Sách hình học/Hình đa giác/Hình tam giác/Hình học Euclid/Định lý cạnh hình tam giác

Định lý Sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\!$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

 ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.\!$

Thí dụ 1

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lý sin ta có

${\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.$

$A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$

Thí dụ 2

Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

$\angle A=\angle B={\frac {180^{\circ }-\angle C}{2}}=90-{\frac {\angle C}{2}}\!$

và

${R \over \sin A}={{\mbox{c}} \over \sin C}{\text{ v }}{R \over \sin B}={{\mbox{c}} \over \sin C}\,\!$

${{\mbox{c}}\,\sin A \over \sin C}=R{\text{ v }}{{\mbox{c}}\,\sin B \over \sin C}=R.\!$

Định lý Cos

Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

Định lý cos khái quát định lý Pytago (định lý Pytago là trường hợp riêng trong tam giác vuông): nếu γ là góc vuông thì cos γ = 0, và định lý cos trở thành định lý Pytago:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$