Sách giải tích/Hàm số/Đồ thị hàm số/Hàm số Logarit

Tủ sách mở Wikibooks
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Bản mẫu:1000 bài cơ bản

Graph showing a logarithmic curve, crossing the x-axis at x= 1 and approaching minus infinity along the y-axis.
Đồ thị của hàm logarit cơ số 2 cắt trục hoành tại Bản mẫu:Math và đi qua các điểm (2, 1), (4, 2), và (8, 3), miêu tả rằng, chẳng hạn, Bản mẫu:MathBản mẫu:Math. Khi Bản mẫu:Mvar càng gần 0 thì đồ thị tiệm cận trục tung nhưng không giao với nó.

Bản mẫu:Phép tính số học Trong toán học, logarit (Bản mẫu:Lang-en) của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số Bản mẫu:Math của Bản mẫu:MathBản mẫu:MathBản mẫu:MathBản mẫu:Math lũy thừa Bản mẫu:Math: Bản mẫu:Math. Tổng quát hơn, nếu Bản mẫu:Math thì Bản mẫu:Math được gọi là logarit cơ số Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Math và được ký hiệu là Bản mẫu:Math.

Logarit do John Napier giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1614 như là một cách để đơn giản hóa việc tính toán. Về sau, nó đã nhanh chóng được nhiều nhà khoa học sử dụng để hỗ trợ trong tính toán, đặc biệt là các phép tính yêu cầu độ chính xác cao, thông qua thước logabảng logarit. Các công cụ này dựa trên tính chất rằng logarit của một tích bằng tổng các logarit của các thừa số:

Khái niệm logarit như ngày nay đến từ Leonhard Euler, người đã liên hệ nó với hàm mũ vào thế kỷ 18.

Logarit cơ số Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Math) được gọi là logarit thập phân và có nhiều ứng dụng trong khoa họckỹ thuật. Logarit tự nhiên có cơ số là [[E (số)|hằng số Bản mẫu:Mvar]] (Bản mẫu:Math) và được ứng dụng phổ biến nhất trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân. Logarit nhị phân sử dụng cơ số Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Math) và được sử dụng nhiều nhất trong khoa học máy tính.

Thang đo logarit cho phép thu hẹp các đại lượng kích thước lớn về phạm vi nhỏ hơn. Chẳng hạn, decibel (dB) là đơn vị logarit định lượng áp suất âm thanh và tỉ lệ hiệu điện thế. Trong hóa học, pH là một đơn vị logarit dùng để đo độ axit hay base của dung dịch nước. Logarit cũng phổ biến trong công thức khoa học, trong việc nghiên cứu độ phức tạp tính toán hay các phân dạng. Nó hỗ trợ mô tả tỉ lệ tần số của các quãng trong âm nhạc, xuất hiện trong công thức đếm số nguyên tố, tính gần đúng một giai thừa, nghiên cứu một số mô hình trong tâm vật lý học và được ứng dụng trong lĩnh vực kế toán điều tra.

Giống như cách logarit đảo ngược phép lũy thừa, logarit phứchàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức. Một dạng khác của logarit là logarit rời rạc và có ứng dụng trong mật mã hóa khóa công khai.

Ý tưởng và định nghĩa[sửa]

Ý tưởng của logarit là để đảo ngược lại phép lũy thừa, tức là nâng một số lên một số mũ nào đó. Chẳng hạn, lũy thừa bậc Bản mẫu:Math (hay lập phương) của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math, vì Bản mẫu:Math là tích của ba thừa số Bản mẫu:Math nhân với nhau:

Từ đó, dễ thấy logarit cơ số Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math.

Lũy thừa[sửa]

Lũy thừa bậc ba của một số Bản mẫu:Mvar nào đó là tích của ba thừa số, mỗi thừa số bằng Bản mẫu:Mvar. Tổng quát hơn, nâng Bản mẫu:Mvar lên lũy thừa Bản mẫu:Mvar, với Bản mẫu:Mvar là một số tự nhiên, tức là ta đã thực hiện phép nhân Bản mẫu:Mvar thừa số với nhau, mỗi thừa số bằng Bản mẫu:Mvar. Lũy thừa Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar được ký hiệu là Bản mẫu:Math:

Lũy thừa có thể được mở rộng thành dạng Bản mẫu:Math, với Bản mẫu:Mvar là một số dương và số mũ Bản mẫu:Mvar là một số thực bất kỳ.[1] Chẳng hạn Bản mẫu:Mathnghịch đảo của Bản mẫu:Mvar, hay bằng Bản mẫu:Math. Nâng Bản mẫu:Mvar lên lũy thừa 1/2 thì được căn bậc hai của Bản mẫu:Mvar.

Tổng quát hơn nữa, khi nâng Bản mẫu:Mvar lên lũy thừa hữu tỉ Bản mẫu:Math với Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar là số nguyên, ta có:

hay căn bậc Bản mẫu:Mvar của .

Cuối cùng, mỗi số vô tỉ Bản mẫu:Math có thể được làm tròn để đưa về các số hữu tỉ. Sử dụng cách này, có thể tính được lũy thừa Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar: chẳng hạn được tính gần đúng hơn theo dãy số [nb 1]

Định nghĩa[sửa]

Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của một số thực dương Bản mẫu:Math là số mũ mà Bản mẫu:Mvar cần phải được nâng lên để có được Bản mẫu:Math. Nói cách khác, logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Math là nghiệm Bản mẫu:Mvar của phương trình

và được ký hiệu là Bản mẫu:Math.[2] Để giá trị của logarit được xác định thì cơ số Bản mẫu:Mvar phải là một số thực dương khác 1 và Bản mẫu:Math là một số dương.[nb 2]

Ví dụ[sửa]

Ta có Bản mẫu:MathBản mẫu:Math. Logarit có thể là số âm:

Một ví dụ khác: Bản mẫu:Math gần bằng 2,176, một số nằm giữa 2 và 3, giống như khi 150 nằm giữa Bản mẫu:MathBản mẫu:Math Cuối cùng, với mọi cơ số Bản mẫu:Mvar thì Bản mẫu:MathBản mẫu:MathBản mẫu:MathBản mẫu:Math.

Các đồng nhất thức logarit[sửa]

Xem trang sách: Danh sách đồng nhất thức logarit

Các công thức quan trọng sau đây, gọi là đồng nhất thức logarit, liên hệ các logarit với nhau.[3]

Tích, thương, lũy thừa và căn[sửa]

Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Mvar lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc Bản mẫu:Mvar là logarit của số đó chia cho Bản mẫu:Mvar. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.

Công thức Ví dụ
Tích
Thương
Lũy thừa
Căn

Đổi cơ số[sửa]

Logarit Bản mẫu:Math có thể được tính từ logarit cơ số trung gian Bản mẫu:Math của Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar theo công thức:

Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và Bản mẫu:Mvar.[4] Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:

Cho một số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của nó Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar chưa biết, thì Bản mẫu:Mvar được tính bằng

bằng cách mũ hóa biểu thức lên số mũ

Các cơ số đặc biệt[sửa]

Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, Bản mẫu:Mvar và 10

Trong các giá trị của cơ số Bản mẫu:Mvar, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math (hằng số vô tỉ xấp xỉ bằng 2,71828) và Bản mẫu:Math. Trong giải tích toán học, logarit cơ số Bản mẫu:Mvar là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong hệ thập phân:[5]

Do đó, Bản mẫu:Math có liên hệ với số chữ số của một số nguyên dương Bản mẫu:Mvar: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn Bản mẫu:Math.[6] Chẳng hạn, Bản mẫu:Math gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số Bản mẫu:Mvar và logarit cơ số 2 thường được dùng trong lý thuyết thông tin, có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là natbit.[7] Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong khoa học máy tính (hệ nhị phân); trong lý thuyết âm nhạc (quãng tám, đơn vị cent) và trong nhiếp ảnh để đo giá trị phơi sáng.[8]

Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết Bản mẫu:Math thay vì Bản mẫu:Math khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Ký hiệu Bản mẫu:Math cũng tồn tại.[9] Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu do Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế khuyến nghị (ISO 80000-2).[10]

Cơ số Bản mẫu:Mvar Tên gọi của logbx Ký hiệu ISO Các ký hiệu khác Sử dụng trong
2 logarit nhị phân Bản mẫu:Math[11] Bản mẫu:Math,[12] Bản mẫu:Math,[13] Bản mẫu:Math,[14] Bản mẫu:Math khoa học máy tính, lý thuyết thông tin, lý thuyết âm nhạc, nhiếp ảnh
Bản mẫu:Mvar logarit tự nhiên Bản mẫu:Math[nb 3] Bản mẫu:Math
(trong toán học[18] và nhiều ngôn ngữ lập trình[nb 4])
toán học, vật lý, hóa học,
thống kê, kinh tế học, lý thuyết thông tin và kỹ thuật
10 logarit thập phân Bản mẫu:Math Bản mẫu:Math,[19] Bản mẫu:Math
(trong kỹ thuật, sinh học, thiên văn học)
nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật (xem decibel và mục Ứng dụng),
bảng logarit, máy tính bỏ túi, phổ học

Lịch sử[sửa]

Xem trang sách: Lịch sử logarit

Trước khi logarit xuất hiện[sửa]

Từ thế kỷ 3 TCN, trong cuốn Người đếm cát, Archimedes đã quan sát và đưa ra khái niệm rằng "bậc" của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số Bản mẫu:Math. Ông cũng nhắc đến quy tắc nhân hai số với nhau bằng cách cộng "bậc" của chúng lại với nhau. Nguyên lý này về sau là một cơ sở dẫn đến sự ra đời khái niệm logarit.[20] Khoảng 1000 năm sau đó, Virasena, một nhà toán học Kỳ Na người Ấn Độ, tìm ra khái niệm ardhacheda: số lần một số có thể chia hết cho 2. Với lũy thừa của 2, đó chính là giá trị nguyên của logarit cơ số 2, còn đối với các số khác thì giá trị đó không bằng logarit của chúng. Thời điểm đó, ông cũng đã phát hiện và giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự là trakacheda (cơ số 3) và caturthacheda (cơ số 4).[21][22] Năm 1544, Michael Stifel cho xuất bản cuốn Arithmetica Integra có chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng,[23] mà khi đảo ngược các hàng lại thì có thể được xem là dạng ban đầu của bảng logarit.[24] Đến thế kỷ 16–17, kỹ thuật prosthaphaeresis (tạm dịch: thuật nhân và chia số bằng các công thức lượng giác) xuất hiện và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua các đẳng thức lượng giác.[25][26]

Từ Napier đến Euler[sửa]

John Napier, người phát minh ra logarit

Khái niệm logarit do John Napier công bố lần đầu tiên vào năm 1614 trong một cuốn sách có tựa đề là Mirifici logarithmorum canonis descriptio.[27][28] Nó có liên quan đến các điểm chuyển động thẳng: Napier đã tưởng tượng một điểm thứ nhất P chuyển động đến điểm cuối của một đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, và điểm thứ hai L chuyển động đều trên một nửa đường thẳng với độ dài vô hạn, sau đó liên hệ khoảng cách giữa P với điểm cuối của đoạn thẳng và giữa L với điểm đầu của nửa đường thẳng để nêu ra định nghĩa logarit.[29] Phát hiện này được đánh giá cao và nhanh chóng lan rộng sang nhiều quốc gia khác, bao gồm Trung Quốc và một số nước ở châu Âu trong những năm sau đó.[30] Jost Bürgi cũng tìm ra logarit một cách độc lập nhưng xuất bản công trình của mình sáu năm sau Napier.[31] Từ logarithmorum của Napier trong tiếng Latinh có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp, chỉ một số biểu thị tỉ số: λόγος (logos) có nghĩa là "tỉ số" và ἀριθμός (arithmos) có nghĩa là "số".

Năm 1647, Grégoire de Saint-Vincent, một tu sĩ Dòng Tên người Bỉ sống tại Prague, xuất bản một công trình liên hệ logarit với cầu phương của một hyperbol. Ông chỉ ra rằng diện tích Bản mẫu:Math giới hạn bởi hyperbol từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math thỏa mãn

Alphonse Antonio de Sarasa, một học trò và cộng sự của ông, về sau đã liên hệ tính chất này với logarit để dẫn đến khái niệm logarit hyperbol, tương đương với logarit tự nhiên.[32] Logarit tự nhiên lần đầu tiên được mô tả trong cuốn Logarithmotechnia của Nicholas Mercator năm 1668.[33] Khoảng năm 1730, Leonhard Euler định nghĩa hàm mũ và hàm logarit tự nhiên bằng

Euler cũng chứng minh được rằng hai hàm số này là hai hàm ngược nhau.[34] Cũng trong khoảng thời gian này, ông lần đầu tiên ký hiệu cơ số của logarit tự nhiên bằng chữ Bản mẫu:Mvar.[35]

Trong chương 6, tập I của bộ Introductio in analysin infinitorum (1748), Euler đưa ra một hướng tiếp cận giống với khái niệm logarit hiện nay. Ông nhận thấy hàm mũ Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Mvar là một số thực dương không đổi không phải là một hàm số đại số, mà là một hàm số siêu việt; đồng thời, nó cũng là hàm số tăng khi Bản mẫu:Math. Khi đó, mỗi số Bản mẫu:Mvar đều tương ứng với một hàm ngược được gọi là logarit cơ số Bản mẫu:Mvar: Bản mẫu:Math.[36]

Bảng logarit, thước loga và ứng dụng lịch sử[sửa]

Khái niệm logarit trong Encyclopædia Britannica (năm 1797)

Bằng cách đơn giản hóa các phép tính phức tạp trước khi máy tính ra đời, logarit đóng góp đáng kể cho sự phát triển của khoa học, đặc biệt là thiên văn học. Nó cũng đóng góp cho sự tiến bộ của khảo sát xây dựng, hàng hải thiên văn và nhiều lĩnh vực khác. Pierre-Simon Laplace đã gọi logarit là

"...[một] thủ thuật đáng ngưỡng mộ có thể rút ngắn một công việc từ vài tháng xuống còn vài ngày, từ đó nhân đôi cuộc đời của các nhà thiên văn, và loại bỏ những sai sót cũng như sự chán nản không thể tách rời khỏi những phép tính dài lê thê."[37]

Một công cụ góp phần lớn trong việc ứng dụng logarit vào thực tế là bảng logarit.[38] Bảng đầu tiên như vậy do Henry Briggs biên soạn năm 1617 ngay sau phát minh của Napier, tiếp đó là các bảng số với phạm vi và độ chính xác lớn hơn. Các bảng số này liệt kê các giá trị của Bản mẫu:MathBản mẫu:Math với mỗi số Bản mẫu:Mvar nằm trong một giới hạn nhất định, với độ chính xác nhất định theo một cơ số Bản mẫu:Mvar nhất định (thường là cơ số 10). Chẳng hạn, bảng đầu tiên của Briggs chứa logarit thập phân của tất cả các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số thập phân. Vì hàm Bản mẫu:Math là hàm ngược của Bản mẫu:Math nên nó còn được gọi là antilogarit.[39] Tích và thương của hai số dương Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar thường được tính bằng tổng và hiệu các logarit của chúng. Tích Bản mẫu:Mvar hoặc thương Bản mẫu:Mvar có được bằng cách tra cứu antilogarit của tổng và hiệu đó thông qua bảng logarit đó:

Đối với các phép tính thông thường yêu cầu độ chính xác cao, việc tra cứu hai logarit, tính tổng hoặc hiệu của chúng rồi tra cứu antilogarit nhanh hơn rất nhiều so với khi thực hiện phép nhân bằng các công cụ trước đây như prosthaphaeresis, vốn phụ thuộc vào các đẳng thức lượng giác. Phép tính lũy thừa và căn được đưa về phép nhân hoặc phép chia và tra cứu theo công thức

Nhiều bảng số còn liệt kê các giá trị logarit bằng cách cho biết phần đặc số và phần định trị của Bản mẫu:Mvar, nghĩa là phần nguyênphần thập phân của Bản mẫu:Math.[40] Đặc số của Bản mẫu:Math là 1 cộng cho đặc số của Bản mẫu:Mvar, và phần định trị của chúng là giống nhau. Tính chất này làm mở rộng phạm vi của bảng logarit: với một bảng liệt kê các giá trị của Bản mẫu:Math với mọi số nguyên Bản mẫu:Mvar từ 1 đến 1000, logarit cơ số 10 của 3542 được tính gần đúng bằng

Một ứng dụng quan trọng khác của logarit là thước loga, một cặp thước chia độ theo logarit được sử dụng trong tính toán, như hình minh họa dưới đây:

Sơ đồ miêu tả thước loga. Bắt đầu từ vị trí 2 ở thước bên dưới, cộng khoảng cách đến 3 ở thước bên trên để đạt tích bằng 6. Thước loga hoạt động được vì nó được chia độ sao cho khoảng cách từ 1 đến Bản mẫu:Mvar tỉ lệ thuận với logarit của Bản mẫu:Mvar.

Tiền thân của nó, thước Gunter, được phát minh ngay sau công bố của Napier. William Oughtred sau đó đã phát triển nó lên thành thước loga, một cặp thước logarit có thể trượt lẫn nhau. Các số được đặt trên thước với khoảng cách về độ dài tỉ lệ thuận với hiệu các logarit của chúng. Khi trượt thước bên trên tức là ta đã cộng cơ học các logarit với nhau. Ví dụ, cộng khoảng cách từ 1 đến 2 ở thước bên dưới với khoảng cách từ 1 đến 3 ở thước bên trên cho tích của chúng bằng 6, và giá trị đó được đọc ở thước bên dưới. Thước loga từng là một công cụ tính toán thiết yếu của các nhà khoa học cho đến thập niên 1970, vì nó cho phép tính toán nhanh hơn nhiều so với kỹ thuật tra bảng số.[41]

Tính chất trong giải tích[sửa]

Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệm hàm số. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước.[42] Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar từ bất kỳ số thực Bản mẫu:Mvar nào với Bản mẫu:Mvar là cơ số được viết là

Hàm số logarit[sửa]

Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình

có một nghiệm Bản mẫu:Mvar duy nhất với Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar là số dương và Bản mẫu:Mvar khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp.[43] Theo định lý, một hàm số liên tục cho hai giá trị Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị của nó có thể được vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.

Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm Bản mẫu:Math. Vì Bản mẫu:Mvar có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số Bản mẫu:Math đều nằm giữa Bản mẫu:MathBản mẫu:Math với Bản mẫu:MathBản mẫu:Math thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình Bản mẫu:Math có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số Bản mẫu:Mvarhàm số tăng nếu Bản mẫu:Math và là hàm số giảm nếu Bản mẫu:Math.[44]

Nghiệm Bản mẫu:Mvar đó chính là logarit cơ số Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar, Bản mẫu:Math. Hàm số gán cho Bản mẫu:Mvar giá trị logarit của nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit Bản mẫu:Math xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn Bản mẫu:MathBản mẫu:Math.[45]

Hàm ngược[sửa]

Đồ thị của hàm logarit Bản mẫu:Math (màu xanh) đối xứng với đồ thị của hàm mũ Bản mẫu:Math (màu đỏ) theo đường thẳng Bản mẫu:Math.

Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số Bản mẫu:Mvar bất kỳ,

Lần lượt lấy lũy thừa bậc Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar rồi lấy logarit cơ số Bản mẫu:Mvar, ta lại có được Bản mẫu:Mvar. Ngược lại, với một số dương Bản mẫu:Mvar bất kỳ, biểu thức

cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được Bản mẫu:Mvar. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số Bản mẫu:Mvarhàm ngược của Bản mẫu:Math.[46]

Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc của nó. Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng Bản mẫu:Mvar = Bản mẫu:Mvar như hình bên phải: một điểm Bản mẫu:Math trong đồ thị của Bản mẫu:Math tương ứng với điểm Bản mẫu:Math trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, Bản mẫu:Math phân kỳ lên vô hạn (lớn hơn bất kỳ số nào đã biết) nếu Bản mẫu:Mvar tăng đến vô hạn, với Bản mẫu:Mvar lớn hơn 1. Trong trường hợp này, Bản mẫu:Mathhàm số tăng. Khi Bản mẫu:Math thì ngược lại, Bản mẫu:Math dần về âm vô hạn. Khi Bản mẫu:Mvar dần về 0 thì giới hạn của Bản mẫu:Math là âm vô hạn với Bản mẫu:Math và là dương vô hạn với Bản mẫu:Math.

Đạo hàm và nguyên hàm[sửa]

Đồ thị của hàm logarit tự nhiên (màu xanh lá) và tiếp tuyến của nó tại Bản mẫu:Math (màu đen)

Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng.[43] Bản mẫu:Math là một hàm số liên tục và khả vi, và Bản mẫu:Math cũng vậy. Thông thường, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math theo tính chất của hàm mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm của Bản mẫu:Math được tính bằng

tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ số Bản mẫu:Mvar tại điểm Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math.[44][47] Đặc biệt, đạo hàm của Bản mẫu:MathBản mẫu:Math, nghĩa là nguyên hàm của Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math. Đạo hàm với đối số hàm tổng quát Bản mẫu:Math

Tỉ số ở vế phải được gọi là đạo hàm logarit của Bản mẫu:Math. Việc tính Bản mẫu:Math bằng đạo hàm của Bản mẫu:Math được gọi là vi phân logarit.[48] Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên Bản mẫu:Math là:[49]

Từ phương trình này, có thể suy ra các công thức liên quan chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.[50]

Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên[sửa]

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số Bản mẫu:Math (nghịch đảo của Bản mẫu:Mvar).

Logarit tự nhiên của Bản mẫu:Mvar bằng tích phân của Bản mẫu:Math Bản mẫu:Mvar từ 1 đến Bản mẫu:Mvar:

Nói cách khác, Bản mẫu:Math là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số Bản mẫu:Math, từ Bản mẫu:Math đến Bản mẫu:Math (hình bên phải). Đó là hệ quả từ việc áp dụng định lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm của Bản mẫu:MathBản mẫu:Math. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về logarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này.[51] Chẳng hạn, ta có công thức tích Bản mẫu:Math

Đẳng thức (1) chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức (2) là phép đổi biến số (Bản mẫu:Math). Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến Bản mẫu:Mvar và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số Bản mẫu:Math. Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của Bản mẫu:Math từ Bản mẫu:Mvar đến Bản mẫu:Mvar bằng tích phân từ 1 đến Bản mẫu:Mvar. Tính chất này giải thích cho đẳng thức (2) một cách trực quan.

Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên

Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa Bản mẫu:Math:

Phép biến đổi thứ hai có sự thay đổi biến số Bản mẫu:Math.

Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên,

được gọi là chuỗi điều hòa. Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: khi Bản mẫu:Mvar tiến đến vô hạn thì hiệu

hội tụ về một số được gọi là hằng số Euler–Mascheroni Bản mẫu:Math. Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như sắp xếp nhanh.[52]

Ngoài ra, Bản mẫu:Math còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ tích phân Frullani khi Bản mẫu:MathBản mẫu:Math, được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:[53]

Tính siêu việt[sửa]

Số thực không phải là số đại số được gọi là số siêu việt.[54] πe là hai số như vậy, còn không phải là số siêu việt. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một hàm số siêu việt. Định lý Gelfond–Schneider khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.[55]

Tính toán[sửa]

Các phím logarit (LOG cho cơ số 10 và LN cho cơ số Bản mẫu:Mvar) trong một máy tính bỏ túi TI-83 Plus

Người ta có thể dễ dàng tính được logarit trong một số trường hợp, chẳng hạn như Bản mẫu:Math. Tổng quát, logarit có thể được tính bằng chuỗi lũy thừa hoặc trung bình hình học–đại số, hoặc tra cứu trong bảng số logarit tính sẵn với độ chính xác nhất định.[56][57] Phương pháp Newton, một phương pháp lặp đi lặp lại để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, cũng có thể được sử dụng để tính logarit, vì hàm ngược của nó (hàm mũ) có thể được tính một cách hiệu quả.[58] Thông qua bảng số, các phương pháp tương tự như CORDIC có thể được dùng để tính logarit chỉ qua phép cộng và phép dịch số học.[59][60] Hơn nữa, thuật toán logarit nhị phân tính Bản mẫu:Math một cách đệ quy dựa vào phép bình phương Bản mẫu:Mvar lặp đi lặp lại và áp dụng biểu thức

Chuỗi lũy thừa[sửa]

Chuỗi Taylor[sửa]

Chuỗi Taylor của Bản mẫu:Math có tâm tại Bản mẫu:Math. Hình ảnh động này gồm 10 xấp xỉ đầu tiên cùng xấp xỉ thứ 99 và 100. Các xấp xỉ này không hội tụ ngoài khoảng cách 1 đơn vị từ tâm.

Với mỗi số thực Bản mẫu:Mvar thỏa mãn Bản mẫu:Math, ta có:[61][nb 5]

Nói một cách ngắn gọn, Bản mẫu:Math có thể được tính gần đúng theo dãy biểu thức

Ví dụ, với Bản mẫu:Math, biểu thức thứ ba cho kết quả là 0,4167, lớn hơn khoảng 0,011 so với Bản mẫu:Math. Chuỗi này ước lượng Bản mẫu:Math với độ chính xác tùy ý, miễn rằng số hạng tử là đủ lớn. Trong giải tích sơ cấp, Bản mẫu:Math còn được gọi là giới hạn của chuỗi. Nó là chuỗi Taylor của logarit tự nhiên tại Bản mẫu:Math. Đặc biệt, nếu đặt Bản mẫu:Math thì chuỗi trên được viết lại thành chuỗi Mercator

với Bản mẫu:Math.[61] Chuỗi này do Isaac NewtonNicholas Mercator tìm ra một cách độc lập và xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn Logarithmotechnia của Mercator năm 1668.[62][63] Ví dụ, khi Bản mẫu:Math thì xấp xỉ bậc nhất của chuỗi này cho giá trị là 0,1 với sai số dưới 5% so với kết quả chính xác là Bản mẫu:Math. Từ chuỗi Taylor của Bản mẫu:MathBản mẫu:Math (có được bằng cách thay Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Mvar trong chuỗi Mercator), ta suy ra

với Bản mẫu:Math.[64] Chuỗi này do James Gregory phát hiện năm 1668 và có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số dương bất kỳ.[65]

Các chuỗi lũy thừa khác[sửa]

Một chuỗi khác được dựa trên hàm hyperbolic ngược:

với mỗi số thực Bản mẫu:Math.[61][nb 6] Sử dụng ký hiệu sigma, chuỗi trên có thể được viết lại thành

Chuỗi trên được suy ra từ chuỗi Taylor của bằng cách đặt .[65] Nó hội tụ nhanh hơn nhiều so với chuỗi Taylor, nhất là khi Bản mẫu:Mvar gần bằng 1. Chẳng hạn, với Bản mẫu:Math, ba hạng tử đầu tiên của chuỗi tính được gần đúng Bản mẫu:Math với sai số khoảng Bản mẫu:Val. Tính hội tụ nhanh chóng khi Bản mẫu:Mvar gần bằng 1 có thể được tận dụng theo cách sau: cho một xấp xỉ Bản mẫu:Math với độ chính xác thấp và đặt

logarit của Bản mẫu:Mvar là:

Nếu giá trị Bản mẫu:Mvar càng gần đúng thì giá trị Bản mẫu:Mvar càng gần 1, do đó có thể tính logarit của nó một cách hiệu quả. Bản mẫu:Mvar có thể được tính qua chuỗi lũy thừa, vốn hội tụ nhanh khi Bản mẫu:Mvar không quá lớn. Phép tính logarit của một số Bản mẫu:Mvar lớn có thể được đưa về phép tính các số nhỏ hơn bằng cách viết Bản mẫu:Math, khi đó Bản mẫu:Math.

Một phương pháp khác liên quan có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số nguyên dương bất kỳ. Khi thay trong chuỗi trên, ta có

Nếu đã biết logarit tự nhiên của một số nguyên Bản mẫu:Mvar lớn thì chuỗi này hội tụ rất nhanh với tốc độ.

Trung bình hình học–đại số[sửa]

Phương pháp sử dụng trung bình hình học–đại số cho phép tính gần đúng logarit tự nhiên với độ chính xác rất cao. Theo Bản mẫu:Harvtxt, phương pháp này đặc biệt nhanh với độ chính xác khoảng 400 đến 1000 chữ số thập phân, trong khi phương pháp dùng chuỗi Taylor thường nhanh chóng hơn nếu không đòi hỏi độ chính xác cao. Trong công trình của họ Bản mẫu:Math được ước lượng với sai số Bản mẫu:Math theo công thức sau (bởi Carl Friedrich Gauss):[66][67]

Ở đây Bản mẫu:Math chỉ trung bình hình học–đại số của Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar, có được bằng cách thực hiện lặp đi lặp lại các phép tính (trung bình cộng) và (trung bình nhân) rồi lấy hai kết quả thu được làm giá trị mới của Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar. Hai số này nhanh chóng hội tụ lại về một giới hạn, và giới hạn đó là giá trị của Bản mẫu:Math. Giá trị Bản mẫu:Mvar được chọn sao cho

để đảm bảo độ chính xác cần thiết. Nếu Bản mẫu:Mvar càng lớn thì phép tính Bản mẫu:Math cần nhiều bước hơn nhưng độ chính xác càng cao. Các hằng số πBản mẫu:Math có thể dễ dàng tính nhanh qua các chuỗi hội tụ.

Thuật toán của Feynman[sửa]

Theo Danny Hillis, một trong những cộng sự của Richard Feynman, khi còn ở Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos thực hiện Dự án Manhattan, Feynman đã phát triển một thuật toán gần giống với phép chia số lớn. Thuật toán này về sau được sử dụng trên các máy tính song song (Connection Machine). Thuật toán dựa trên cơ sở rằng mọi số thực có thể được biểu diễn thành tích của các thừa số khác nhau dạng với là số nguyên. Thuật toán tuần tự lập tích đó: nếu thì nó thay bằng , và tăng giá trị thêm 1 đơn vị bất kể đúng hay sai. Thuật toán dừng lại nếu đủ lớn để đạt được độ chính xác cần thiết. Vì là tổng của các số hạng dạng tương ứng với giá trị sao cho thừa số thuộc tích nên có thể được tính bằng phép cộng đơn giản sử dụng bảng với mọi giá trị của ở bất kỳ cơ số nào.[68][69]

Ứng dụng[sửa]

Một con ốc anh vũ thể hiện đường cong xoắn ốc logarit

Logarit có nhiều ứng dụng cả trong lẫn ngoài toán học. Một vài trong số đó có liên quan đến khái niệm về tỉ lệ bất biến. Chẳng hạn, mỗi buồng trong vỏ ốc anh vũ đều gần giống với buồng liền sau, thu nhỏ lại bởi một hằng số tỉ lệ. Đó là một ví dụ về xoắn ốc logarit.[70] Luật Benford về tần suất xuất hiện chữ số đầu tiên cũng có thể được giải thích qua tỉ lệ bất biến.[71] Logarit cũng có liên hệ với tính chất tự đồng dạng. Chẳng hạn, logarit xuất hiện trong việc nghiên cứu các thuật toán giải bài toán bằng cách chia thành nhiều bài toán con tương tự rồi gộp các kết quả của chúng lại với nhau.[72] Số chiều của các hình không gian tự đồng dạng, tức là những hình mà mỗi phần của nó đều giống như hình tổng thể, cũng dựa trên logarit. Thang đo logarit rất cần thiết để định lượng mức độ thay đổi tỉ đối của một đại lượng so với mức độ thay đổi tuyệt đối của nó. Hơn nữa, vì hàm số logarit Bản mẫu:Math tăng rất chậm khi Bản mẫu:Mvar ngày càng lớn nên thang đo logarit được sử dụng để "nén" lại dữ liệu khoa học quy mô lớn. Logarit cũng xuất hiện trong nhiều phương trình khoa học như phương trình tên lửa Tsiolkovsky, phương trình Fenske hay phương trình Fernst.

Thang đo logarit[sửa]

Xem trang sách: Thang đo lôgarit
Một biểu đồ logarit thể hiện giá trị của một goldmark tính bằng papiermark trong cuộc siêu lạm phát tại Đức vào những năm 1920

Các đại lượng khoa học thường được biểu diễn theo logarit của các đại lượng khác qua thang đo logarit. Chẳng hạn, decibelđơn vị đo dựa trên các đại lượng liên quan đến logarit. Nó được dựa trên logarit thập phân của tỉ lệ – 10 lần logarit thập phân của một tỉ lệ công suất hoặc 20 lần logarit thập phân của tỉ lệ hiệu điện thế, và được dùng để định lượng sự hao phí mức điện áp trong truyền tải tín hiệu điện,[73] để miêu tả độ lớn của âm trong âm học,[74] và khả năng hấp thụ bức xạ ánh sáng trong quang học. Tỉ số tín hiệu trên nhiễu mô tả lượng âm không cần thiết so với tín hiệu cũng được đo bằng decibel.[75] Tương tự, tỉ số tín hiệu cực đại trên nhiễu thường được sử dụng để đánh giá chất lượng âm thanh và phương pháp nén ảnh thông qua logarit.[76]

Độ lớn của một trận động đất được đo theo logarit thập phân của năng lượng do nó sinh ra qua thang độ lớn mô men hay thang độ Richter. Chẳng hạn, một trận động đất 5,0 độ giải phóng năng lượng gấp 32 lần Bản mẫu:Math và một trận động đất 6,0 độ giải phóng năng lượng gấp 1000 lần Bản mẫu:Math so với một trận động đất 4,0 độ.[77] Cấp sao biểu kiến là một thang đo logarit thông dụng khác, dùng để đo độ sáng của các ngôi sao qua logarit.[78] Một ví dụ khác nữa là pH trong hóa học; pH là số đối của logarit thập phân của hoạt độ của các ion hydroni H3O+ trong dung dịch.[79] Hoạt độ của các ion hydroni trong nước cất là 10−7 mol·L−1, nên pH của nước cất là 7. Giấm thường có pH là khoảng 3. Hiệu số bằng 4 tương đương với tỉ lệ hoạt độ của H3O+ trong một chất lớn hơn chất còn lại Bản mẫu:Math lần, tức là hoạt độ của các ion hydroni trong giấm là khoảng 10−3 mol·L−1.

Đồ thị bán logarit (logarit-tuyến tính) ứng dụng logarit theo cách trực quan: một trục (thường là trục tung) được chia tỉ lệ theo logarit. Chẳng hạn, đồ thị ở bên phải thu nhỏ mức tăng từ 1 triệu lên 1 nghìn tỷ xuống cùng độ dài (trên trục tung) so với mức tăng từ 1 lên 1 triệu. Ở những đồ thị như vậy, các hàm mũ dạng Bản mẫu:Math là đường thẳng với hệ số góc bằng với logarit của Bản mẫu:Mvar. Đồ thị logarit chia tỉ lệ cả hai trục theo logarit, nên hàm mũ dạng Bản mẫu:Math là đường thẳng có hệ số góc bằng với số mũ Bản mẫu:Math. Nó được ứng dụng trong việc nghiên cứu các quy tắc lũy thừa.[80]

Tâm lý học[sửa]

Logarit xuất hiện trong các luật liên quan đến tri giác con người.[81][82] Định luật Hick nhấn mạnh mối liên hệ logarit giữa thời gian mà một người bỏ ra để chọn một phương án và số lựa chọn mà người đó có.[83] Định luật Fitts dự đoán rằng thời gian cần để di chuyển nhanh đến một vùng mục tiêu là một hàm logarit của quãng đường đến vùng đó và kích thước của mục tiêu.[84] Trong tâm vật lý học, định luật Weber–Fechner nhắc đến mối liên hệ logarit giữa kích thích và giác quan, chẳng hạn như khối lượng thực tế so với khối lượng cảm giác của một vật mà một người đang cầm.[85] (Tuy nhiên "định luật" này thiếu thực tế so với các mô hình mới hơn, chẳng hạn như định luật lũy thừa của Stevens.[86])

Các nghiên cứu về tâm lý học cho thấy những người ít được giáo dục về toán học thường ước lượng các đại lượng theo logarit, tức là họ đặt một số trên một đường thẳng không được đánh dấu dựa trên logarit của nó sao cho 10 gần với 100 như khi 100 gần với 1000. Khi được đào tạo kỹ càng hơn, họ có xu hướng chuyển sang ước lượng tuyến tính (đặt 1000 xa hơn 10 lần) trong một số trường hợp, trong khi logarit được dùng thay thế khi các số cần đặt quá lớn.[87][88]

Lý thuyết xác suất và thống kê[sửa]

Ba hàm mật độ xác suất (PDF) của biến ngẫu nhiên và phân phối loga chuẩn của chúng. Tham số vị trí Bản mẫu:Math, vốn bằng 0 với cả ba hàm trên, là trung bình của logarit biến ngẫu nhiên, không phải là trung bình của biến đó.
Biểu đồ thể hiện tần suất xuất hiện của chữ số đầu tiên trong dữ liệu dân số của 237 quốc gia trên thế giới. Các chấm đen chỉ phân bố do luật Benford dự đoán.

Logarit được ứng dụng trong lý thuyết xác suất: luật số lớn cho rằng, với một đồng tiền hai mặt, khi số lần tung tiến đến vô hạn, tỉ lệ xuất hiện mặt ngửa tiệm cận về một nửa. Sự biến động của tỉ lệ này được giải thích qua luật về logarit lặp.[89]

Logarit cũng xuất hiện trong phân phối loga chuẩn. Khi logarit của một biến ngẫu nhiên có một phân phối chuẩn, biến đó được gọi là có một phân phối loga chuẩn.[90] Phân phối loga chuẩn thường gặp trong nhiều lĩnh vực khi một biến là tích của nhiều biến dương độc lập ngẫu nhiên, chẳng hạn như trong nghiên cứu sự nhiễu loạn.[91]

Logarit được dùng trong phép hợp lý cực đại của các mô hình thống kê tham số. Với một mô hình như vậy, hàm khả năng phụ thuộc vào ít nhất một tham số cần được lấy gần đúng. Giá trị lớn nhất của hàm khả năng xảy ra tại cùng giá trị tham số với giá trị lớn nhất của logarit của khả năng đó ("hợp lý logarit"), vì logarit là hàm số tăng. Giá trị lớn nhất của hợp lý logarit là dễ tìm hơn đặc biệt với các khả năng được nhân cho biến độc lập ngẫu nhiên.[92]

Luật Benford mô tả sự xuất hiện của các chữ số trong nhiều bộ dữ liệu, chẳng hạn như chiều cao của các tòa nhà. Theo luật này thì xác suất để chữ số đầu tiên của một dữ liệu trong bộ dữ liệu đó là Bản mẫu:Math (từ 1 đến 9) bằng Bản mẫu:Math bất kể đơn vị đo.[93] Vì vậy, khoảng 30% dữ liệu có thể bắt đầu bằng chữ số 1, khoảng 18% bắt đầu bằng chữ số 2... Các kiểm toán viên thường đối chiếu dữ liệu với luật Benford để phát hiện các hành vi gian lận trong kế toán.[94]

Độ phức tạp tính toán[sửa]

Phân tích thuật toán là một nhánh của khoa học máy tính nghiên cứu về hoạt động của thuật toán (chương trình máy tính dùng để giải quyết một vấn đề nhất định).[95] Logarit có vai trò trong việc mô tả các thuật toán chia nhỏ một vấn đề thành nhiều vấn đề con rồi hợp các kết quả lại với nhau.[96]

Chẳng hạn, để tìm một số trong một mảng đã sắp xếp, thuật toán tìm kiếm nhị phân sẽ kiểm tra phần tử đứng giữa mảng và tiếp đến kiểm tra nửa khoảng nằm trước hoặc nằm sau phần tử đứng giữa nếu không tìm thấy số đó. Thuật toán này cần trung bình Bản mẫu:Math bước so sánh với Bản mẫu:Math là số phần tử của mảng.[97] Tương tự, thuật toán sắp xếp trộn sắp xếp một mảng bằng cách chia đôi thành hai mảng con và sắp xếp chúng trước khi gộp lại các kết quả. Thuật toán sắp xếp trộn thường tốn một khoảng thời gian xấp xỉ tỉ lệ thuận với Bản mẫu:Math.[98] Cơ số của logarit không được nhắc đến cụ thể, vì kết quả chỉ thay đổi theo một hằng số nhất định khi dùng cơ số khác. Người ta không quan tâm đến hằng số đó khi phân tích thuật toán dưới mô hình chi phí thống nhất tiêu chuẩn.[99]

Một hàm số Bản mẫu:Math được gọi là hàm số tăng logarit nếu Bản mẫu:Math tỉ lệ thuận với logarit của Bản mẫu:Mvar. (Tuy nhiên, một số tài liệu sinh học sử dụng thuật ngữ này đối với hàm mũ khi viết về sự sinh trưởng của sinh vật.[100]) Chẳng hạn, mọi số tự nhiên Bản mẫu:Math đều có thể được biểu diễn dưới dạng nhị phân sử dụng không quá Bản mẫu:Math bit. Nói cách khác, lượng bộ nhớ cần dùng để lưu trữ Bản mẫu:Math tăng theo logarit của Bản mẫu:Math.

Entropy và sự hỗn loạn[sửa]

Một mô hình bàn bida. Hai hạt điểm bắt đầu chuyển động từ vị trí trung tâm với hai góc sai khác nhau 1 độ, sau đó tách ra di chuyển hỗn loạn do sự phản xạ trên thành bàn.

Entropy là một phép đo về sự hỗn loạn của một hệ. Trong cơ học thống kê, entropy Bản mẫu:Math của một hệ vật lý được xác định là

Tổng này được lấy trên tất cả các trạng thái Bản mẫu:Math của hệ được xét, chẳng hạn như vị trí của các phân tử khí trong bình chứa, trong đó Bản mẫu:Math là xác suất để hệ nằm ở trạng thái Bản mẫu:MathBản mẫu:Mathhằng số Boltzmann. Tương tự, entropy thông tin mô tả mức độ hỗn loạn của thông tin. Nếu người nhận một thông điệp kỳ vọng nhận được bất kỳ trong số Bản mẫu:Math thông điệp có thể với khả năng giống nhau thì lượng thông tin truyền tải bởi một thông điệp như vậy được định lượng là Bản mẫu:Math bit.[101]

Lũy thừa Lyapunov sử dụng logarit để đo mức độ hỗn loạn của một hệ thống động lực. Chẳng hạn, khi một chất điểm di chuyển trên một bàn bida, chỉ một thay đổi rất nhỏ về góc cũng có thể làm thay đổi hoàn toàn hướng đi của chất điểm đó. Hệ thống như vậy hỗn loạn một cách tất định, vì những sai sót nhỏ ở điều kiện ban đầu thường dẫn đến những kết quả khác hẳn nhau.[102] Ít nhất một lũy thừa Lyapunov của một hệ hỗn loạn tất định có giá trị dương.

Phân dạng[sửa]

Tam giác Sierpinski (bên phải) được tạo nên bằng cách lặp đi lặp lại việc thay thế một tam giác đều bằng ba tam giác đều nhỏ hơn.

Logarit xuất hiện trong định nghĩa về số chiều phân dạng.[103] Phân dạng là một đối tượng hình học có cấu trúc tự đồng dạng: mỗi hình nhỏ hơn đều trông giống như hình tổng thể. Tam giác Sierpinski (hình bên) được tạo ra từ ba bản sao của chính nó, mỗi hình có cạnh bằng một nửa hình ban đầu. Theo đó, số chiều Hausdorff của cấu trúc này là Bản mẫu:Math. Một khái niệm khác về số chiều dựa trên logarit được suy ra bởi việc đếm số hình vuông đơn vị để bao phủ hết bề mặt phân dạng được xét.

Âm nhạc[sửa]

Four different octaves shown on a linear scale.
Four different octaves shown on a logarithmic scale.
Bốn quãng tám khác nhau trên thang đo tuyến tính và thang đo logarit.

Logarit có liên hệ đến cungquãng trong âm nhạc. Trong hệ thống âm tự nhiên, tỉ lệ tần số chỉ phụ thuộc vào quãng giữa hai tông nhạc, không phụ thuộc vào tần số hay cao độ của từng tông cụ thể. Chẳng hạn, nốt A có tần số là 440 Hznốt B♭ có tần số là 466 Hz. Quãng giữa nốt A và nốt B♭ là nửa cung, giống như quãng giữa nốt B♭ và nốt B (tần số 493 Hz), vì tỉ lệ tần số của hai quãng trên gần bằng nhau:

Do đó, logarit có thể được dùng để miêu tả các quãng: một quãng được đo theo đơn vị nửa cung bằng cách lấy logarit cơ số Bản mẫu:Math của tỉ lệ tần số, trong khi logarit cơ số Bản mẫu:Math của nó đo quãng đó theo cent, bằng một phần trăm so với nửa cung.[104]

Quãng
(phát hai tông cùng lúc)
Tông 1/12 Bản mẫu:Âm thanh Nửa cung Bản mẫu:Âm thanh Quãng 5/4 Bản mẫu:Âm thanh Quãng 3 trưởng Bản mẫu:Âm thanh Quãng 3 cung Bản mẫu:Âm thanh Quãng tám Bản mẫu:Âm thanh
Tỉ lệ tần số r
Số nửa cung tương ứng
Số cent tương ứng

Lý thuyết số[sửa]

Logarit tự nhiên có liên hệ gần gũi với việc đếm số nguyên tố (2, 3, 5, 7, 11...), một chủ đề quan trọng trong lý thuyết số. Với mỗi số nguyên Bản mẫu:Mvar, số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng Bản mẫu:Mvar được ký hiệu là Bản mẫu:Math. Theo định lý số nguyên tố, giá trị gần đúng của Bản mẫu:Math được cho bởi công thức

trong đó "gần đúng" ở đây có nghĩa là tỉ số giữa Bản mẫu:MathBản mẫu:Math tiệm cận về 1 khi Bản mẫu:Mvar tiến dần ra vô hạn.[105] Nói cách khác, xác suất để một số được chọn ngẫu nhiên nằm giữa 1 và Bản mẫu:Mvar là số nguyên tố tỉ lệ nghịch với số chữ số của Bản mẫu:Mvar. Một xấp xỉ chính xác hơn nữa của Bản mẫu:Math được cho bởi hàm tích phân logarit bù Bản mẫu:Math, được định nghĩa là

Giả thuyết Riemann, một trong những phỏng đoán toán học mở lâu đời nhất, có thể được phát biểu trên cơ sở so sánh Bản mẫu:MathBản mẫu:Math.[106] Định lý Erdős–Kac mô tả số các thừa số nguyên tố khác nhau cũng liên quan đến logarit tự nhiên.

Logarit của Bản mẫu:Math giai thừa, Bản mẫu:Math, được cho bởi

Biểu thức này được dùng để suy ra phép xấp xỉ Stirling, một phép tính gần đúng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math lớn.[107]

Khái quát hóa[sửa]

Logarit phức[sửa]

Xem trang sách: Logarit phức
An illustration of the polar form: a point is described by an arrow or equivalently by its length and angle to the Bản mẫu:Mvar axis.
Một điểm Bản mẫu:Math trong mặt phẳng phức. Cả hai góc Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar đều là argumen của Bản mẫu:Mvar.

Mọi nghiệm phức Bản mẫu:Mvar của phương trình

được gọi là logarit phức của Bản mẫu:Mvar, với Bản mẫu:Mvar là một số phức. Mỗi số phức thường có dạng Bản mẫu:Math với Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar là số thực và Bản mẫu:Mvarđơn vị ảo (căn bậc hai của −1). Một số như vậy có thể được biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng phức như hình bên phải. Mặt phẳng phức thường biểu thị một số phức Bản mẫu:Mvar khác không theo giá trị tuyệt đối của nó, tức là khoảng cách Bản mẫu:Mvar đến điểm gốc, và một góc hợp bởi trục hoành thực Re và đường thẳng đi qua gốc tọa độ và Bản mẫu:Mvar. Góc này được gọi là argumen của Bản mẫu:Mvar.

Giá trị tuyệt đối Bản mẫu:Mvar của Bản mẫu:Mvar được tính bằng

Áp dụng biểu diễn hình học của và tính tuần hoàn của chúng với chu kỳ , mỗi số phức Bản mẫu:Mvar cũng có thể được biểu diễn dưới dạng

với Bản mẫu:Mvar là số nguyên. Rõ ràng argumen của Bản mẫu:Mvar không phải là duy nhất: cả Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar' = Bản mẫu:Mvar + 2kπ đều là argumen của Bản mẫu:Mvar với mọi số nguyên Bản mẫu:Mvar, vì thêm 2kπ radian hoặc k⋅360° vào Bản mẫu:Mvar tức là "quay" góc Bản mẫu:Mvar quanh gốc tọa độ Bản mẫu:Mvar vòng.[nb 7] Số phức cuối cùng luôn là Bản mẫu:Mvar, như được minh họa trong hình bên phải với Bản mẫu:Math. Ta có thể chọn đúng một trong số các argumen của Bản mẫu:Mvar làm argumen chính, ký hiệu là Bản mẫu:Math với chữ cái Bản mẫu:Math in hoa, bằng cách giới hạn Bản mẫu:Mvar xuống một vòng quay nhất định, chẳng hạn như [108] hoặc [109] Các nửa khoảng này được gọi là nhánh chính của hàm argumen.

Miền tô màu của logarit phức Bản mẫu:Math. Điểm màu đen tại Bản mẫu:Math tương ứng với giá trị tuyệt đối bằng không. Màu sáng hơn, sẫm hơn biểu thị giá trị tuyệt đối lớn hơn. Sắc độ của màu chỉ argumen của Bản mẫu:Math.

Công thức Euler liên hệ các hàm lượng giác sincosin với hàm mũ phức:

Áp dụng công thức trên và tính chất tuần hoàn, ta có:[110]

với Bản mẫu:Math là logarit tự nhiên thực duy nhất, Bản mẫu:Math là logarit phức của Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar là một số nguyên bất kỳ. Do đó, logarit phức của Bản mẫu:Mvar, bao gồm tất cả các số phức Bản mẫu:Math sao cho lũy thừa bậc Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Mvar bằng Bản mẫu:Mvar, là một tập hợp vô số các giá trị Bản mẫu:Math thỏa mãn

với Bản mẫu:Mvar là một số nguyên.

Đặt Bản mẫu:Mvar sao cho nằm trong các nửa khoảng được xác định như trên thì Bản mẫu:Math được gọi là giá trị chính của logarit phức, ký hiệu là Bản mẫu:Math với chữ cái Bản mẫu:Math in hoa. Argumen chính của mọi số thực dương Bản mẫu:Mvar bằng 0; do đó Bản mẫu:Math là một số thực bằng với logarit tự nhiên thực. Tuy vậy, các công thức về logarit của một tích hay lũy thừa không áp dụng được cho giá trị chính của logarit phức.[111]

Hình bên phải miêu tả miền tô màu của Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar được giới hạn về nửa khoảng Bản mẫu:Math. Có thể thấy nhánh tương ứng của logarit phức bị đứt đoạn trên toàn bộ phần âm của trục hoành thực, tại đó sắc độ thay đổi bất chợt. Sự đứt đoạn này nảy sinh từ việc chuyển sang phân vùng khác trong cùng một nhánh khi đi qua một đường biên (không chuyển qua giá trị Bản mẫu:Mvar tương ứng của nhánh lân cận). Một quỹ tích như vậy được gọi là nhánh cắt. Hiện tượng này chỉ có thể bị phá vỡ bằng cách loại bỏ điều kiện của argumen, và khi đó argumen của Bản mẫu:Mvar và logarit của nó đều trở thành hàm đa trị.

Hàm ngược của các hàm mũ khác[sửa]

Lũy thừa xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học và hàm ngược của nó thường được gọi là logarit. Chẳng hạn, logarit của một ma trận là hàm ngược (đa trị) của hàm mũ ma trận.[112] Một ví dụ khác là hàm logarit p-adic, hàm ngược của hàm mũ p-adic. Cả hai đều được xác định qua chuỗi Taylor tương tự như với số thực. Khác với số thực, logarit p-adic còn có thể được mở rộng cho mọi số p-adic khác 0.[113] Trong hình học vi phân, ánh xạ mũ ánh xạ không gian tiếp tuyến tại một điểm của một đa tạp đến một lân cận của điểm đó, và ánh xạ ngược lại với nó được gọi là ánh xạ logarit.[114]

Trong nhóm hữu hạn, lũy thừa là nhân lặp đi lặp lại một phần tử Bản mẫu:Mvar trong nhóm với chính nó. Logarit rời rạc là nghiệm nguyên Bản mẫu:Math của phương trình

với Bản mẫu:Mvar là một phần tử trong nhóm. Phép lũy thừa rời rạc có thể dễ dàng thực hiện được, nhưng logarit rời rạc được cho là khó tính được trong một số nhóm. Tính bất đối xứng này có những ứng dụng quan trọng trong mật mã hóa khóa công khai, chẳng hạn như trong trao đổi khóa Diffie–Hellman, một phương pháp cho phép trao đổi khóa mật mã một cách bảo mật trên các kênh thông tin không an toàn.[115] Logarit Zech có liên hệ với logarit rời rạc đối với nhóm nhân của các phần tử khác không trong một trường hữu hạn.[116]

Các hàm ngược khác liên quan đến logarit bao gòm logarit kép Bản mẫu:Math, siêu logarit (có dạng gần giống với logarit lặp trong khoa học máy tính), hàm Lambert Wlogit. Chúng lần lượt là hàm ngược của hàm mũ kép, tetration, Bản mẫu:Math,[117]hàm logistic.[118]

Các khái niệm liên quan[sửa]

Trong lý thuyết nhóm, đồng nhất thức Bản mẫu:Math biểu thị một đẳng cấu nhóm giữa các số thực dưới phép nhân và các số thực dưới phép cộng. Hàm logarit là đẳng cấu liên tục duy nhất giữa các nhóm này.[119] Bằng đẳng cấu đó, độ đo Haar (độ đo Lebesgue) Bản mẫu:Math trên các số thực tương ứng với độ đo Haar Bản mẫu:Math trên các số thực dương.[120] Các số thực không âm dưới phép cộng và phép nhân tạo thành một bán vành được gọi là bán vành xác suất; sau đó, logarit chuyển phép nhân thành phép cộng (phép nhân log) và chuyển phép cộng thành phép cộng log (LogSumExp), cho một phép đẳng cấu giữa bán vành xác suất và bán vành log.[121] Trong giải tích phứchình học đại số, 1-dạng logarit Bản mẫu:Math là một dạng vi phân với cực điểm logarit.[122]

Hàm đa loga là hàm số xác định bởi

Nó có liên hệ với logarit tự nhiên theo đồng nhất thức Bản mẫu:Math. Hơn nữa, Bản mẫu:Math bằng với hàm zeta Riemann Bản mẫu:Math.[123]

Xem thêm[sửa]

Ghi chú[sửa]

  1. Để biết thêm thông tin chi tiết và các công thức có liên quan, xem bài lũy thừa.
  2. Điều kiện của Bản mẫu:MvarBản mẫu:Mvar được giải thích trong phần "Tính chất trong giải tích".
  3. Một số nhà toán học không chấp nhận ký hiệu này. Trong cuốn tự truyện năm 1985, Paul Halmos chỉ trích thứ mà ông gọi là "ký hiệu ln trẻ con" và cho rằng chưa có nhà toán học nào từng sử dụng nó.[15] Ký hiệu này được tìm ra bởi nhà toán học Irving Stringham.[16][17]
  4. Chẳng hạn như C, Java, HaskellBASIC.
  5. Chuỗi này cũng đúng khi tính gần đúng giá trị của logarit phức với số phức Bản mẫu:Mvar thỏa mãn Bản mẫu:Math.
  6. Chuỗi này cũng đúng khi tính gần đúng giá trị của logarit phức với số phức Bản mẫu:Mvar có phần thực dương.
  7. Xem bài radian về phép chuyển đổi giữa 2π radian và 360 độ.

Tham khảo[sửa]

  1. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., đặc biệt mục 2
  2. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 1
  3. Mọi thông tin có thể được tìm thấy trong Bản mẫu:Harvnb, Bản mẫu:Harvnb hoặc Bản mẫu:Harvnb...
  4. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 21
  5. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 17, tr. 275
  6. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 20
  7. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  8. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  9. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  10. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  11. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  12. Bản mẫu:Citation
  13. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  14. Xem chú thích 1 trong Bản mẫu:Citation
  15. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  16. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  17. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  18. Xem Định lý 3.29 trong Bản mẫu:Citation
  19. Bản mẫu:Citation
  20. Bản mẫu:Citation
  21. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  22. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  23. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  24. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”..
  25. Bản mẫu:Citation
  26. Bản mẫu:Harvnb
  27. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  28. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  29. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  30. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  31. Bản mẫu:Harvnb
  32. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  33. Bản mẫu:Harvnb
  34. Bản mẫu:Harvnb
  35. Bản mẫu:Citation
  36. Bản mẫu:Citation. Bản dịch của Ian Bruce
  37. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 44
  38. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 2
  39. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 4.7., tr. 89
  40. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  41. Bản mẫu:Harvnb
  42. Bản mẫu:Citation, hoặc xem thêm chú thích trong bài hàm số
  43. 43,0 43,1 Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương III.3
  44. 44,0 44,1 Bản mẫu:Harvnb
  45. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  46. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 1.6
  47. “Calculation of d/dx(Log(b,x)). Wolfram Alpha. Wolfram Research.
  48. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 386
  49. “Calculation of Integrate(ln(x)). Wolfram Alpha. Wolfram Research.
  50. Bản mẫu:Harvnb
  51. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương III.6
  52. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 11.5 và 13.8
  53. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  54. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  55. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 10
  56. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 4.2.2 (tr. 72) và 5.5.2 (tr. 95)
  57. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 6.3, tr. 105–111
  58. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 1
  59. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  60. Lỗi khi kêu gọi {{Chú thích web}}: hai tham số urltitle phải được chỉ định (20 tháng 5 năm 2001). [{{{archiveurl}}} Bản chính] lưu trữ 25 tháng 12 năm 2015. Truy cập 18 tháng 7 năm 2020.
  61. 61,0 61,1 61,2 Bản mẫu:Harvnb
  62. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  63. Bản mẫu:Harvnb
  64. Bản mẫu:Harvnb
  65. 65,0 65,1 Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  66. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  67. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  68. Bản mẫu:Citation
  69. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  70. Bản mẫu:Harvnb
  71. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 6, mục 64
  72. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 21, mục 1.3.2
  73. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 5.2
  74. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 23.0.2
  75. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  76. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  77. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 4.4.
  78. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 8.3, tr. 231
  79. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  80. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 34
  81. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 355–356
  82. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 48
  83. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 61
  84. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., in lại trong Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  85. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  86. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., bổ đề PsychophysicsPerception: Overview
  87. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  88. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  89. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 12.9
  90. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  91. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  92. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 11.3
  93. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 2.1
  94. Bản mẫu:Citation
  95. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 1–2
  96. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 143
  97. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 6.2.1, tr. 409–426
  98. Bản mẫu:Harvnb
  99. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  100. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 19, tr. 298
  101. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục III.I
  102. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 1.9
  103. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  104. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 5
  105. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., định lý 4.1
  106. Bản mẫu:Harvnb
  107. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 4
  108. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., Định nghĩa 1.6.3
  109. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 5.9
  110. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 1.2
  111. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., định lý 6.1.
  112. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., chương 11.
  113. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục II.5.
  114. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  115. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  116. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  117. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  118. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., tr. 357
  119. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục V.4.1
  120. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 1.4
  121. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”.
  122. Lỗi kịch bản: Không tìm thấy mô đun “citation/CS1”., mục 2
  123. Bản mẫu:Dlmf

Liên kết ngoài[sửa]

Bản mẫu:Thể loại Commons

Bản mẫu:Kiểm soát tính nhất quán Bản mẫu:Hệ hyper