Sách giải tích/Hàm số

Tủ sách mở Wikibooks

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như


Tính chất hàm số[sửa]

Ký hiệu[sửa]

Mọi hàm số của một biến số
Hàm số 2 biến số
.
Hàm số 3 biến số

Giá trị[sửa]

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không
Hàm số bằng hằng số không đổi
Hàm số khác không

Thí dụ[sửa]

Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số lũy thừa Power function
Hàm số Lô ga rít
Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function
Hàm số đường thẳng Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ

Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a
Hàm số vòng tròn Hàm số vòng tròn Z đơn vị
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị




Hàm số lượng giác





Đồ thị hàm số[sửa]

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị đồ thị trục , đồ thị trục

Đồ Thị trục xOy[sửa]

Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau

Một ngang, gọi là trục hoành hay trục Ox ;
Một thẳng đứng, gọi là trục tung hay trục Oy
Cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0)

Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một

Tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y


Thí dụ

Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8

Đồ Thị Vòng Tròn[sửa]

Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ


Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ

Chuyển Đổi Hệ Tọa Độ[sửa]

Nếu có một điểm có tọa độ A(X,Y) tương đương với A(R,θ) trong Hệ số Thực thì

Giá trị của R và θ được tính từ giá trị của X và Y như sau

Dưới dạng Hàm số lượng giác giá trị của X và Y được tính từ giá trị của R và θ như sau

Đồ thị hàm số[sửa]

Kẻ hình hàm số cho biết tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x -2 -1 0 1 2
y = x -2 -1 0 1 2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số[sửa]

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

Chứng minh

Khi x=0

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

Thế vào hàm số ở trên ta được

Thí dụ


Loại hàm số[sửa]

Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function
Hàm số chẳn even function
Hàm số lẽ odd function
Hàm số nghịch đảo inverse function
Hàm số trong hàm số composite function
Hàm số nhiều biến số parametric function
Hàm số tương quan/]] recursive function
Hàm số chia/]] Rational function

Tóan hàm số[sửa]

Thay đổi biến số[sửa]

Thay đổi biến số x

Thay đổi biến số y

Biến đổi hàm số[sửa]

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

Đạo hàm[sửa]

Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến bv

Tích phân[sửa]

Tích phân xác định[sửa]

Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến b

Tích phân bất định[sửa]

Phương trình[sửa]

Định nghỉa[sửa]

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình

Thí dụ[sửa]

Giải phương trình đại số[sửa]

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình


Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình


Giải phương trình đường thẳng[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Nghiệm số phương trình

Giải phương trình lũy thừa[sửa]

Phương trình lũy thừa Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1
Giải phương trình lũy thừa bậc 2



.
.
.




v

Giải phương trình lũy thừa bậc n

Giải phương trình đường tròn[sửa]

Phương trình hình tròn hệ số thực[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Phương trình hình tròn hệ số phức[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Phương trình tuyến tính[sửa]

Phương trình tuyến tính có dạng tổng quát

Giải hệ phương trình tuyến tính[sửa]

Với hệ phương trình đường thẳng co dạng tổng quát


Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

Trừ 2 phương trình trên, ta được

Tìm giá trị nghiệm số y


Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

Trừ 2 phương trình trên, ta được

Tìm giá trị nghiệm số y


Vậy, hệ phương trình đường thẳng

Có nghiệm 2 nghiệm số

Thí dụ[sửa]

Thế vào

Ta có

Ma trận[sửa]

Lối giải hệ phương trình tuyến tính[sửa]

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát

Giải phương trình cho nghiệm số

.
Giải phương trình bằng ma trận[sửa]

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

Tìm định thức ma trận[sửa]

Định thức của A

det(A)=ad-bc.


Định thức của X

det(X)=ed-bf.


Định thức của Y

det(A)=af-cd.
Tìm nghiệm số[sửa]
.
.