Sách giải tích/Hàm số/Loại hàm số/Hàm số Lô ga rít

Tủ sách mở Wikibooks

Trong toán học, logarit là ph;p toán nghịch của phep toán lũy thừa 10 . Thí dụ

Công thức tổng quát của Log

nếu có

Toán logarit[sửa]

Tích, thương, lũy thừa và căn[sửa]

Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Mvar lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc Bản mẫu:Mvar là logarit của số đó chia cho Bản mẫu:Mvar. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.

Công thức Ví dụ
Tích
Thương
Lũy thừa
Căn

Đổi cơ số[sửa]

Logarit Bản mẫu:Math có thể được tính từ logarit cơ số trung gian Bản mẫu:Math của Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar theo công thức:

Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và Bản mẫu:Mvar.[1] Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

Cho một số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của nó Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar chưa biết, thì Bản mẫu:Mvar được tính bằng

bằng cách mũ hóa biểu thức lên số mũ

Các cơ số đặc biệt[sửa]

Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, Bản mẫu:Mvar và 10

Trong các giá trị của cơ số Bản mẫu:Mvar, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math (hằng số vô tỉ xấp xỉ bằng 2,71828) và Bản mẫu:Math. Trong giải tích toán học, logarit cơ số Bản mẫu:Mvar là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong hệ thập phân:[2]

Do đó, Bản mẫu:Math có liên hệ với số chữ số của một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn Bản mẫu:Math.[3] Chẳng hạn, Bản mẫu:Math gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số 2 thường được dùng trong lý thuyết thông tin, có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là natbit.[4] Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong khoa học máy tính (hệ nhị phân); trong lý thuyết âm nhạc (quãng tám, đơn vị cent) và trong nhiếp ảnh để đo giá trị phơi sáng.[5]

Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết Bản mẫu:Math thay vì Bản mẫu:Math khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Ký hiệu Bản mẫu:Math cũng tồn tại.[6] Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu do Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế khuyến nghị (ISO 80000-2).[7]

Cơ số Bản mẫu:Mvar Tên gọi của logbx Ký hiệu ISO Các ký hiệu khác Sử dụng trong
2 logarit nhị phân Bản mẫu:Math[8] Bản mẫu:Math,[9] Bản mẫu:Math,[10] Bản mẫu:Math,[11] Bản mẫu:Math khoa học máy tính, lý thuyết thông tin, lý thuyết âm nhạc, nhiếp ảnh
Bản mẫu:Mvar logarit tự nhiên Bản mẫu:Math[nb 1] Bản mẫu:Math
(trong toán học[15] và nhiều ngôn ngữ lập trình[nb 2])
toán học, vật lý, hóa học,
thống kê, kinh tế học, lý thuyết thông tin và kỹ thuật
10 logarit thập phân Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math,[16] Bản mẫu:Math
(trong kỹ thuật, sinh học, thiên văn học)
nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật (xem decibel và mục Ứng dụng),
bảng logarit, máy tính bỏ túi, phổ học

Tính chất trong giải tích[sửa]

Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệm hàm số. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước.[17] Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar từ bất kỳ số thực Bản mẫu:Mvar nào với Bản mẫu:Mvar là cơ số được viết là

Hàm số logarit[sửa]

Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình

có một nghiệm Bản mẫu:Mvar duy nhất với Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar là số dương và Bản mẫu:Mvar khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp.[18] Theo định lý, một hàm số liên tục cho hai giá trị Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể được vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.

Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm Bản mẫu:Math. Vì Bản mẫu:Mvar có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số Bản mẫu:Math đều nằm giữa Bản mẫu:MathBản mẫu:Math với Bản mẫu:MathBản mẫu:Math thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình Bản mẫu:Math có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số Bản mẫu:Mvarhàm số tăng nếu Bản mẫu:Math và là hàm số giảm nếu Bản mẫu:Math.[19]

Nghiệm Bản mẫu:Mvar đó chính là logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Math. Hàm số gán cho Bản mẫu:Mvar giá trị logarit của nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit Bản mẫu:Math xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn Bản mẫu:MathBản mẫu:Math.[20]

Hàm ngược[sửa]

Đồ thị của hàm logarit Bản mẫu:Math (màu xanh) đối xứng với đồ thị của hàm mũ Bản mẫu:Math (màu đỏ) theo đường thẳng Bản mẫu:Math.

Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số Bản mẫu:Mvar bất kỳ,

Lần lượt lấy lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar rồi lấy logarit cơ số Bản mẫu:Mvar, ta lại có được Bản mẫu:Mvar. Ngược lại, với một số dương Bản mẫu:Mvar bất kỳ, biểu thức

cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được Bản mẫu:Mvar. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số Bản mẫu:Mvarhàm ngược của Bản mẫu:Math.[21]

Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc của nó. Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng Bản mẫu:Mvar = Bản mẫu:Mvar như hình bên phải: một điểm Bản mẫu:Math trong đồ thị của Bản mẫu:Math tương ứng với điểm Bản mẫu:Math trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, Bản mẫu:Math phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếu Bản mẫu:Mvar tăng đến vô hạn, với Bản mẫu:Mvar lớn hơn 1. Trong trường hợp này, Bản mẫu:Mathhàm số tăng. Khi Bản mẫu:Math thì ngược lại, Bản mẫu:Math dần về âm vô hạn. Khi Bản mẫu:Mvar dần về 0 thì giới hạn của Bản mẫu:Math là âm vô hạn với Bản mẫu:Math và là dương vô hạn với Bản mẫu:Math.

Đạo hàm và nguyên hàm[sửa]

Đồ thị của hàm logarit tự nhiên (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tại Bản mẫu:Math (màu đen)

Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng.[18] Bản mẫu:Math là một hàm số liên tục và khả vi, và Bản mẫu:Math cũng vậy. Thông thường, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math theo tính chất của hàm mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm của Bản mẫu:Math được tính bằng

tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ số Bản mẫu:Mvar tại điểm Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math.[19][22] Đặc biệt, đạo hàm của Bản mẫu:MathBản mẫu:Math, nghĩa là nguyên hàm của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math. Đạo hàm với đối số hàm tổng quát Bản mẫu:Math

Tỉ số ở vế phải được gọi là đạo hàm logarit của Bản mẫu:Math. Việc tính Bản mẫu:Math bằng đạo hàm của Bản mẫu:Math được gọi là vi phân logarit.[23] Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên Bản mẫu:Math là:[24]

Từ phương trình này, có thể suy ra các công thức liên quan chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.[25]

Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên[sửa]

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số Bản mẫu:Math (nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar).

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar bằng tích phân của Bản mẫu:Math Bản mẫu:Mvar từ 1 đến Bản mẫu:Mvar:

Nói cách khác, Bản mẫu:Math là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số Bản mẫu:Math, từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng định lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm của Bản mẫu:MathBản mẫu:Math. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về logarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này.[26] Chẳng hạn, ta có công thức tích Bản mẫu:Math

Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số (Bản mẫu:Math). Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến Bản mẫu:Mvar và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số Bản mẫu:Math. Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của Bản mẫu:Math từ Bản mẫu:Mvar đến Bản mẫu:Mvar bằng tích phân từ 1 đến Bản mẫu:Mvar. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.

Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên

Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa Bản mẫu:Math:

Phép biến đổi thứ hai có sự thay đổi biến số Bản mẫu:Math.

Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên,

được gọi là chuỗi điều hòa. Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: khi Bản mẫu:Mvar tiến đến vô hạn thì hiệu

hội tụ về một số được gọi là hằng số Euler–Mascheroni Bản mẫu:Math. Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như sắp xếp nhanh.[27]

Ngoài ra, Bản mẫu:Math còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ tích phân Frullani khi Bản mẫu:MathBản mẫu:Math, được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:[28]

Tính siêu việt[sửa]

Số thực không phải là số đại số được gọi là số siêu việt.[29] πe là hai số như vậy, còn không phải là số siêu việt. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một hàm số siêu việt. Định lý Gelfond–Schneider khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.[30]

  1. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 21
  2. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 17, tr. 275
  3. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 20
  4. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  5. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  6. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  7. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  8. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  9. Bản mẫu:Citation
  10. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  11. Xem chú thích 1 trong Bản mẫu:Citation
  12. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  13. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  14. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  15. Xem Định lý 3.29 trong Bản mẫu:Citation
  16. Bản mẫu:Citation
  17. Bản mẫu:Citation, hoặc xem thêm chú thích trong bài hàm số
  18. 18,0 18,1 Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương III.3
  19. 19,0 19,1 Bản mẫu:Harvnb
  20. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  21. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 1.6
  22. “Calculation of d/dx(Log(b,x)). Wolfram Alpha. Wolfram Research.
  23. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 386
  24. “Calculation of Integrate(ln(x)). Wolfram Alpha. Wolfram Research.
  25. Bản mẫu:Harvnb
  26. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương III.6
  27. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 11.5 và 13.8
  28. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  29. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  30. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 10


Chú thích có lỗi Đã tìm thấy thẻ <ref> với tên nhóm “nb”, nhưng không tìm thấy thẻ tương ứng <references group="nb"/> tương ứng, hoặc thẻ đóng </ref> bị thiếu; $2