứt có dạng tổng quát như sau

af^{'}(t)+bf(t)=0

a{\frac {d}{dt}}f(t)+bf(t)=0

{\frac {d}{dt}}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)

\int {\frac {d}{f(t)}}f(t)=-{\frac {b}{a}}\int \ dt

Lnf(t)=-{\frac {b}{a}}t+c

f(t)=e^{-{\frac {b}{a}}t+c}

f(t)=Ae^{-{\frac {b}{a}}t}

Nghiệm của phương trình là một hàm số lũy thừa e giảm hay Hàm số giảm thiểu

f(t)=Ae^{-{\frac {b}{a}}t}

af^{'}(t)+bf(t)=0

Phương trình đạo hàm bậc n tổng quát có dạng tổng quát

af^{n}(t)+bf(t)=0

f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)

sf(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)

s=\pm j\omega

s=-\alpha

Với

\omega =n{\sqrt {\frac {b}{a}}}

. n ≥ 2

\alpha ={\frac {b}{a}}

. n = 1

Nghiệm phương trình

f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t

với n ≥ 2

f(t)=Ae^{-\alpha t}

với n =1

Phương trình đạo hàm bậc 2 có dạng tổng quát

af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0

a{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)+{\frac {d}{dt}}f(t)+cf(t)=0

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-{\frac {b}{a}}{\frac {d}{dt}}f(t)-{\frac {c}{a}}f(t)

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-2\alpha {\frac {d}{dt}}f(t)-\beta f(t)

Cho nghiệm phương trình

Với $\alpha =\beta$	1 nghiệm số thực	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$
Với $\alpha >\beta$	2 nghiệm số thực	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}$
Với $\alpha <\beta$	2 nghiệm số phức	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Với

A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}

\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}

\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}

\beta ={\frac {c}{a}}

\alpha ={\frac {b}{2a}}

Với $\alpha =0$

{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=-\beta f(t)

f(t)=Ae^{{\sqrt {-\beta }}t}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t

\beta ={\frac {1}{T}}

T=LC