Sách giải tích/Hàm số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau .

Ký hiệu hàm số

Hàm số được ký hiệu như sau

f(x) = y

Với

x - Biến số

f(x) - Hàm số của biến số x

y - Giá trị hàm số

Mọi hàm số có thể có nhiều hơn một biến số . Hàm số của nhiều biến số có ký hiệu sau

f(a,b,c,..z) 

Thí dụ như

Hàm số nhiều biến số	Ký hiệu	Thí dụ
Hàm số của một biến số	$f(x)$	$y=2x$
Hàm số 2 biến số	$f(x,y)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}$
Hàm số 3 biến số	$f(x,y,z)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Giá trị hàm số

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không	$f(x)=0$
Hàm số bằng hằng số không đổi	$f(x)=C$
Hàm số khác không	$f(x)=y(x)$

Hàm số cơ bản

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số lũy thừa (Power function)	$y=ax^{n}$
Hàm số Lô ga rít (Logarith function)	$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree (Polynomial function)	$y(x)=ax^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}x^{0}$
Hàm số đường thẳng (Linear function)	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_{o}+Z(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$
Hàm số vòng tròn Z đơn vị (Circular function of radius Z)	$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị (Circular function of radius 1)	${\frac {Z}{Z}}^{2}={\frac {X}{Z}}^{2}+{\frac {Y}{Z}}^{2}$ $1=cos^{2}+sin^{2}$ $1=sec^{2}+tan^{2}$ $1=csc^{2}+cot^{2}$
Hàm số lượng giác (Trigonomety function)	$cos\theta ={\frac {X}{Z}}$ $sin\theta ={\frac {Y}{Z}}$ $sec\theta ={\frac {1}{X}}$ $csc\theta ={\frac {1}{Y}}$ $tan\theta ={\frac {Y}{X}}$ $cot\theta ={\frac {X}{Y}}$

Tính chất hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn (Even function)	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ (Odd function)	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)	$f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}$	$sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}$
Hàm số trong hàm số (Composite function)	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan (recursive function)
Hàm số chia (Rational function)	$Q(x)={\frac {N(x)}{M(x)}}-R(x)$

Đồ thị Hàm số

Đồ thị

Đồ Thị là một cách hiển thị tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có 2 loại đồ thị , Đồ Thị XY và Đồ thị R,θ

Đồ thị X,Y

Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang gọi là trục hoành hay trục X . Một dọc gọi là trục tung hay trục Y . hai trục ngang dọc cắt nhau tại một điểm gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0) . Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ , tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8

Đồ thị R,θ

Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ . Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ

Chuyển Đổi Hệ Tọa Độ

Nếu có một điểm có tọa độ A(X,Y) tương đương với A(R,θ) trong Hệ số Thực thì

Giá trị của R và θ được tính từ giá trị của X và Y như sau

$R^{2}=X^{2}+Y^{2}$

$Tan\theta ={\frac {Y}{X}}$

Dưới dạng Hàm số lượng giác giá trị của X và Y được tính từ giá trị của R và θ như sau

$X(\theta )=RCos\theta$

$Y(\theta )=RSin\theta$

Đồ thị hàm số

Với hàm số

$y=2x$

Với mọi giá trị x 0,1,2 sẽ có giá trị y 0,2,4

x	0	1	2
y	0	2	4

Đặt các cặp tọa độ (x,y) trên trục XY ta được hình đường thẳng nghiêng có độ dóc bằng 2

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-x$

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}$

Đạo hàm

v

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Tích phân

Tích phân xác định

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định

$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_{0}$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}$

$f^{'}(0)=a_{1}$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}$

$f^{''}(0)=2a_{2}$

$a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}$

$f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}$

$a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thế $a_{0},a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin(x)$

$f(x)=\sin(x)$	$f(0)=\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\sin(x)$	$f^{''}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}$

• $f(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x)$	$f(0)=\cos(0)=1$
$f^{'}(x)=-\sin(x)$	$f^{'}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}$