Các phép toán thực thi trên hàm số f(x)
Thay đổi biến số là một phép toán giải tích tìm thay đổi của biến số của một hàm số .
Thay đổi biến số x có ký hiệu
Δ
{\displaystyle \Delta }
. Với hàm số toán
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
.
Thay đổi biến số x có ký hiệu
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
.
Thay đổi biến số y có ký hiệu
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)}
Phép toán thay đổi biến số
Ký hiệu
Giá trị
Tthay đổi biến số x
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
x
=
x
−
x
o
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-x=x-x_{o}}
Thay đổi biến số y
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)}
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
=
y
−
y
o
{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=y-y_{o}}
Với đường thẳng nghiêng nối liền 2 điểm bất kỳ (1,2) , (3,4), ta co
Thay đổi biến số x
Δ
x
=
x
−
x
o
=
3
−
1
=
2
{\displaystyle \Delta x=x-x_{o}=3-1=2}
Thay đổi biến số xy
Δ
f
(
x
)
=
y
−
y
o
=
4
−
2
=
2
{\displaystyle \Delta f(x)=y-y_{o}=4-2=2}
Tỉ lệ thay đổi biến số[ sửa ]
Tỉ lệ thay đổi biến số là một phép toán giải tích cho biết tỉ lệ của thay đổi biến số của một hàm số y=f(x) .
Tỉ lệ thay đổi biến số có ký hiệu
Δ
y
Δ
x
=
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
a
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=a}
Với mọi hàm số
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Thay đổi biến số x
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
x
=
x
−
x
o
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-x=x-x_{o}}
Thay đổi biến số y
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
=
y
−
y
o
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=y-y_{o}}
Tỉ lệ thay đổi biến số
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
Y
X
=
Δ
y
Δ
x
=
y
−
y
o
x
−
x
o
=
a
{\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {Y}{X}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}=a}
Tìm độ dóc đường thẳng nghiêng qua 2 điểm
(
0
,
1
)
,
(
2
,
3
)
{\displaystyle (0,1),(2,3)}
a
=
Δ
y
Δ
x
=
3
−
1
2
−
0
=
2
2
=
1
{\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {3-1}{2-0}}={\frac {2}{2}}=1}
Phép toán giải tích tìm giá trị của một hàm số khi biến số của hàm số tiến tới một trị số .
Ký hiệu toán limit
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f(x)}
Phép toán Limit được thực hiện như sau
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f(x)=L}
Luật toán giải tích Limit[ sửa ]
lim
n
→
∞
(
x
n
+
y
n
)
=
lim
n
→
∞
(
x
n
)
+
lim
n
→
∞
(
y
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})}
.
lim
n
→
∞
(
x
n
−
y
n
)
=
lim
n
→
∞
(
x
n
)
−
lim
n
→
∞
(
y
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})-\lim _{n\to \infty }(y_{n})}
.
lim
n
→
∞
(
x
n
y
n
)
=
(
lim
n
→
∞
x
n
)
(
lim
n
→
∞
y
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)}
.
lim
n
→
∞
(
a
x
n
)
=
a
lim
n
→
∞
(
x
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})}
.
lim
n
→
∞
(
x
n
y
n
)
=
lim
n
→
∞
x
n
lim
n
→
∞
y
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}}
(assuming y n ≠ 0 for all n in N and lim y_n ≠ 0).
lim
x
→
0
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x=0}
lim
x
→
0
1
x
=
00
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=00}
lim
x
→
00
x
=
00
{\displaystyle \lim _{x\to 00}x=00}
lim
x
→
00
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 00}{\frac {1}{x}}=0}
Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán f(x) trên các khoảng thời gian ∆x = x - xo càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x)
Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau
Ký hiệu Chuẩn
d
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}
.
Ký hiệu Leibitz
f
′
(
x
)
{\displaystyle f^{'}(x)}
Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới
d
d
x
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
Với
Thay đổi biến số y
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Thay đổi biến số x
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
(
x
)
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-(x)}
Biến số hàm số
Δ
y
Δ
x
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
(
x
+
Δ
x
)
−
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-(x)}}}
Tổng biến số hàm số
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
Giới hạn tổng biến số hàm số
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
Đạo hàm hàm số
d
d
x
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của vận tốc theo thời gian v(t) . Gia tốc chuyển động được tính như ở bên dưới
a
(
t
)
=
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)}
v
=
v
(
t
)
{\displaystyle v=v(t)}
a
=
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}v(t)}
v
=
v
{\displaystyle v=v}
a
=
d
d
t
v
=
0
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}v=0}
v
=
t
{\displaystyle v=t}
a
=
d
d
t
t
=
1
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}t=1}
v
=
a
t
{\displaystyle v=at}
a
=
d
d
t
a
t
=
a
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}at=a}
v
=
a
t
+
v
o
{\displaystyle v=at+v_{o}}
a
=
d
d
t
(
a
t
+
v
o
)
=
a
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}(at+v_{o})=a}
Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của đường dài theo thời gian s(t) . Vận tốc chuyển động được tính như ở bên dưới
v
(
t
)
=
d
d
t
s
(
t
)
{\displaystyle v(t)={\frac {d}{dt}}s(t)}
a
(
t
)
=
d
d
t
v
(
t
)
=
d
d
t
d
d
t
s
(
t
)
=
d
2
d
t
2
s
(
t
)
{\displaystyle a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)}
Công thức toán đạo hàm[ sửa ]
Hàm số , f(x)
Đạo hàm hàm số f' (x)
Giá trị
Đạo hàm hằng số
d
d
x
c
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}c}
0
{\displaystyle 0}
Đạo hàm tích hằng số với biến số
d
d
x
c
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}cx}
c
{\displaystyle c}
Đạo hàm lũy thừa x
d
d
x
c
x
n
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}cx^{n}}
c
n
x
n
−
1
{\displaystyle cnx^{n-1}}
Đạo hàm lũy thừa x
d
d
x
x
n
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}}
n
x
n
−
1
{\displaystyle nx^{n-1}}
Đạo hàm lũy thừa e
d
d
x
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}}
d
d
x
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}}
Đạo hàm lũy thừa n
d
d
x
n
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}n^{x}}
d
d
x
n
x
L
n
n
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}n^{x}Lnn}
Đạo hàm Ln
d
d
x
L
n
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}Lnx}
d
d
x
1
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
tan
x
{\displaystyle \tan x}
sec
2
x
{\displaystyle \sec ^{2}x}
cot
x
{\displaystyle \cot x}
−
csc
2
x
{\displaystyle -\csc ^{2}x}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
sec
x
tan
x
{\displaystyle \sec x\tan x}
csc
x
{\displaystyle \csc x}
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle -\csc x\cot x}
cos
−
1
x
{\displaystyle \cos ^{-1}x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
sin
−
1
x
{\displaystyle \sin ^{-1}x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
−
1
x
{\displaystyle \tan ^{-1}x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
cot
−
1
x
{\displaystyle \cot ^{-1}x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
sec
−
1
x
{\displaystyle \sec ^{-1}x}
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
csc
−
1
x
{\displaystyle \csc ^{-1}x}
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle -{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
tanh
x
{\displaystyle \tanh x}
sech
2
x
{\displaystyle {\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x}
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle -\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
csch
x
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x}
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle -\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
coth
x
{\displaystyle \operatorname {coth} \,x}
−
csch
2
x
{\displaystyle -\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
arsinh
x
{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x}
1
x
2
+
1
{\displaystyle {1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
arcosh
x
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x}
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
artanh
x
{\displaystyle \operatorname {artanh} \,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {1 \over 1-x^{2}}}
arsech
x
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,x}
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle -{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsch
x
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x}
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle -{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arcoth
x
{\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {1 \over 1-x^{2}}}
Quy luật toán đạo hàm[ sửa ]
Quy luật toán đạo ham
Công thức
Đạo hàm tổng 2 hàm số
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}}
d
d
x
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
=
d
d
x
f
(
x
)
+
d
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)}
Đạo hàm hiệu 2 hàm số
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
{\displaystyle (f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}}
d
d
x
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
=
d
d
x
f
(
x
)
−
d
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)}
Đạo hàm tích 2 hàm số
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
.
{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'.\,}
d
d
x
[
f
(
x
)
×
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
d
d
x
f
(
x
)
+
f
(
x
)
d
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}
Đạo hàm thương 2 hàm số
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
d
d
x
[
f
(
x
)
/
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
d
d
x
f
(
x
)
+
f
(
x
)
d
d
x
g
(
x
)
g
(
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}}
Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
Đạo hàm Ln
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
d
d
x
L
n
f
(
x
)
=
d
d
x
L
n
f
(
x
)
L
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}Lnf(x)={\frac {{\frac {d}{dx}}Lnf(x)}{Lnf(x)}}}
Đạo hàm hàm số phức
(
f
∘
g
)
′
=
(
f
′
∘
g
)
g
′
.
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'.\,}
Đạo hàm hàm số nghịch
(
1
f
)
′
=
−
f
′
f
2
.
{\displaystyle ({\frac {1}{f}})^{'}=-{\frac {f'}{f^{2}}}.\,}
d
d
x
1
f
(
x
)
=
−
1
f
(
x
)
2
d
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{f(x)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {d}{dx}}f(x)}
Đạo hàm hàm số ngược
g
′
=
1
f
′
∘
f
−
1
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,}
Đạo hàm hàm số kép
d
f
d
x
=
d
f
d
g
⋅
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}
d
x
f
(
g
(
x
)
)
=
d
f
(
x
)
d
g
(
x
)
d
g
(
x
)
d
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{x}}f(g(x))={\frac {df(x)}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{d(x)}}}
Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau
Hoán chuyển
Ký hiệu
Hoán chuyển Laplace
Hoán chuyển Fourier
Toán Đạo hàm
d
n
d
x
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}
s
n
{\displaystyle s^{n}}
j
ω
n
{\displaystyle j\omega ^{n}}
Toán Đạo hàm hàm số
d
n
d
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
s
n
f
(
x
)
{\displaystyle s^{n}f(x)}
j
ω
n
f
(
x
)
{\displaystyle j\omega ^{n}f(x)}
Giải phương trình đạo hàm[ sửa ]
Phương trình đạo hàm bậc nhứt - Phương trình phân hủy
Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát
a
d
d
x
f
(
x
)
+
b
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0}
Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có
s
f
(
x
)
+
b
a
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0}
s
=
−
b
a
{\displaystyle s=-{\frac {b}{a}}}
f
(
x
)
=
A
e
s
x
=
A
e
−
b
a
x
=
A
e
−
α
x
{\displaystyle f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}}
Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin không đều
Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát
a
d
2
d
x
2
f
(
x
)
+
b
d
d
x
f
(
x
)
+
c
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0}
Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có
s
2
f
(
x
)
+
b
a
s
f
(
x
)
+
c
a
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0}
s
2
+
2
α
s
+
β
=
0
{\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\beta =0}
Giải phương trình đạo hàm
s
{\displaystyle s}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
f
(
x
)
=
A
e
s
x
{\displaystyle f(x)=Ae^{sx}}
−
α
{\displaystyle -\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
=
β
{\displaystyle \beta }
f
(
x
)
=
A
e
−
α
x
=
A
(
α
)
{\displaystyle f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )}
−
α
±
λ
{\displaystyle -\alpha \pm \lambda }
α
{\displaystyle \alpha }
<
β
{\displaystyle \beta }
f
(
x
)
=
A
e
(
−
α
±
λ
)
x
=
A
(
α
)
e
λ
x
+
A
(
α
)
e
−
λ
x
{\displaystyle f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}}
−
α
±
j
ω
{\displaystyle -\alpha \pm j\omega }
α
{\displaystyle \alpha }
>
β
{\displaystyle \beta }
f
(
x
)
=
A
e
(
−
α
±
j
ω
)
x
=
A
(
α
)
s
i
n
ω
{\displaystyle f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega }
α
=
b
2
a
{\displaystyle \alpha ={\frac {b}{2a}}}
β
=
c
a
{\displaystyle \beta ={\frac {c}{a}}}
λ
=
α
−
β
{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}}
ω
=
β
−
α
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}}
Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin đều
Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát
a
d
n
d
x
n
f
(
x
)
+
b
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0}
Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có
s
n
f
(
x
)
+
b
a
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0}
s
n
=
−
b
a
{\displaystyle s^{n}=-{\frac {b}{a}}}
Giải phương trình đạo hàm
s
=
n
−
b
a
=
±
j
n
b
a
=
±
j
ω
{\displaystyle s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega }
f
(
x
)
=
A
e
s
t
=
A
e
±
j
ω
t
=
A
s
i
n
ω
t
{\displaystyle f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t}
. Với
n
{\displaystyle n}
≥ 2
Tích phân là một phép toán giải tích tìm diện tích dưới hình của một hàm số toán f(x) . Có 2 loại toán tích phân
Loại tích phân
Hình
Công thức
Tích phân xác định
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
Tích phân bất định
∫
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
(
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
2
)
Δ
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C}
Tích phân xác định là phép toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền xác định
Luật toán tích phân xác định[ sửa ]
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx}
∫
a
b
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
±
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\pm \int \limits _{a}^{b}g(x)dx}
∫
a
b
k
f
(
x
)
d
x
=
k
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}kf(x)dx=k\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
∫
a
b
n
d
x
=
n
x
=
n
b
−
n
a
=
n
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}ndx=nx=nb-na=n(b-a)}
Phép toán tích phân xác định[ sửa ]
Toán trung bình
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
1
b
−
a
[
F
(
b
)
−
F
(
a
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}
Toán căn trung bình
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
1
b
−
a
[
F
(
b
)
−
F
(
a
)
]
{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}}={\sqrt {{\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}}}
Tích phân bất định là một loại toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền không xác định . Phép toán tìm diện tích dưới hình hàm số
Luật toán tích phân bất định[ sửa ]
Quy luật
Công thức
Điều kiện
1
∫
a
d
x
=
a
x
{\displaystyle \int a\,dx=ax}
2 Homogeniety
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx}
3 Associativity
∫
(
f
±
g
±
h
±
⋯
)
d
x
=
∫
f
d
x
±
∫
g
d
x
±
∫
h
d
x
±
⋯
{\displaystyle \int {\left(f\pm g\pm h\pm \cdots \right)\,dx}=\int f\,dx\pm \int g\,dx\pm \int h\,dx\pm \cdots }
4 Integration by Parts
∫
a
b
f
g
′
d
x
=
[
f
g
]
a
b
−
∫
a
b
g
f
′
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}fg'\,dx=\left[fg\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}gf'\,dx}
4 General Integration by Parts
∫
f
(
n
)
g
d
x
=
f
(
n
−
1
)
g
′
−
f
(
n
−
2
)
g
″
+
…
+
(
−
1
)
n
∫
f
g
(
n
)
d
x
{\displaystyle \int f^{(n)}g\,dx=f^{(n-1)}g'-f^{(n-2)}g''+\ldots +(-1)^{n}\int fg^{(n)}\,dx}
5
∫
f
(
a
x
)
d
x
=
1
a
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(ax)\,dx={\frac {1}{a}}\int f(x)\,dx}
6 Substitution Rule
∫
g
{
f
(
x
)
}
d
x
=
∫
g
(
u
)
d
x
d
u
d
u
=
∫
g
(
u
)
f
′
(
x
)
d
u
{\displaystyle \int g\{f(x)\}\,dx=\int g(u){\frac {dx}{du}}\,du=\int {\frac {g(u)}{f'(x)}}\,du}
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle u=f(x)\,}
7
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}}
n
≠
−
1
{\displaystyle n\neq -1\,}
8
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|}
9
∫
e
x
d
x
=
e
x
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}}
10
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
|
a
|
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln |a|}}}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
Công thức toán tích phân bất định[ sửa ]
Tích Phân Hàm Số Thường[ sửa ]
Integral
Value
Remarks
1
∫
c
d
x
{\displaystyle \int c\,dx}
c
x
+
C
{\displaystyle cx+C\,}
2
∫
x
n
d
x
{\displaystyle \int x^{n}\,dx}
x
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}
n
≠
−
1
{\displaystyle n\neq -1}
3
∫
1
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx}
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \ln {\left|x\right|}+C}
4
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
{\displaystyle \int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,dx}
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle {1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
5
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx}
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \arcsin {x \over a}+C}
6
∫
−
1
a
2
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx}
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \arccos {x \over a}+C}
7
∫
1
x
x
2
−
a
2
d
x
{\displaystyle \int {1 \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\,dx}
1
a
arcsec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle {1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C}
8
∫
ln
x
d
x
{\displaystyle \int \ln {x}\,dx}
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle x\ln {x}-x+C\,}
9
∫
log
b
x
d
x
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx}
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C\,}
10
∫
e
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\,dx}
e
x
+
C
{\displaystyle e^{x}+C\,}
11
∫
a
x
d
x
{\displaystyle \int a^{x}\,dx}
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle {\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
12
∫
sin
x
d
x
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle -\cos {x}+C\,}
13
∫
cos
x
d
x
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx}
sin
x
+
C
{\displaystyle \sin {x}+C\,}
14
∫
tan
x
d
x
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln {\left|\cos {x}\right|}+C\,}
15
∫
cot
x
d
x
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln {\left|\sin {x}\right|}+C\,}
16
∫
sec
x
d
x
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx}
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C\,}
17
∫
csc
x
d
x
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx}
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C\,}
18
∫
sec
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx}
tan
x
+
C
{\displaystyle \tan x+C\,}
19
∫
csc
2
x
d
x
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx}
−
cot
x
+
C
{\displaystyle -\cot x+C\,}
20
∫
sec
x
tan
x
d
x
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx}
sec
x
+
C
{\displaystyle \sec {x}+C\,}
21
∫
csc
x
cot
x
d
x
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx}
−
csc
x
+
C
{\displaystyle -\csc {x}+C\,}
22
∫
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx}
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C\,}
23
∫
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx}
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C\,}
24
∫
sin
n
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx}
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle -{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
25
∫
cos
n
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx}
−
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle -{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
26
∫
arctan
x
d
x
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx}
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
27
∫
sinh
x
d
x
{\displaystyle \int \sinh x\,dx}
cosh
x
+
C
{\displaystyle \cosh x+C\,}
28
∫
cosh
x
d
x
{\displaystyle \int \cosh x\,dx}
sinh
x
+
C
{\displaystyle \sinh x+C\,}
29
∫
tanh
x
d
x
{\displaystyle \int \tanh x\,dx}
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \ln |\cosh x|+C\,}
30
∫
csch
x
d
x
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx}
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
31
∫
sech
x
d
x
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx}
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \arctan(\sinh x)+C\,}
32
∫
coth
x
d
x
{\displaystyle \int \coth x\,dx}
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \ln |\sinh x|+C\,}
Tích Phân Hàm Số Hyperboly[ sửa ]
Dưới đây là danh sách tích phân với hàm hypebolic .
∫
sinh
c
x
d
x
=
1
c
cosh
c
x
{\displaystyle \int \sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}\cosh cx}
∫
cosh
c
x
d
x
=
1
c
sinh
c
x
{\displaystyle \int \cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}\sinh cx}
∫
sinh
2
c
x
d
x
=
1
4
c
sinh
2
c
x
−
x
2
{\displaystyle \int \sinh ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\sinh 2cx-{\frac {x}{2}}}
∫
cosh
2
c
x
d
x
=
1
4
c
sinh
2
c
x
+
x
2
{\displaystyle \int \cosh ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\sinh 2cx+{\frac {x}{2}}}
∫
sinh
n
c
x
d
x
=
1
c
n
sinh
n
−
1
c
x
cosh
c
x
−
n
−
1
n
∫
sinh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh ^{n-1}cx\cosh cx-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
hay:
∫
sinh
n
c
x
d
x
=
1
c
(
n
+
1
)
sinh
n
+
1
c
x
cosh
c
x
−
n
+
2
n
+
1
∫
sinh
n
+
2
c
x
d
x
(
n
<
0
,
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\sinh ^{n+1}cx\cosh cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
cosh
n
c
x
d
x
=
1
c
n
sinh
c
x
cosh
n
−
1
c
x
+
n
−
1
n
∫
cosh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle \int \cosh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh cx\cosh ^{n-1}cx+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
hay:
∫
cosh
n
c
x
d
x
=
−
1
c
(
n
+
1
)
sinh
c
x
cosh
n
+
1
c
x
−
n
+
2
n
+
1
∫
cosh
n
+
2
c
x
d
x
(
n
<
0
,
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \cosh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\sinh cx\cosh ^{n+1}cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
tanh
c
x
2
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|}
hay:
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
cosh
c
x
−
1
sinh
c
x
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\cosh cx-1}{\sinh cx}}\right|}
hay:
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
sinh
c
x
cosh
c
x
+
1
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\sinh cx}{\cosh cx+1}}\right|}
hay:
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
cosh
c
x
−
1
cosh
c
x
+
1
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\cosh cx-1}{\cosh cx+1}}\right|}
∫
d
x
cosh
c
x
=
2
c
arctan
e
c
x
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh cx}}={\frac {2}{c}}\arctan e^{cx}}
∫
d
x
sinh
n
c
x
=
cosh
c
x
c
(
n
−
1
)
sinh
n
−
1
c
x
−
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
sinh
n
−
2
c
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh ^{n}cx}}={\frac {\cosh cx}{c(n-1)\sinh ^{n-1}cx}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
d
x
cosh
n
c
x
=
sinh
c
x
c
(
n
−
1
)
cosh
n
−
1
c
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
cosh
n
−
2
c
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh ^{n}cx}}={\frac {\sinh cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
c
x
d
x
=
cosh
n
−
1
c
x
c
(
n
−
m
)
sinh
m
−
1
c
x
+
n
−
1
n
−
m
∫
cosh
n
−
2
c
x
sinh
m
c
x
d
x
(
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}cx}{c(n-m)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}}
hay:
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
c
x
d
x
=
−
cosh
n
+
1
c
x
c
(
m
−
1
)
sinh
m
−
1
c
x
+
n
−
m
+
2
m
−
1
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
−
2
c
x
d
x
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}cx}{c(m-1)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
hay:
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
c
x
d
x
=
−
cosh
n
−
1
c
x
c
(
m
−
1
)
sinh
m
−
1
c
x
+
n
−
1
m
−
1
∫
cosh
n
−
2
c
x
sinh
m
−
2
c
x
d
x
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}cx}{c(m-1)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}cx}{\sinh ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
c
x
d
x
=
sinh
m
−
1
c
x
c
(
m
−
n
)
cosh
n
−
1
c
x
+
m
−
1
m
−
n
∫
sinh
m
−
2
c
x
cosh
n
c
x
d
x
(
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}cx}{c(m-n)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{m-n}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}}
hay:
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
c
x
d
x
=
sinh
m
+
1
c
x
c
(
n
−
1
)
cosh
n
−
1
c
x
+
m
−
n
+
2
n
−
1
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
hay:
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
c
x
d
x
=
−
sinh
m
−
1
c
x
c
(
n
−
1
)
cosh
n
−
1
c
x
+
m
−
1
n
−
1
∫
sinh
m
−
2
c
x
cosh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}cx}{\cosh ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
sinh
c
x
d
x
=
1
c
x
cosh
c
x
−
1
c
2
sinh
c
x
{\displaystyle \int x\sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}x\cosh cx-{\frac {1}{c^{2}}}\sinh cx}
∫
x
cosh
c
x
d
x
=
1
c
x
sinh
c
x
−
1
c
2
cosh
c
x
{\displaystyle \int x\cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}x\sinh cx-{\frac {1}{c^{2}}}\cosh cx}
∫
tanh
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
cosh
c
x
|
{\displaystyle \int \tanh cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\cosh cx|}
∫
coth
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
sinh
c
x
|
{\displaystyle \int \coth cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\sinh cx|}
∫
tanh
n
c
x
d
x
=
−
1
c
(
n
−
1
)
tanh
n
−
1
c
x
+
∫
tanh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \tanh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\tanh ^{n-1}cx+\int \tanh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
coth
n
c
x
d
x
=
−
1
c
(
n
−
1
)
coth
n
−
1
c
x
+
∫
coth
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \coth ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\coth ^{n-1}cx+\int \coth ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sinh
b
x
sinh
c
x
d
x
=
1
b
2
−
c
2
(
b
sinh
c
x
cosh
b
x
−
c
cosh
c
x
sinh
b
x
)
(
b
2
≠
c
2
)
{\displaystyle \int \sinh bx\sinh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh cx\cosh bx-c\cosh cx\sinh bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}}
∫
cosh
b
x
cosh
c
x
d
x
=
1
b
2
−
c
2
(
b
sinh
b
x
cosh
c
x
−
c
sinh
c
x
cosh
b
x
)
(
b
2
≠
c
2
)
{\displaystyle \int \cosh bx\cosh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh bx\cosh cx-c\sinh cx\cosh bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}}
∫
cosh
b
x
sinh
c
x
d
x
=
1
b
2
−
c
2
(
b
sinh
b
x
sinh
c
x
−
c
cosh
b
x
cosh
c
x
)
(
b
2
≠
c
2
)
{\displaystyle \int \cosh bx\sinh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh bx\sinh cx-c\cosh bx\cosh cx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}}
∫
sinh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
−
c
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)}
∫
sinh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
+
c
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)}
∫
cosh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
−
c
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)}
∫
cosh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
+
c
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)}
Tích Phân Hàm Số Hyperboly Ngược[ sửa ]
Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm hypebolic ngược .
∫
a
r
s
i
n
h
x
c
d
x
=
x
a
r
s
i
n
h
x
c
−
x
2
+
c
2
{\displaystyle \int \mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}
∫
a
r
c
o
s
h
x
c
d
x
=
x
a
r
c
o
s
h
x
c
−
x
2
−
c
2
{\displaystyle \int \mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}-c^{2}}}}
∫
a
r
t
a
n
h
x
c
d
x
=
x
a
r
t
a
n
h
x
c
+
c
2
ln
|
c
2
−
x
2
|
(
|
x
|
<
|
c
|
)
{\displaystyle \int \mathrm {artanh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {artanh} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |c^{2}-x^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|<|c|{\mbox{)}}}
∫
a
r
c
o
t
h
x
c
d
x
=
x
a
r
c
o
t
h
x
c
+
c
2
ln
|
x
2
−
c
2
|
(
|
x
|
>
|
c
|
)
{\displaystyle \int \mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |x^{2}-c^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|>|c|{\mbox{)}}}
∫
a
r
s
e
c
h
x
c
d
x
=
x
a
r
s
e
c
h
x
c
−
c
a
r
c
t
a
n
x
c
−
x
c
+
x
x
−
c
(
x
∈
(
0
,
c
)
)
{\displaystyle \int \mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}-c\,\mathrm {arctan} \,{\frac {x\,{\sqrt {\frac {c-x}{c+x}}}}{x-c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}}
∫
a
r
c
s
c
h
x
c
d
x
=
x
a
r
c
s
c
h
x
c
+
c
ln
x
+
x
2
+
c
2
c
(
x
∈
(
0
,
c
)
)
{\displaystyle \int \mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}+c\,\ln \,{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}{c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}}
Tích phân hàm số Logarit[ sửa ]
Dưới đây là danh sách tích phân với hàm lôgarít .
Chú ý: bài này quy ước x >0.
∫
ln
c
x
d
x
=
x
ln
c
x
−
x
{\displaystyle \int \ln cx\,dx=x\ln cx-x}
∫
(
ln
x
)
2
d
x
=
x
(
ln
x
)
2
−
2
x
ln
x
+
2
x
{\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}
∫
(
ln
c
x
)
n
d
x
=
x
(
ln
c
x
)
n
−
n
∫
(
ln
c
x
)
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int (\ln cx)^{n}\;dx=x(\ln cx)^{n}-n\int (\ln cx)^{n-1}dx}
∫
d
x
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
+
ln
x
+
∑
i
=
2
∞
(
ln
x
)
i
i
⋅
i
!
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫
d
x
(
ln
x
)
n
=
−
x
(
n
−
1
)
(
ln
x
)
n
−
1
+
1
n
−
1
∫
d
x
(
ln
x
)
n
−
1
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
m
ln
x
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
x
m
+
1
−
1
(
m
+
1
)
2
)
(
m
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫
x
m
(
ln
x
)
n
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
x
)
n
m
+
1
−
n
m
+
1
∫
x
m
(
ln
x
)
n
−
1
d
x
(
m
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫
(
ln
x
)
n
d
x
x
=
(
ln
x
)
n
+
1
n
+
1
(
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
ln
x
d
x
x
m
=
−
ln
x
(
m
−
1
)
x
m
−
1
−
1
(
m
−
1
)
2
x
m
−
1
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫
(
ln
x
)
n
d
x
x
m
=
−
(
ln
x
)
n
(
m
−
1
)
x
m
−
1
+
n
m
−
1
∫
(
ln
x
)
n
−
1
d
x
x
m
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
m
d
x
(
ln
x
)
n
=
−
x
m
+
1
(
n
−
1
)
(
ln
x
)
n
−
1
+
m
+
1
n
−
1
∫
x
m
d
x
(
ln
x
)
n
−
1
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
d
x
x
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|}
∫
d
x
x
n
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
+
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
(
n
−
1
)
i
(
ln
x
)
i
i
⋅
i
!
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫
d
x
x
(
ln
x
)
n
=
−
1
(
n
−
1
)
(
ln
x
)
n
−
1
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin
(
ln
x
)
d
x
=
x
2
(
sin
(
ln
x
)
−
cos
(
ln
x
)
)
{\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}
∫
cos
(
ln
x
)
d
x
=
x
2
(
sin
(
ln
x
)
+
cos
(
ln
x
)
)
{\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}
Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm mũ .
∫
e
c
x
d
x
=
1
c
e
c
x
{\displaystyle \int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}}
∫
a
c
x
d
x
=
1
c
ln
a
a
c
x
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
{\displaystyle \int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx}\qquad {\mbox{( }}a>0,{\mbox{ }}a\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
e
c
x
d
x
=
e
c
x
c
2
(
c
x
−
1
)
{\displaystyle \int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
∫
x
2
e
c
x
d
x
=
e
c
x
(
x
2
c
−
2
x
c
2
+
2
c
3
)
{\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
∫
x
n
e
c
x
d
x
=
1
c
x
n
e
c
x
−
n
c
∫
x
n
−
1
e
c
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx}
∫
e
c
x
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
∑
i
=
1
∞
(
c
x
)
i
i
⋅
i
!
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫
e
c
x
d
x
x
n
=
1
n
−
1
(
−
e
c
x
x
n
−
1
+
c
∫
e
c
x
x
n
−
1
d
x
)
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,dx\right)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
e
c
x
ln
x
d
x
=
1
c
e
c
x
ln
|
x
|
−
Ei
(
c
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)}
∫
e
c
x
sin
b
x
d
x
=
e
c
x
c
2
+
b
2
(
c
sin
b
x
−
b
cos
b
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
∫
e
c
x
cos
b
x
d
x
=
e
c
x
c
2
+
b
2
(
c
cos
b
x
+
b
sin
b
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
∫
e
c
x
sin
n
x
d
x
=
e
c
x
sin
n
−
1
x
c
2
+
n
2
(
c
sin
x
−
n
cos
x
)
+
n
(
n
−
1
)
c
2
+
n
2
∫
e
c
x
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx}
∫
e
c
x
cos
n
x
d
x
=
e
c
x
cos
n
−
1
x
c
2
+
n
2
(
c
cos
x
+
n
sin
x
)
+
n
(
n
−
1
)
c
2
+
n
2
∫
e
c
x
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx}
∫
x
e
c
x
2
d
x
=
1
2
c
e
c
x
2
{\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
∫
1
σ
2
π
e
−
(
x
−
μ
)
2
/
2
σ
2
d
x
=
1
2
σ
(
1
+
erf
x
−
μ
σ
2
)
{\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2\sigma }}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}})}
∫
e
x
2
d
x
=
e
x
2
(
∑
j
=
0
n
−
1
c
2
j
1
x
2
j
+
1
)
+
(
2
n
−
1
)
c
2
n
−
2
∫
e
x
2
x
2
n
d
x
(
n
>
0
)
,
{\displaystyle \int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;dx\quad (n>0),}
với
c
2
j
=
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
j
−
1
)
2
j
+
1
=
2
j
!
j
!
2
2
j
+
1
.
{\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {2j\,!}{j!\,2^{2j+1}}}\ .}
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
π
a
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}}
∫
0
∞
x
2
n
e
−
x
2
/
a
2
d
x
=
π
(
2
n
)
!
n
!
(
a
2
)
2
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{(2n)! \over {n!}}{\left({\frac {a}{2}}\right)}^{2n+1}}
Tích phân hàm số lượng giác[ sửa ]
Tích phân hàm số sine
∫
sin
a
x
d
x
=
−
1
a
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!}
∫
sin
2
a
x
d
x
=
x
2
−
1
4
a
sin
2
a
x
+
C
=
x
2
−
1
2
a
sin
a
x
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫
x
sin
2
a
x
d
x
=
x
2
4
−
x
4
a
sin
2
a
x
−
1
8
a
2
cos
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫
x
2
sin
2
a
x
d
x
=
x
3
6
−
(
x
2
4
a
−
1
8
a
3
)
sin
2
a
x
−
x
4
a
2
cos
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫
sin
b
1
x
sin
b
2
x
d
x
=
sin
(
(
b
1
−
b
2
)
x
)
2
(
b
1
−
b
2
)
−
sin
(
(
b
1
+
b
2
)
x
)
2
(
b
1
+
b
2
)
+
C
(for
|
b
1
|
≠
|
b
2
|
)
{\displaystyle \int \sin b_{1}x\sin b_{2}x\;dx={\frac {\sin((b_{1}-b_{2})x)}{2(b_{1}-b_{2})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
cos
a
x
n
a
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
sin
a
x
=
1
a
ln
|
tan
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
d
x
sin
n
a
x
=
cos
a
x
a
(
1
−
n
)
sin
n
−
1
a
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
sin
n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
sin
a
x
d
x
=
sin
a
x
a
2
−
x
cos
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int x\sin ax\;dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!}
∫
x
n
sin
a
x
d
x
=
−
x
n
a
cos
a
x
+
n
a
∫
x
n
−
1
cos
a
x
d
x
(for
n
>
0
)
{\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
−
a
2
a
2
x
2
sin
2
n
π
x
a
d
x
=
a
3
(
n
2
π
2
−
6
)
24
n
2
π
2
(for
n
=
2
,
4
,
6...
)
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
x
d
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
a
x
)
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
!
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!}
∫
sin
a
x
x
n
d
x
=
−
sin
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
a
n
−
1
∫
cos
a
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}dx\,\!}
∫
d
x
1
±
sin
a
x
=
1
a
tan
(
a
x
2
∓
π
4
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫
x
d
x
1
+
sin
a
x
=
x
a
tan
(
a
x
2
−
π
4
)
+
2
a
2
ln
|
cos
(
a
x
2
−
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
x
d
x
1
−
sin
a
x
=
x
a
cot
(
π
4
−
a
x
2
)
+
2
a
2
ln
|
sin
(
π
4
−
a
x
2
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
1
±
sin
a
x
=
±
x
+
1
a
tan
(
π
4
∓
a
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}
∫
cos
a
x
d
x
=
1
a
sin
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\;dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!}
∫
cos
n
a
x
d
x
=
cos
n
−
1
a
x
sin
a
x
n
a
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \cos ^{n}ax\;dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
cos
a
x
d
x
=
cos
a
x
a
2
+
x
sin
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int x\cos ax\;dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!}
∫
cos
2
a
x
d
x
=
x
2
+
1
4
a
sin
2
a
x
+
C
=
x
2
+
1
2
a
sin
a
x
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫
x
2
cos
2
a
x
d
x
=
x
3
6
+
(
x
2
4
a
−
1
8
a
3
)
sin
2
a
x
+
x
4
a
2
cos
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫
x
n
cos
a
x
d
x
=
x
n
sin
a
x
a
−
n
a
∫
x
n
−
1
sin
a
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}\cos ax\;dx={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,\!}
∫
cos
a
x
x
d
x
=
ln
|
a
x
|
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
(
a
x
)
2
k
2
k
⋅
(
2
k
)
!
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!}
∫
cos
a
x
x
n
d
x
=
−
cos
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
n
−
1
∫
sin
a
x
x
n
−
1
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
cos
a
x
=
1
a
ln
|
tan
(
a
x
2
+
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
d
x
cos
n
a
x
=
sin
a
x
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
cos
n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
1
+
cos
a
x
=
1
a
tan
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
d
x
1
−
cos
a
x
=
−
1
a
cot
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
x
d
x
1
+
cos
a
x
=
x
a
tan
a
x
2
+
2
a
2
ln
|
cos
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
x
d
x
1
−
cos
a
x
=
−
x
a
cot
a
x
2
+
2
a
2
ln
|
sin
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
1
+
cos
a
x
=
x
−
1
a
tan
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
cos
a
x
d
x
1
−
cos
a
x
=
−
x
−
1
a
cot
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
cos
a
1
x
cos
a
2
x
d
x
=
sin
(
a
1
−
a
2
)
x
2
(
a
1
−
a
2
)
+
sin
(
a
1
+
a
2
)
x
2
(
a
1
+
a
2
)
+
C
(for
|
a
1
|
≠
|
a
2
|
)
{\displaystyle \int \cos a_{1}x\cos a_{2}x\;dx={\frac {\sin(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+{\frac {\sin(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫
tan
a
x
d
x
=
−
1
a
ln
|
cos
a
x
|
+
C
=
1
a
ln
|
sec
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!}
∫
tan
n
a
x
d
x
=
1
a
(
n
−
1
)
tan
n
−
1
a
x
−
∫
tan
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
q
tan
a
x
+
p
=
1
p
2
+
q
2
(
p
x
+
q
a
ln
|
q
sin
a
x
+
p
cos
a
x
|
)
+
C
(for
p
2
+
q
2
≠
0
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
tan
a
x
=
1
a
ln
|
sin
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax}}={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}
∫
d
x
tan
a
x
+
1
=
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫
d
x
tan
a
x
−
1
=
−
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
+
1
=
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
−
1
=
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
∫
sec
a
x
d
x
=
1
a
ln
|
sec
a
x
+
tan
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C}
∫
sec
n
a
x
d
x
=
sec
n
−
1
a
x
sin
a
x
a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1
∫
sec
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{ax}\sin {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sec
n
x
d
x
=
sec
n
−
2
x
tan
x
n
−
1
+
n
−
2
n
−
1
∫
sec
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sec ^{n}{x}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{x}\tan {x}}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{x}\,dx}
∫
d
x
sec
x
+
1
=
x
−
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}
∫
csc
a
x
d
x
=
1
a
ln
|
csc
a
x
−
cot
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C}
∫
csc
n
a
x
d
x
=
−
csc
n
−
1
a
x
cos
a
x
a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1
∫
csc
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-1}{ax}\cos {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cot
a
x
d
x
=
1
a
ln
|
sin
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot ax\;dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}
∫
cot
n
a
x
d
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
cot
n
−
1
a
x
−
∫
cot
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \cot ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
1
+
cot
a
x
=
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
+
1
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}\,\!}
∫
d
x
1
−
cot
a
x
=
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
−
1
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}\,\!}
∫
d
x
cos
a
x
±
sin
a
x
=
1
a
2
ln
|
tan
(
a
x
2
±
π
8
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}
∫
d
x
(
cos
a
x
±
sin
a
x
)
2
=
1
2
a
tan
(
a
x
∓
π
4
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫
d
x
(
cos
x
+
sin
x
)
n
=
1
n
−
1
(
sin
x
−
cos
x
(
cos
x
+
sin
x
)
n
−
1
−
2
(
n
−
2
)
∫
d
x
(
cos
x
+
sin
x
)
n
−
2
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}
∫
cos
a
x
d
x
cos
a
x
+
sin
a
x
=
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
cos
a
x
−
sin
a
x
=
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
+
sin
a
x
=
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
−
sin
a
x
=
−
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
sin
a
x
(
1
+
cos
a
x
)
=
−
1
4
a
tan
2
a
x
2
+
1
2
a
ln
|
tan
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
sin
a
x
(
1
+
−
cos
a
x
)
=
−
1
4
a
cot
2
a
x
2
−
1
2
a
ln
|
tan
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
(
1
+
sin
a
x
)
=
1
4
a
cot
2
(
a
x
2
+
π
4
)
+
1
2
a
ln
|
tan
(
a
x
2
+
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
(
1
−
sin
a
x
)
=
1
4
a
tan
2
(
a
x
2
+
π
4
)
−
1
2
a
ln
|
tan
(
a
x
2
+
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
sin
a
x
cos
a
x
d
x
=
1
2
a
sin
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\cos ax\;dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C\,\!}
∫
sin
a
1
x
cos
a
2
x
d
x
=
−
cos
(
a
1
+
a
2
)
x
2
(
a
1
+
a
2
)
−
cos
(
a
1
−
a
2
)
x
2
(
a
1
−
a
2
)
+
C
(for
|
a
1
|
≠
|
a
2
|
)
{\displaystyle \int \sin a_{1}x\cos a_{2}x\;dx=-{\frac {\cos(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}-{\frac {\cos(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
cos
a
x
d
x
=
1
a
(
n
+
1
)
sin
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ax\;dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
cos
n
a
x
d
x
=
−
1
a
(
n
+
1
)
cos
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \sin ax\cos ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
cos
m
a
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
cos
m
+
1
a
x
a
(
n
+
m
)
+
n
−
1
n
+
m
∫
sin
n
−
2
a
x
cos
m
a
x
d
x
(for
m
,
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ^{m+1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}ax\cos ^{m}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
sin
n
a
x
cos
m
a
x
d
x
=
sin
n
+
1
a
x
cos
m
−
1
a
x
a
(
n
+
m
)
+
m
−
1
n
+
m
∫
sin
n
a
x
cos
m
−
2
a
x
d
x
(for
m
,
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx={\frac {\sin ^{n+1}ax\cos ^{m-1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}ax\cos ^{m-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
sin
a
x
cos
a
x
=
1
a
ln
|
tan
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}
∫
d
x
sin
a
x
cos
n
a
x
=
1
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
+
∫
d
x
sin
a
x
cos
n
−
2
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
sin
n
a
x
cos
a
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
sin
n
−
1
a
x
+
∫
d
x
sin
n
−
2
a
x
cos
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax\cos ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
d
x
cos
n
a
x
=
1
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
2
a
x
d
x
cos
a
x
=
−
1
a
sin
a
x
+
1
a
ln
|
tan
(
π
4
+
a
x
2
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫
sin
2
a
x
d
x
cos
n
a
x
=
sin
a
x
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
−
1
n
−
1
∫
d
x
cos
n
−
2
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
a
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
a
(
n
−
1
)
+
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
cos
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
a
x
=
sin
n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
)
cos
m
−
1
a
x
−
n
−
m
+
2
m
−
1
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
a
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
)
cos
m
−
1
a
x
+
n
−
1
n
−
m
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
cos
m
a
x
(for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
a
x
=
sin
n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
)
cos
m
−
1
a
x
−
n
−
1
m
−
1
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
cos
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cos
a
x
d
x
sin
n
a
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
sin
n
−
1
a
x
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cos
2
a
x
d
x
sin
a
x
=
1
a
(
cos
a
x
+
ln
|
tan
a
x
2
|
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}
∫
cos
2
a
x
d
x
sin
n
a
x
=
−
1
n
−
1
(
cos
a
x
a
sin
n
−
1
a
x
)
+
∫
d
x
sin
n
−
2
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax)}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
a
x
=
−
cos
n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
)
sin
m
−
1
a
x
−
n
−
m
−
2
m
−
1
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m-2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
a
x
=
cos
n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
)
sin
m
−
1
a
x
+
n
−
1
n
−
m
∫
cos
n
−
2
a
x
d
x
sin
m
a
x
(for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}={\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
a
x
=
−
cos
n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
)
sin
m
−
1
a
x
−
n
−
1
m
−
1
∫
cos
n
−
2
a
x
d
x
sin
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
tan
a
x
d
x
=
1
a
(
ln
|
sec
a
x
+
tan
a
x
|
−
sin
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\tan ax\;dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C\,\!}
∫
tan
n
a
x
d
x
sin
2
a
x
=
1
a
(
n
−
1
)
tan
n
−
1
(
a
x
)
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
tan
n
a
x
d
x
cos
2
a
x
=
1
a
(
n
+
1
)
tan
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cot
n
a
x
d
x
sin
2
a
x
=
1
a
(
n
+
1
)
cot
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cot
n
a
x
d
x
cos
2
a
x
=
1
a
(
1
−
n
)
tan
1
−
n
a
x
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
−
c
c
sin
x
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\;dx=0\!}
∫
−
c
c
cos
x
d
x
=
2
∫
0
c
cos
x
d
x
=
2
∫
−
c
0
cos
x
d
x
=
2
sin
c
{\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\;dx=2\sin {c}\!}
∫
−
c
c
tan
x
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\;dx=0\!}
∫
−
a
2
a
2
x
2
cos
2
n
π
x
a
d
x
=
a
3
(
n
2
π
2
−
6
)
24
n
2
π
2
(for
n
=
1
,
3
,
5...
)
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!}
Tích phân hàm lượng giác ngược[ sửa ]
Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm lượng giác ngược .
∫
arcsin
x
c
d
x
=
x
arcsin
x
c
+
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{c}}\,dx=x\arcsin {\frac {x}{c}}+{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
arcsin
x
c
d
x
=
(
x
2
2
−
c
2
4
)
arcsin
x
c
+
x
4
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{c}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{c}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
2
arcsin
x
c
d
x
=
x
3
3
arcsin
x
c
+
x
2
+
2
c
2
9
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{c}}+{\frac {x^{2}+2c^{2}}{9}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
n
sin
−
1
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
sin
−
1
x
{\displaystyle \int x^{n}\sin ^{-1}x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\sin ^{-1}x\right.}
+
x
n
1
−
x
2
−
n
x
n
−
1
sin
−
1
x
n
−
1
+
n
∫
x
n
−
2
sin
−
1
x
d
x
)
{\displaystyle \left.+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\sin ^{-1}x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\sin ^{-1}x\,dx\right)}
∫
arccos
x
c
d
x
=
x
arccos
x
c
−
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{c}}\,dx=x\arccos {\frac {x}{c}}-{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
arccos
x
c
d
x
=
(
x
2
2
−
c
2
4
)
arccos
x
c
−
x
4
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{c}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{c}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
2
arccos
x
c
d
x
=
x
3
3
arccos
x
c
−
x
2
+
2
c
2
9
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{c}}-{\frac {x^{2}+2c^{2}}{9}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
arctan
x
c
d
x
=
x
arctan
x
c
−
c
2
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int \arctan {\frac {x}{c}}\,dx=x\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
arctan
x
c
d
x
=
c
2
+
x
2
2
arctan
x
c
−
c
x
2
{\displaystyle \int x\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {cx}{2}}}
∫
x
2
arctan
x
c
d
x
=
x
3
3
arctan
x
c
−
c
x
2
6
+
c
3
6
ln
c
2
+
x
2
{\displaystyle \int x^{2}\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {cx^{2}}{6}}+{\frac {c^{3}}{6}}\ln {c^{2}+x^{2}}}
∫
x
n
arctan
x
c
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arctan
x
c
−
c
n
+
1
∫
x
n
+
1
d
x
c
2
+
x
2
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int x^{n}\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}dx}{c^{2}+x^{2}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
arcsec
x
c
d
x
=
x
arcsec
x
c
+
x
c
|
x
|
ln
|
x
±
x
2
−
1
|
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{c}}\,dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{c}}+{\frac {x}{c|x|}}\ln {|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}|}}
∫
x
arcsec
x
d
x
=
1
2
(
x
2
arcsec
x
−
x
2
−
1
)
{\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} {x}\,dx\,=\,{\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} {x}-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
∫
x
n
arcsec
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
arcsec
x
−
1
n
(
x
n
−
1
x
2
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} {x}\,dx\,=\,{\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} {x}-{\frac {1}{n}}\left(x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}\;\right.\right.}
+
(
1
−
n
)
(
x
n
−
1
arcsec
x
+
(
1
−
n
)
∫
x
n
−
2
arcsec
x
d
x
)
)
)
{\displaystyle \left.\left.+(1-n)\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} {x}+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} {x}\,dx\right)\right)\right)}
∫
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
x
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
2
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int \mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
c
2
+
x
2
2
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
x
2
{\displaystyle \int x\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {cx}{2}}}
∫
x
2
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
x
3
3
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
x
2
6
−
c
3
6
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int x^{2}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {cx^{2}}{6}}-{\frac {c^{3}}{6}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
n
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
n
+
1
∫
x
n
+
1
d
x
c
2
+
x
2
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int x^{n}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}dx}{c^{2}+x^{2}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
Hoán chuyển tích phân[ sửa ]
Phép toán giải tích của một tích phân xác định dùng trong việc Hoán chuyển hệ tóan bao gồm 2 lọai hóan chuyển Hoán chuyển Laplace và Hoán chuyển Fourier
Hoán chuyển Laplace là phép toán tích phân dùng trong việc hoán chuyển hệ thời gian t sang hệ Laplace s dùng công thức sau
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}
Hàm số hệ thời gian
Hàm số tương dương hệ số Laplace
f
(
t
)
−
−
>
F
(
s
)
{\displaystyle f(t)-->F(s)}
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}
d
n
d
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}
s
n
f
(
t
)
{\displaystyle s^{n}f(t)}
∫
n
f
(
t
)
d
t
n
{\displaystyle \int ^{n}f(t)dt^{n}}
−
s
n
f
(
t
)
{\displaystyle -s^{n}f(t)}
Công cụ điện
Hàm số hệ thời gian
Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện
v
C
=
1
C
∫
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt}
−
1
C
s
i
(
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{C}}si(t)}
Dòng điện tụ điện
i
C
=
C
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)}
s
C
v
(
t
)
{\displaystyle sCv(t)}
Điện thế cuộn từ
v
L
=
L
d
d
t
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt}
s
L
i
(
t
)
{\displaystyle sLi(t)}
Dòng điện cuộn từ
i
L
=
1
L
∫
v
(
t
)
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)}
−
1
L
s
v
(
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{L}}sv(t)}
Biến đổi Laplace ngược[ sửa ]
Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s)
L
−
1
{
F
(
s
)
}
=
f
(
t
)
=
1
2
π
i
∫
γ
−
i
∞
γ
+
i
∞
e
s
t
F
(
s
)
d
s
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds}
Phép biến đổi Fourier là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) , được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0 , là hàm số F(jω) , Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d