Sách công thức/Sách công thức Toán/Sách công thức lượng giác

Góc

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng . Góc có ký hiệu $\mathrm{\angle }$ . Thí dụ 2 đường thẳng AB và AC cắt nhau tại một điểm a tạo ra góc A : $\mathrm{\angle }A$

Góc đo bằng đơn vị Độ ^o hay Radian Rad

$1rad=\frac{180^o}{\pi }$

$1^o=\frac{\pi }{180^o}$

Thí dụ : Góc A bằng 30^o

$\mathrm{\angle }A=30^0=\frac{\pi }{6}rad$

Bảng liệt kê các loại góc

Thể loại góc	Hình	Định nghỉa
Góc nhọn		Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông		Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù		Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt		Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản		Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy		Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác cơ bản

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Tính chất

Công thức góc Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin (x)=\sin (x+2k\pi )$	$\sin (-x)=-\sin (x)$	$\sin (x)=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$
$\cos (x)=\cos (x+2k\pi )$	$\cos (-x)=\cos (x)$	$\cos (x)=\sin (\frac{\pi }{2}-x)$
$\tan (x)=\tan (x+k\pi )$	$\tan (-x)=-\tan (x)$	$\tan (x)=\cot (\frac{\pi }{2}-x)$
	$\cot (-x)=-\cot (x)$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

với

$\phi =\{\begin{array}{ccc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a\ge 0;\\ \pi +\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}(b/a),& & \text{n}\acute{\hat{\text{e}}}\text{u}a<0.\end{array}$

Công thức góc bội

• Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)=2{\cos }^2(x)-1=1-2{\sin }^2(x)$

$\tan (2x)=\frac{2\tan (x)}{1-{\tan }^2(x)}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

• Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin (3x)=3\sin (x)-4{\sin }^3(x)$

$\cos (3x)=4{\cos }^3(x)-3\cos (x)$

• Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos (nx)=T_n(\cos (x)).$

công thức de Moivre:

$\cos (nx)+i\sin (nx)=(\cos (x)+i\sin (x){)}^n$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos (x)+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)$

$=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin (x/2)}$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin (nx)=2\sin ((n-1)x)\cos (x)-\sin ((n-2)x)$

$\cos (nx)=2\cos ((n-1)x)\cos (x)-\cos ((n-2)x)$=

Công thức góc chia đôi

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos (x)}{2}}$

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos (x)}{2}}$

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x/2)}{\cos (x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}.$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{1-{\cos }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}}$

$=\frac{\sin x}{1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x)(1-\cos x)}{(1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{(1-{\cos }^{2}x)}}$

$=\frac{1-\cos x}{\sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}=\frac{1-\cos (x)}{\sin (x)}.$

Nếu

$t=\tan \left(\frac{x}{2}\right),$

thì:

$\sin (x)=\frac{2t}{1+t^2}$

and

$\cos (x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

and

$e^{ix}=\frac{1+it}{1-it}.$

Công thức tổng của 2 góc

$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x+\tan y=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y}$

Công thức hiệu của 2 góc

$\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos (x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x-\tan y=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}$

$\cot x-\cot y=\frac{-\sin (x-y)}{\sin x\sin y}$

Công thức tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\cos (x+y)+\cos (x-y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

Công thức lũy thừa của góc

${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x)=\frac{1-\cos (2x)}{2}$

${\sin }^2(x){\cos }^{2}2(x)=\frac{1-\cos (4x)}{4}$

${\sin }^3(x)=\frac{2\sin 2(x)-\sin (3x)}{4}$

${\cos }^3(x)=\frac{3\cos (x)+\cos (3x)}{4}$

Hàm số lượng giác nghịch

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	${\cos }^{-1}x$	${\sin }^{-1}x$	${\tan }^{-1}x$	${\cot }^{-1}x$	${\sec }^{-1}x$	${\csc }^{-1}x$
Tam giác vuông	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{1}{b}$	$\frac{1}{a}$
Đồ thị

Chuổi Số

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

$\begin{array}{ccc}\arcsin z& =& z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)}\end{array}\left|z\right|<1$

$\begin{array}{ccc}\arccos z& =& \frac{\pi }{2}-\arcsin z\\ & =& \frac{\pi }{2}-(z+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =& \frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)}\end{array}\left|z\right|<1$

$\begin{array}{ccc}\arctan z& =& z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1}\end{array}\left|z\right|<1$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arccsc}z& =& \arcsin \left(z^{-1}\right)\\ & =& z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots \\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{2n+1}\end{array}\left|z\right|>1$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arcsec}z& =& \arccos \left(z^{-1}\right)\\ & =& \frac{\pi }{2}-(z^{-1}+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{z^{-3}}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{z^{-5}}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{z^{-7}}{7}+\cdots )\\ & =& \frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right)\frac{z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}\end{array}\left|z\right|>1$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{arccot}z& =& \frac{\pi }{2}-\arctan z\\ & =& \frac{\pi }{2}-(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots )\\ & =& \frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{2n+1}\end{array}\left|z\right|<1$

Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

$\arcsin \left(x\right)={\int }_0^x\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}z,|x|<1$

$\arccos \left(x\right)={\int }_x^1\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\mathrm{d}z,|x|<1$

$\arctan \left(x\right)={\int }_0^x\frac{1}{1+z^2}\mathrm{d}z,\mathrm{\forall }x\in ℝ$

$\mathrm{arccot}\left(x\right)={\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{z^2+1}\mathrm{d}z,z>0$

$\mathrm{arcsec}\left(x\right)={\int }_x^1\frac{1}{|z|\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z,x>1$

$\mathrm{arccsc}\left(x\right)={\int }_x^{\mathrm{\infty }}\frac{-1}{|z|\sqrt{z^2-1}}\mathrm{d}z,x>1$

Số Phức

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:

$\arcsin (z)=-i\log \left(i(z+\sqrt{1-z^2})\right)$

$\arccos (z)=-i\log (z+\sqrt{z^2-1})$

$\arctan (z)=\frac{i}{2}\log \left(\frac{1-iz}{1+iz}\right)$