Sách giải tích/Hàm số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau .

Ký hiệu hàm số

Hàm số được ký hiệu như sau

f(x) = y

Với

x - Biến số

f(x) - Hàm số của biến số x

y - Giá trị hàm số

Mọi hàm số có thể có nhiều hơn một biến số . Hàm số của nhiều biến số có ký hiệu sau

f(a,b,c,..z) 

Thí dụ như

Hàm số nhiều biến số	Ký hiệu	Thí dụ
Hàm số của một biến số	$f(x)$	$y=2x$
Hàm số 2 biến số	$f(x,y)$	$r^2=x^2+y^2$
Hàm số 3 biến số	$f(x,y,z)$	$r^2=x^2+y^2+z^2$

Giá trị hàm số

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không	$f(x)=0$
Hàm số bằng hằng số không đổi	$f(x)=C$
Hàm số khác không	$f(x)=y(x)$

Hàm số cơ bản

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số lũy thừa (Power function)	$y=a{x}^n$
Hàm số Lô ga rít (Logarith function)	$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree (Polynomial function)	$y(x)=a{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_0{x}^0$
Hàm số đường thẳng (Linear function)	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_o+Z(x-x_o)$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$
Hàm số vòng tròn Z đơn vị (Circular function of radius Z)	$Z^2=X^2+Y^2$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị (Circular function of radius 1)	${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$
Hàm số lượng giác (Trigonomety function)	$cos\theta =\frac{X}{Z}$ $sin\theta =\frac{Y}{Z}$ $sec\theta =\frac{1}{X}$ $csc\theta =\frac{1}{Y}$ $tan\theta =\frac{Y}{X}$ $cot\theta =\frac{X}{Y}$

Tính chất hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn (Even function)	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ (Odd function)	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)	$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$si{n}^{-1}x=\frac{1}{sinx}$
Hàm số trong hàm số (Composite function)	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan (recursive function)
Hàm số chia (Rational function)	$Q(x)=\frac{N(x)}{M(x)}-R(x)$

Đồ thị Hàm số

Đồ thị

Đồ Thị là một cách hiển thị tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có 2 loại đồ thị , Đồ Thị XY và Đồ thị R,θ

Đồ thị X,Y

Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang gọi là trục hoành hay trục X . Một dọc gọi là trục tung hay trục Y . hai trục ngang dọc cắt nhau tại một điểm gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0) . Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ , tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8

Đồ thị R,θ

Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ . Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ

Chuyển Đổi Hệ Tọa Độ

Nếu có một điểm có tọa độ A(X,Y) tương đương với A(R,θ) trong Hệ số Thực thì

Giá trị của R và θ được tính từ giá trị của X và Y như sau

$R^2=X^2+Y^2$

$Tan\theta =\frac{Y}{X}$

Dưới dạng Hàm số lượng giác giá trị của X và Y được tính từ giá trị của R và θ như sau

$X(\theta )=RCos\theta$

$Y(\theta )=RSin\theta$

Đồ thị hàm số

Với hàm số

$y=2x$

Với mọi giá trị x 0,1,2 sẽ có giá trị y 0,2,4

x	0	1	2
y	0	2	4

Đặt các cặp tọa độ (x,y) trên trục XY ta được hình đường thẳng nghiêng có độ dóc bằng 2

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\mathrm{\Delta }x=(x+\mathrm{\Delta }x)-x$

Thay đổi biến số y

$\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Đạo hàm

v

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Tích phân

Tích phân xác định

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định

$\int f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=F(x)+C$

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+\mathrm{...}=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+\mathrm{...}$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$

$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$

$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$

$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$

$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin (x)$

$f(x)=\sin (x)$	$f(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\sin (x)=0+x(1)+\frac{x^2}{2!}(0)+\frac{x^3}{3!}(-1)+\frac{x^5}{5!}(1)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

• $f(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)$	$f(0)=\cos (0)=1$
$f^{\text{'}}(x)=-\sin (x)$	$f^{\text{'}}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\cos (x)=1+x(0)+\frac{x^2}{2!}(-1)+\frac{x^3}{3!}(0)+\frac{x^4}{4!}(1)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}$