Các phép toán thực thi trên hàm số f(x)
Thay đổi biến số [ sửa ] Thay đổi biến số là một phép toán giải tích tìm thay đổi của biến số của một hàm số .
Ký hiệu [ sửa ] Thay đổi biến số x có ký hiệu
Δ
{\displaystyle \Delta }
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Thay đổi biến số x có ký hiệu
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Thay đổi biến số y có ký hiệu
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)}
Phép toán [ sửa ]
Phép toán thay đổi biến số Ký hiệu Giá trị
Tthay đổi biến số x
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
x
=
x
−
x
o
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-x=x-x_{o}}
Thay đổi biến số y
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)}
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
=
y
−
y
o
{\displaystyle \Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=y-y_{o}}
Thí dụ [ sửa ] Với đường thẳng nghiêng nối liền 2 điểm bất kỳ (1,2) , (3,4), ta co
Thay đổi biến số x
Δ
x
=
x
−
x
o
=
3
−
1
=
2
{\displaystyle \Delta x=x-x_{o}=3-1=2}
Thay đổi biến số xy
Δ
f
(
x
)
=
y
−
y
o
=
4
−
2
=
2
{\displaystyle \Delta f(x)=y-y_{o}=4-2=2}
Tỉ lệ thay đổi biến số [ sửa ] Tỉ lệ thay đổi biến số là một phép toán giải tích cho biết tỉ lệ của thay đổi biến số của một hàm số y=f(x) .
Ký hiệu [ sửa ] Tỉ lệ thay đổi biến số có ký hiệu
Δ
y
Δ
x
=
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
a
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=a}
Phép toán [ sửa ] Với mọi hàm số
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
Thay đổi biến số x
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
x
=
x
−
x
o
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-x=x-x_{o}}
Thay đổi biến số y
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
=
y
−
y
o
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=y-y_{o}}
Tỉ lệ thay đổi biến số
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
=
Y
X
=
Δ
y
Δ
x
=
y
−
y
o
x
−
x
o
=
a
{\displaystyle {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}={\frac {Y}{X}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}=a}
Thí dụ [ sửa ] Tìm độ dóc đường thẳng nghiêng qua 2 điểm
(
0
,
1
)
,
(
2
,
3
)
{\displaystyle (0,1),(2,3)}
a
=
Δ
y
Δ
x
=
3
−
1
2
−
0
=
2
2
=
1
{\displaystyle a={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {3-1}{2-0}}={\frac {2}{2}}=1}
Giới hạn [ sửa ] Phép toán giải tích tìm giá trị của một hàm số khi biến số của hàm số tiến tới một trị số .
Ký hiệu [ sửa ] Ký hiệu toán limit
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f(x)}
Phép toán Limit được thực hiện như sau
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f(x)=L}
Luật toán giải tích Limit [ sửa ]
lim
n
→
∞
(
x
n
+
y
n
)
=
lim
n
→
∞
(
x
n
)
+
lim
n
→
∞
(
y
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})+\lim _{n\to \infty }(y_{n})}
lim
n
→
∞
(
x
n
−
y
n
)
=
lim
n
→
∞
(
x
n
)
−
lim
n
→
∞
(
y
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}-y_{n})=\lim _{n\to \infty }(x_{n})-\lim _{n\to \infty }(y_{n})}
lim
n
→
∞
(
x
n
y
n
)
=
(
lim
n
→
∞
x
n
)
(
lim
n
→
∞
y
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(x_{n}y_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }y_{n}\right)}
lim
n
→
∞
(
a
x
n
)
=
a
lim
n
→
∞
(
x
n
)
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(ax_{n})=a\lim _{n\to \infty }(x_{n})}
lim
n
→
∞
(
x
n
y
n
)
=
lim
n
→
∞
x
n
lim
n
→
∞
y
n
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)={\frac {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}}}}
y n n in N and lim y_n ≠ 0).Thí dụ [ sửa ]
lim
x
→
0
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}x=0}
lim
x
→
0
1
x
=
00
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}=00}
lim
x
→
00
x
=
00
{\displaystyle \lim _{x\to 00}x=00}
lim
x
→
00
1
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 00}{\frac {1}{x}}=0}
Đạo hàm [ sửa ] Đạo Hàm là một phép toán giải tích dùng trong việc tìm tổng biến đổi hàm số toán f(x) trên các khoảng thời gian ∆x = x - xo càng nhỏ gần như không. Một định nghỉa khác là phép toán tìm độ dóc của một hình có hàm số toán f(x)
Ký hiệu [ sửa ] Phép toán đạo hàm của hàm số có các dạng ký hiệu sau
Ký hiệu Chuẩn
d
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}
. Ký hiệu Leibitz
f
′
(
x
)
{\displaystyle f^{'}(x)}
Phép toán [ sửa ] Với mọi hàm số f(x), đạo hàm của hàm số được tính theo công thức bên dưới
d
d
x
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
Với
Thay đổi biến số y
Δ
y
=
Δ
f
(
x
)
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}
Thay đổi biến số x
Δ
x
=
(
x
+
Δ
x
)
−
(
x
)
{\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-(x)}
Biến số hàm số
Δ
y
Δ
x
=
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
(
x
+
Δ
x
)
−
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-(x)}}}
Tổng biến số hàm số
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
Giới hạn tổng biến số hàm số
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
Đạo hàm hàm số
d
d
x
f
(
x
)
=
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
∑
Δ
f
(
x
)
Δ
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}}
Thí dụ [ sửa ] Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của vận tốc theo thời gian v(t) . Gia tốc chuyển động được tính như ở bên dưới
a
(
t
)
=
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)}
v
=
v
(
t
)
{\displaystyle v=v(t)}
a
=
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}v(t)}
v
=
v
{\displaystyle v=v}
a
=
d
d
t
v
=
0
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}v=0}
v
=
t
{\displaystyle v=t}
a
=
d
d
t
t
=
1
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}t=1}
v
=
a
t
{\displaystyle v=at}
a
=
d
d
t
a
t
=
a
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}at=a}
v
=
a
t
+
v
o
{\displaystyle v=at+v_{o}}
a
=
d
d
t
(
a
t
+
v
o
)
=
a
{\displaystyle a={\frac {d}{dt}}(at+v_{o})=a}
Trong chuyển động biểu diểu bằng hàm số của đường dài theo thời gian s(t) . Vận tốc chuyển động được tính như ở bên dưới
v
(
t
)
=
d
d
t
s
(
t
)
{\displaystyle v(t)={\frac {d}{dt}}s(t)}
a
(
t
)
=
d
d
t
v
(
t
)
=
d
d
t
d
d
t
s
(
t
)
=
d
2
d
t
2
s
(
t
)
{\displaystyle a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)}
Công thức toán đạo hàm [ sửa ]
Hàm số , f(x) Đạo hàm hàm số f' (x) Giá trị
Đạo hàm hằng số
d
d
x
c
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}c}
0
{\displaystyle 0}
Đạo hàm tích hằng số với biến số
d
d
x
c
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}cx}
c
{\displaystyle c}
Đạo hàm lũy thừa x
d
d
x
c
x
n
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}cx^{n}}
c
n
x
n
−
1
{\displaystyle cnx^{n-1}}
Đạo hàm lũy thừa x
d
d
x
x
n
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}}
n
x
n
−
1
{\displaystyle nx^{n-1}}
Đạo hàm lũy thừa e
d
d
x
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}}
d
d
x
e
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}}
Đạo hàm lũy thừa n
d
d
x
n
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}n^{x}}
d
d
x
n
x
L
n
n
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}n^{x}Lnn}
Đạo hàm Ln
d
d
x
L
n
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}Lnx}
d
d
x
1
x
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{x}}}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle -\sin x}
sin
x
{\displaystyle \sin x}
cos
x
{\displaystyle \cos x}
tan
x
{\displaystyle \tan x}
sec
2
x
{\displaystyle \sec ^{2}x}
cot
x
{\displaystyle \cot x}
−
csc
2
x
{\displaystyle -\csc ^{2}x}
sec
x
{\displaystyle \sec x}
sec
x
tan
x
{\displaystyle \sec x\tan x}
csc
x
{\displaystyle \csc x}
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle -\csc x\cot x}
cos
−
1
x
{\displaystyle \cos ^{-1}x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
sin
−
1
x
{\displaystyle \sin ^{-1}x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
tan
−
1
x
{\displaystyle \tan ^{-1}x}
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}}
cot
−
1
x
{\displaystyle \cot ^{-1}x}
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
sec
−
1
x
{\displaystyle \sec ^{-1}x}
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
csc
−
1
x
{\displaystyle \csc ^{-1}x}
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle -{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
cosh
x
=
e
x
+
e
−
x
2
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
sinh
x
=
e
x
−
e
−
x
2
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
tanh
x
{\displaystyle \tanh x}
sech
2
x
{\displaystyle {\operatorname {sech} ^{2}\,x}}
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x}
−
tanh
x
sech
x
{\displaystyle -\tanh x\,\operatorname {sech} \,x}
csch
x
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x}
−
coth
x
csch
x
{\displaystyle -\,\operatorname {coth} \,x\,\operatorname {csch} \,x}
coth
x
{\displaystyle \operatorname {coth} \,x}
−
csch
2
x
{\displaystyle -\,\operatorname {csch} ^{2}\,x}
arsinh
x
{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x}
1
x
2
+
1
{\displaystyle {1 \over {\sqrt {x^{2}+1}}}}
arcosh
x
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x}
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
artanh
x
{\displaystyle \operatorname {artanh} \,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {1 \over 1-x^{2}}}
arsech
x
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,x}
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle -{1 \over x{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arcsch
x
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x}
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle -{1 \over |x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}
arcoth
x
{\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x}
1
1
−
x
2
{\displaystyle {1 \over 1-x^{2}}}
Quy luật toán đạo hàm [ sửa ]
Quy luật toán đạo ham Công thức
Đạo hàm tổng 2 hàm số
(
f
+
g
)
′
=
f
′
+
g
′
{\displaystyle (f+g)^{'}=f^{'}+g^{'}}
d
d
x
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
=
d
d
x
f
(
x
)
+
d
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)}
Đạo hàm hiệu 2 hàm số
(
f
−
g
)
′
=
f
′
−
g
′
{\displaystyle (f-g)^{'}=f^{'}-g^{'}}
d
d
x
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
=
d
d
x
f
(
x
)
−
d
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)}
Đạo hàm tích 2 hàm số
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
.
{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'.\,}
d
d
x
[
f
(
x
)
×
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
d
d
x
f
(
x
)
+
f
(
x
)
d
d
x
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}
Đạo hàm thương 2 hàm số
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
g
′
f
g
2
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}}\quad }
d
d
x
[
f
(
x
)
/
g
(
x
)
]
=
g
(
x
)
d
d
x
f
(
x
)
+
f
(
x
)
d
d
x
g
(
x
)
g
(
x
)
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}}
Đạo hàm hàm số lủy thừa hàm số
(
f
g
)
′
=
(
e
g
ln
f
)
′
=
f
g
(
f
′
g
f
+
g
′
ln
f
)
,
{\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }
Đạo hàm Ln
(
ln
f
)
′
=
f
′
f
{\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad }
d
d
x
L
n
f
(
x
)
=
d
d
x
L
n
f
(
x
)
L
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}Lnf(x)={\frac {{\frac {d}{dx}}Lnf(x)}{Lnf(x)}}}
Đạo hàm hàm số phức
(
f
∘
g
)
′
=
(
f
′
∘
g
)
g
′
.
{\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'.\,}
Đạo hàm hàm số nghịch
(
1
f
)
′
=
−
f
′
f
2
.
{\displaystyle ({\frac {1}{f}})^{'}=-{\frac {f'}{f^{2}}}.\,}
d
d
x
1
f
(
x
)
=
−
1
f
(
x
)
2
d
d
x
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{f(x)}}=-{\frac {1}{f(x)^{2}}}{\frac {d}{dx}}f(x)}
Đạo hàm hàm số ngược
g
′
=
1
f
′
∘
f
−
1
.
{\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}.\,}
Đạo hàm hàm số kép
d
f
d
x
=
d
f
d
g
⋅
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {df}{dg}}\cdot {\frac {dg}{dx}}}
d
x
f
(
g
(
x
)
)
=
d
f
(
x
)
d
g
(
x
)
d
g
(
x
)
d
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{x}}f(g(x))={\frac {df(x)}{dg(x)}}{\frac {dg(x)}{d(x)}}}
Hoán chuyển đạo hàm [ sửa ] Phép toán [ sửa ] Hoán chuyển đạo hàm được thực hiện như sau
Hoán chuyển Ký hiệu Hoán chuyển Laplace Hoán chuyển Fourier
Toán Đạo hàm
d
n
d
x
n
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}
s
n
{\displaystyle s^{n}}
j
ω
n
{\displaystyle j\omega ^{n}}
Toán Đạo hàm hàm số
d
n
d
x
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}
s
n
f
(
x
)
{\displaystyle s^{n}f(x)}
j
ω
n
f
(
x
)
{\displaystyle j\omega ^{n}f(x)}
Giải phương trình đạo hàm [ sửa ] Phương trình đạo hàm bậc nhứt - Phương trình phân hủy Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát
a
d
d
x
f
(
x
)
+
b
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0}
Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có
s
f
(
x
)
+
b
a
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0}
s
=
−
b
a
{\displaystyle s=-{\frac {b}{a}}}
f
(
x
)
=
A
e
s
x
=
A
e
−
b
a
x
=
A
e
−
α
x
{\displaystyle f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}}
Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin không đều Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát
a
d
2
d
x
2
f
(
x
)
+
b
d
d
x
f
(
x
)
+
c
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0}
Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có
s
2
f
(
x
)
+
b
a
s
f
(
x
)
+
c
a
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0}
s
2
+
2
α
s
+
β
=
0
{\displaystyle s^{2}+2\alpha s+\beta =0}
Giải phương trình đạo hàm
s
{\displaystyle s}
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
f
(
x
)
=
A
e
s
x
{\displaystyle f(x)=Ae^{sx}}
−
α
{\displaystyle -\alpha }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
f
(
x
)
=
A
e
−
α
x
=
A
(
α
)
{\displaystyle f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )}
−
α
±
λ
{\displaystyle -\alpha \pm \lambda }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
f
(
x
)
=
A
e
(
−
α
±
λ
)
x
=
A
(
α
)
e
λ
x
+
A
(
α
)
e
−
λ
x
{\displaystyle f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}}
−
α
±
j
ω
{\displaystyle -\alpha \pm j\omega }
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
f
(
x
)
=
A
e
(
−
α
±
j
ω
)
x
=
A
(
α
)
s
i
n
ω
{\displaystyle f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega }
α
=
b
2
a
{\displaystyle \alpha ={\frac {b}{2a}}}
β
=
c
a
{\displaystyle \beta ={\frac {c}{a}}}
λ
=
α
−
β
{\displaystyle \lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}}
ω
=
β
−
α
{\displaystyle \omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}}
Phương trình đạo hàm bậc hai - Phương trình sóng sin đều Với phương trình đạo hàm có dạng tổng quát
a
d
n
d
x
n
f
(
x
)
+
b
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0}
Dùng hoán chuyển đạo hàm ta có
s
n
f
(
x
)
+
b
a
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0}
s
n
=
−
b
a
{\displaystyle s^{n}=-{\frac {b}{a}}}
Giải phương trình đạo hàm
s
=
n
−
b
a
=
±
j
n
b
a
=
±
j
ω
{\displaystyle s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega }
f
(
x
)
=
A
e
s
t
=
A
e
±
j
ω
t
=
A
s
i
n
ω
t
{\displaystyle f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t}
n
{\displaystyle n}
Tích phân [ sửa ] Tích phân là một phép toán giải tích tìm diện tích dưới hình của một hàm số toán f(x) . Có 2 loại toán tích phân
Loại tích phân Hình Công thức
Tích phân xác định
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}
Tích phân bất định
∫
f
(
x
)
d
x
=
lim
Δ
x
→
0
∑
(
f
(
x
)
+
Δ
f
(
x
)
2
)
Δ
x
=
F
(
x
)
+
C
{\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C}
Tích phân xác định [ sửa ] Tích phân xác định là phép toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền xác định
Luật toán tích phân xác định [ sửa ]
∫
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx}
∫
a
b
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
±
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\pm \int \limits _{a}^{b}g(x)dx}
∫
a
b
k
f
(
x
)
d
x
=
k
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}kf(x)dx=k\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}
∫
a
b
n
d
x
=
n
x
=
n
b
−
n
a
=
n
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}ndx=nx=nb-na=n(b-a)}
Phép toán tích phân xác định [ sửa ] Toán trung bình
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
1
b
−
a
[
F
(
b
)
−
F
(
a
)
]
{\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}
Toán căn trung bình
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
1
b
−
a
[
F
(
b
)
−
F
(
a
)
]
{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}}={\sqrt {{\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}}}
Tích phân bất định [ sửa ] Tích phân bất định là một loại toán giải tích tìm tích phân của hàm số trong một miền không xác định . Phép toán tìm diện tích dưới hình hàm số
Luật toán tích phân bất định [ sửa ]
Quy luật
Công thức
Điều kiện
1
∫
a
d
x
=
a
x
{\displaystyle \int a\,dx=ax}
2 Homogeniety
∫
a
f
(
x
)
d
x
=
a
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx}
3 Associativity
∫
(
f
±
g
±
h
±
⋯
)
d
x
=
∫
f
d
x
±
∫
g
d
x
±
∫
h
d
x
±
⋯
{\displaystyle \int {\left(f\pm g\pm h\pm \cdots \right)\,dx}=\int f\,dx\pm \int g\,dx\pm \int h\,dx\pm \cdots }
4 Integration by Parts
∫
a
b
f
g
′
d
x
=
[
f
g
]
a
b
−
∫
a
b
g
f
′
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}fg'\,dx=\left[fg\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}gf'\,dx}
4 General Integration by Parts
∫
f
(
n
)
g
d
x
=
f
(
n
−
1
)
g
′
−
f
(
n
−
2
)
g
″
+
…
+
(
−
1
)
n
∫
f
g
(
n
)
d
x
{\displaystyle \int f^{(n)}g\,dx=f^{(n-1)}g'-f^{(n-2)}g''+\ldots +(-1)^{n}\int fg^{(n)}\,dx}
5
∫
f
(
a
x
)
d
x
=
1
a
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(ax)\,dx={\frac {1}{a}}\int f(x)\,dx}
6 Substitution Rule
∫
g
{
f
(
x
)
}
d
x
=
∫
g
(
u
)
d
x
d
u
d
u
=
∫
g
(
u
)
f
′
(
x
)
d
u
{\displaystyle \int g\{f(x)\}\,dx=\int g(u){\frac {dx}{du}}\,du=\int {\frac {g(u)}{f'(x)}}\,du}
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle u=f(x)\,}
7
∫
x
n
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}}
n
≠
−
1
{\displaystyle n\neq -1\,}
8
∫
1
x
d
x
=
ln
|
x
|
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|}
9
∫
e
x
d
x
=
e
x
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}}
10
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
|
a
|
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln |a|}}}
a
≠
1
{\displaystyle a\neq 1}
Công thức toán tích phân bất định [ sửa ] Tích Phân Hàm Số Thường [ sửa ]
Integral
Value
Remarks
1
∫
c
d
x
{\displaystyle \int c\,dx}
c
x
+
C
{\displaystyle cx+C\,}
2
∫
x
n
d
x
{\displaystyle \int x^{n}\,dx}
x
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle {\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}
n
≠
−
1
{\displaystyle n\neq -1}
3
∫
1
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx}
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \ln {\left|x\right|}+C}
4
∫
1
a
2
+
x
2
d
x
{\displaystyle \int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,dx}
1
a
arctan
x
a
+
C
{\displaystyle {1 \over a}\arctan {x \over a}+C}
5
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx}
arcsin
x
a
+
C
{\displaystyle \arcsin {x \over a}+C}
6
∫
−
1
a
2
−
x
2
d
x
{\displaystyle \int {-1 \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx}
arccos
x
a
+
C
{\displaystyle \arccos {x \over a}+C}
7
∫
1
x
x
2
−
a
2
d
x
{\displaystyle \int {1 \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}\,dx}
1
a
arcsec
|
x
|
a
+
C
{\displaystyle {1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|x| \over a}+C}
8
∫
ln
x
d
x
{\displaystyle \int \ln {x}\,dx}
x
ln
x
−
x
+
C
{\displaystyle x\ln {x}-x+C\,}
9
∫
log
b
x
d
x
{\displaystyle \int \log _{b}{x}\,dx}
x
log
b
x
−
x
log
b
e
+
C
{\displaystyle x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C\,}
10
∫
e
x
d
x
{\displaystyle \int e^{x}\,dx}
e
x
+
C
{\displaystyle e^{x}+C\,}
11
∫
a
x
d
x
{\displaystyle \int a^{x}\,dx}
a
x
ln
a
+
C
{\displaystyle {\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C}
12
∫
sin
x
d
x
{\displaystyle \int \sin {x}\,dx}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle -\cos {x}+C\,}
13
∫
cos
x
d
x
{\displaystyle \int \cos {x}\,dx}
sin
x
+
C
{\displaystyle \sin {x}+C\,}
14
∫
tan
x
d
x
{\displaystyle \int \tan {x}\,dx}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln {\left|\cos {x}\right|}+C\,}
15
∫
cot
x
d
x
{\displaystyle \int \cot {x}\,dx}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln {\left|\sin {x}\right|}+C\,}
16
∫
sec
x
d
x
{\displaystyle \int \sec {x}\,dx}
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C\,}
17
∫
csc
x
d
x
{\displaystyle \int \csc {x}\,dx}
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C\,}
18
∫
sec
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx}
tan
x
+
C
{\displaystyle \tan x+C\,}
19
∫
csc
2
x
d
x
{\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx}
−
cot
x
+
C
{\displaystyle -\cot x+C\,}
20
∫
sec
x
tan
x
d
x
{\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx}
sec
x
+
C
{\displaystyle \sec {x}+C\,}
21
∫
csc
x
cot
x
d
x
{\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx}
−
csc
x
+
C
{\displaystyle -\csc {x}+C\,}
22
∫
sin
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx}
1
2
(
x
−
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C\,}
23
∫
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx}
1
2
(
x
+
sin
x
cos
x
)
+
C
{\displaystyle {\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C\,}
24
∫
sin
n
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx}
−
sin
n
−
1
x
cos
x
n
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle -{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}
25
∫
cos
n
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx}
−
cos
n
−
1
x
sin
x
n
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle -{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}
26
∫
arctan
x
d
x
{\displaystyle \int \arctan {x}\,dx}
x
arctan
x
−
1
2
ln
|
1
+
x
2
|
+
C
{\displaystyle x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C}
27
∫
sinh
x
d
x
{\displaystyle \int \sinh x\,dx}
cosh
x
+
C
{\displaystyle \cosh x+C\,}
28
∫
cosh
x
d
x
{\displaystyle \int \cosh x\,dx}
sinh
x
+
C
{\displaystyle \sinh x+C\,}
29
∫
tanh
x
d
x
{\displaystyle \int \tanh x\,dx}
ln
|
cosh
x
|
+
C
{\displaystyle \ln |\cosh x|+C\,}
30
∫
csch
x
d
x
{\displaystyle \int {\mbox{csch}}\,x\,dx}
ln
|
tanh
x
2
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C}
31
∫
sech
x
d
x
{\displaystyle \int {\mbox{sech}}\,x\,dx}
arctan
(
sinh
x
)
+
C
{\displaystyle \arctan(\sinh x)+C\,}
32
∫
coth
x
d
x
{\displaystyle \int \coth x\,dx}
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \ln |\sinh x|+C\,}
Tích Phân Hàm Số Hyperboly [ sửa ] Dưới đây là danh sách tích phân với hàm hypebolic .
∫
sinh
c
x
d
x
=
1
c
cosh
c
x
{\displaystyle \int \sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}\cosh cx}
∫
cosh
c
x
d
x
=
1
c
sinh
c
x
{\displaystyle \int \cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}\sinh cx}
∫
sinh
2
c
x
d
x
=
1
4
c
sinh
2
c
x
−
x
2
{\displaystyle \int \sinh ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\sinh 2cx-{\frac {x}{2}}}
∫
cosh
2
c
x
d
x
=
1
4
c
sinh
2
c
x
+
x
2
{\displaystyle \int \cosh ^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\sinh 2cx+{\frac {x}{2}}}
∫
sinh
n
c
x
d
x
=
1
c
n
sinh
n
−
1
c
x
cosh
c
x
−
n
−
1
n
∫
sinh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh ^{n-1}cx\cosh cx-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
hay:
∫
sinh
n
c
x
d
x
=
1
c
(
n
+
1
)
sinh
n
+
1
c
x
cosh
c
x
−
n
+
2
n
+
1
∫
sinh
n
+
2
c
x
d
x
(
n
<
0
,
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \sinh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\sinh ^{n+1}cx\cosh cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
cosh
n
c
x
d
x
=
1
c
n
sinh
c
x
cosh
n
−
1
c
x
+
n
−
1
n
∫
cosh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
>
0
)
{\displaystyle \int \cosh ^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\sinh cx\cosh ^{n-1}cx+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)}}}
hay:
∫
cosh
n
c
x
d
x
=
−
1
c
(
n
+
1
)
sinh
c
x
cosh
n
+
1
c
x
−
n
+
2
n
+
1
∫
cosh
n
+
2
c
x
d
x
(
n
<
0
,
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \cosh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\sinh cx\cosh ^{n+1}cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
tanh
c
x
2
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\tanh {\frac {cx}{2}}\right|}
hay:
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
cosh
c
x
−
1
sinh
c
x
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\cosh cx-1}{\sinh cx}}\right|}
hay:
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
sinh
c
x
cosh
c
x
+
1
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\sinh cx}{\cosh cx+1}}\right|}
hay:
∫
d
x
sinh
c
x
=
1
c
ln
|
cosh
c
x
−
1
cosh
c
x
+
1
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\cosh cx-1}{\cosh cx+1}}\right|}
∫
d
x
cosh
c
x
=
2
c
arctan
e
c
x
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh cx}}={\frac {2}{c}}\arctan e^{cx}}
∫
d
x
sinh
n
c
x
=
cosh
c
x
c
(
n
−
1
)
sinh
n
−
1
c
x
−
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
sinh
n
−
2
c
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sinh ^{n}cx}}={\frac {\cosh cx}{c(n-1)\sinh ^{n-1}cx}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
d
x
cosh
n
c
x
=
sinh
c
x
c
(
n
−
1
)
cosh
n
−
1
c
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
cosh
n
−
2
c
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cosh ^{n}cx}}={\frac {\sinh cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}cx}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
c
x
d
x
=
cosh
n
−
1
c
x
c
(
n
−
m
)
sinh
m
−
1
c
x
+
n
−
1
n
−
m
∫
cosh
n
−
2
c
x
sinh
m
c
x
d
x
(
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}cx}{c(n-m)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}}
hay:
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
c
x
d
x
=
−
cosh
n
+
1
c
x
c
(
m
−
1
)
sinh
m
−
1
c
x
+
n
−
m
+
2
m
−
1
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
−
2
c
x
d
x
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}cx}{c(m-1)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
hay:
∫
cosh
n
c
x
sinh
m
c
x
d
x
=
−
cosh
n
−
1
c
x
c
(
m
−
1
)
sinh
m
−
1
c
x
+
n
−
1
m
−
1
∫
cosh
n
−
2
c
x
sinh
m
−
2
c
x
d
x
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cosh ^{n}cx}{\sinh ^{m}cx}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}cx}{c(m-1)\sinh ^{m-1}cx}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}cx}{\sinh ^{m-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
c
x
d
x
=
sinh
m
−
1
c
x
c
(
m
−
n
)
cosh
n
−
1
c
x
+
m
−
1
m
−
n
∫
sinh
m
−
2
c
x
cosh
n
c
x
d
x
(
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}cx}{c(m-n)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{m-n}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{)}}}
hay:
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
c
x
d
x
=
sinh
m
+
1
c
x
c
(
n
−
1
)
cosh
n
−
1
c
x
+
m
−
n
+
2
n
−
1
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
hay:
∫
sinh
m
c
x
cosh
n
c
x
d
x
=
−
sinh
m
−
1
c
x
c
(
n
−
1
)
cosh
n
−
1
c
x
+
m
−
1
n
−
1
∫
sinh
m
−
2
c
x
cosh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sinh ^{m}cx}{\cosh ^{n}cx}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}cx}{c(n-1)\cosh ^{n-1}cx}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}cx}{\cosh ^{n-2}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
sinh
c
x
d
x
=
1
c
x
cosh
c
x
−
1
c
2
sinh
c
x
{\displaystyle \int x\sinh cx\,dx={\frac {1}{c}}x\cosh cx-{\frac {1}{c^{2}}}\sinh cx}
∫
x
cosh
c
x
d
x
=
1
c
x
sinh
c
x
−
1
c
2
cosh
c
x
{\displaystyle \int x\cosh cx\,dx={\frac {1}{c}}x\sinh cx-{\frac {1}{c^{2}}}\cosh cx}
∫
tanh
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
cosh
c
x
|
{\displaystyle \int \tanh cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\cosh cx|}
∫
coth
c
x
d
x
=
1
c
ln
|
sinh
c
x
|
{\displaystyle \int \coth cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\sinh cx|}
∫
tanh
n
c
x
d
x
=
−
1
c
(
n
−
1
)
tanh
n
−
1
c
x
+
∫
tanh
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \tanh ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\tanh ^{n-1}cx+\int \tanh ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
coth
n
c
x
d
x
=
−
1
c
(
n
−
1
)
coth
n
−
1
c
x
+
∫
coth
n
−
2
c
x
d
x
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \coth ^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\coth ^{n-1}cx+\int \coth ^{n-2}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sinh
b
x
sinh
c
x
d
x
=
1
b
2
−
c
2
(
b
sinh
c
x
cosh
b
x
−
c
cosh
c
x
sinh
b
x
)
(
b
2
≠
c
2
)
{\displaystyle \int \sinh bx\sinh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh cx\cosh bx-c\cosh cx\sinh bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}}
∫
cosh
b
x
cosh
c
x
d
x
=
1
b
2
−
c
2
(
b
sinh
b
x
cosh
c
x
−
c
sinh
c
x
cosh
b
x
)
(
b
2
≠
c
2
)
{\displaystyle \int \cosh bx\cosh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh bx\cosh cx-c\sinh cx\cosh bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}}
∫
cosh
b
x
sinh
c
x
d
x
=
1
b
2
−
c
2
(
b
sinh
b
x
sinh
c
x
−
c
cosh
b
x
cosh
c
x
)
(
b
2
≠
c
2
)
{\displaystyle \int \cosh bx\sinh cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\sinh bx\sinh cx-c\cosh bx\cosh cx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)}}}
∫
sinh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
−
c
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)}
∫
sinh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
+
c
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)}
∫
cosh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
−
c
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)}
∫
cosh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
d
x
=
a
a
2
+
c
2
sinh
(
a
x
+
b
)
cos
(
c
x
+
d
)
+
c
a
2
+
c
2
cosh
(
a
x
+
b
)
sin
(
c
x
+
d
)
{\displaystyle \int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)}
Tích Phân Hàm Số Hyperboly Ngược [ sửa ] Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm hypebolic ngược .
∫
a
r
s
i
n
h
x
c
d
x
=
x
a
r
s
i
n
h
x
c
−
x
2
+
c
2
{\displaystyle \int \mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsinh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}
∫
a
r
c
o
s
h
x
c
d
x
=
x
a
r
c
o
s
h
x
c
−
x
2
−
c
2
{\displaystyle \int \mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcosh} \,{\frac {x}{c}}-{\sqrt {x^{2}-c^{2}}}}
∫
a
r
t
a
n
h
x
c
d
x
=
x
a
r
t
a
n
h
x
c
+
c
2
ln
|
c
2
−
x
2
|
(
|
x
|
<
|
c
|
)
{\displaystyle \int \mathrm {artanh} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {artanh} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |c^{2}-x^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|<|c|{\mbox{)}}}
∫
a
r
c
o
t
h
x
c
d
x
=
x
a
r
c
o
t
h
x
c
+
c
2
ln
|
x
2
−
c
2
|
(
|
x
|
>
|
c
|
)
{\displaystyle \int \mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcoth} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln |x^{2}-c^{2}|\qquad {\mbox{( }}|x|>|c|{\mbox{)}}}
∫
a
r
s
e
c
h
x
c
d
x
=
x
a
r
s
e
c
h
x
c
−
c
a
r
c
t
a
n
x
c
−
x
c
+
x
x
−
c
(
x
∈
(
0
,
c
)
)
{\displaystyle \int \mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arsech} \,{\frac {x}{c}}-c\,\mathrm {arctan} \,{\frac {x\,{\sqrt {\frac {c-x}{c+x}}}}{x-c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}}
∫
a
r
c
s
c
h
x
c
d
x
=
x
a
r
c
s
c
h
x
c
+
c
ln
x
+
x
2
+
c
2
c
(
x
∈
(
0
,
c
)
)
{\displaystyle \int \mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arcsch} \,{\frac {x}{c}}+c\,\ln \,{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+c^{2}}}}{c}}\qquad {\mbox{( }}x\in (0,\,c){\mbox{)}}}
Tích phân hàm số Logarit [ sửa ] Dưới đây là danh sách tích phân với hàm lôgarít .
Chú ý: bài này quy ước x >0.
∫
ln
c
x
d
x
=
x
ln
c
x
−
x
{\displaystyle \int \ln cx\,dx=x\ln cx-x}
∫
(
ln
x
)
2
d
x
=
x
(
ln
x
)
2
−
2
x
ln
x
+
2
x
{\displaystyle \int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x}
∫
(
ln
c
x
)
n
d
x
=
x
(
ln
c
x
)
n
−
n
∫
(
ln
c
x
)
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int (\ln cx)^{n}\;dx=x(\ln cx)^{n}-n\int (\ln cx)^{n-1}dx}
∫
d
x
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
+
ln
x
+
∑
i
=
2
∞
(
ln
x
)
i
i
⋅
i
!
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\ln x+\sum _{i=2}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫
d
x
(
ln
x
)
n
=
−
x
(
n
−
1
)
(
ln
x
)
n
−
1
+
1
n
−
1
∫
d
x
(
ln
x
)
n
−
1
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
m
ln
x
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
x
m
+
1
−
1
(
m
+
1
)
2
)
(
m
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫
x
m
(
ln
x
)
n
d
x
=
x
m
+
1
(
ln
x
)
n
m
+
1
−
n
m
+
1
∫
x
m
(
ln
x
)
n
−
1
d
x
(
m
≠
−
1
)
{\displaystyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq -1{\mbox{)}}}
∫
(
ln
x
)
n
d
x
x
=
(
ln
x
)
n
+
1
n
+
1
(
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}\qquad {\mbox{( }}n\neq -1{\mbox{)}}}
∫
ln
x
d
x
x
m
=
−
ln
x
(
m
−
1
)
x
m
−
1
−
1
(
m
−
1
)
2
x
m
−
1
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫
(
ln
x
)
n
d
x
x
m
=
−
(
ln
x
)
n
(
m
−
1
)
x
m
−
1
+
n
m
−
1
∫
(
ln
x
)
n
−
1
d
x
x
m
(
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
m
d
x
(
ln
x
)
n
=
−
x
m
+
1
(
n
−
1
)
(
ln
x
)
n
−
1
+
m
+
1
n
−
1
∫
x
m
d
x
(
ln
x
)
n
−
1
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
d
x
x
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|}
∫
d
x
x
n
ln
x
=
ln
|
ln
x
|
+
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
(
n
−
1
)
i
(
ln
x
)
i
i
⋅
i
!
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫
d
x
x
(
ln
x
)
n
=
−
1
(
n
−
1
)
(
ln
x
)
n
−
1
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
sin
(
ln
x
)
d
x
=
x
2
(
sin
(
ln
x
)
−
cos
(
ln
x
)
)
{\displaystyle \int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))}
∫
cos
(
ln
x
)
d
x
=
x
2
(
sin
(
ln
x
)
+
cos
(
ln
x
)
)
{\displaystyle \int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))}
Tích phân hàm số mũ [ sửa ] Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm mũ .
∫
e
c
x
d
x
=
1
c
e
c
x
{\displaystyle \int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}}
∫
a
c
x
d
x
=
1
c
ln
a
a
c
x
(
a
>
0
,
a
≠
1
)
{\displaystyle \int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx}\qquad {\mbox{( }}a>0,{\mbox{ }}a\neq 1{\mbox{)}}}
∫
x
e
c
x
d
x
=
e
c
x
c
2
(
c
x
−
1
)
{\displaystyle \int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
∫
x
2
e
c
x
d
x
=
e
c
x
(
x
2
c
−
2
x
c
2
+
2
c
3
)
{\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
∫
x
n
e
c
x
d
x
=
1
c
x
n
e
c
x
−
n
c
∫
x
n
−
1
e
c
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx}
∫
e
c
x
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
∑
i
=
1
∞
(
c
x
)
i
i
⋅
i
!
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}}
∫
e
c
x
d
x
x
n
=
1
n
−
1
(
−
e
c
x
x
n
−
1
+
c
∫
e
c
x
x
n
−
1
d
x
)
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}\,dx\right)\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
e
c
x
ln
x
d
x
=
1
c
e
c
x
ln
|
x
|
−
Ei
(
c
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)}
∫
e
c
x
sin
b
x
d
x
=
e
c
x
c
2
+
b
2
(
c
sin
b
x
−
b
cos
b
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
∫
e
c
x
cos
b
x
d
x
=
e
c
x
c
2
+
b
2
(
c
cos
b
x
+
b
sin
b
x
)
{\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
∫
e
c
x
sin
n
x
d
x
=
e
c
x
sin
n
−
1
x
c
2
+
n
2
(
c
sin
x
−
n
cos
x
)
+
n
(
n
−
1
)
c
2
+
n
2
∫
e
c
x
sin
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx}
∫
e
c
x
cos
n
x
d
x
=
e
c
x
cos
n
−
1
x
c
2
+
n
2
(
c
cos
x
+
n
sin
x
)
+
n
(
n
−
1
)
c
2
+
n
2
∫
e
c
x
cos
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx}
∫
x
e
c
x
2
d
x
=
1
2
c
e
c
x
2
{\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
∫
1
σ
2
π
e
−
(
x
−
μ
)
2
/
2
σ
2
d
x
=
1
2
σ
(
1
+
erf
x
−
μ
σ
2
)
{\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2\sigma }}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}})}
∫
e
x
2
d
x
=
e
x
2
(
∑
j
=
0
n
−
1
c
2
j
1
x
2
j
+
1
)
+
(
2
n
−
1
)
c
2
n
−
2
∫
e
x
2
x
2
n
d
x
(
n
>
0
)
,
{\displaystyle \int e^{x^{2}}\,dx=e^{x^{2}}\left(\sum _{j=0}^{n-1}c_{2j}\,{\frac {1}{x^{2j+1}}}\right)+(2n-1)c_{2n-2}\int {\frac {e^{x^{2}}}{x^{2n}}}\;dx\quad (n>0),}
với
c
2
j
=
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
j
−
1
)
2
j
+
1
=
2
j
!
j
!
2
2
j
+
1
.
{\displaystyle c_{2j}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2j-1)}{2^{j+1}}}={\frac {2j\,!}{j!\,2^{2j+1}}}\ .}
∫
−
∞
∞
e
−
a
x
2
d
x
=
π
a
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}}
∫
0
∞
x
2
n
e
−
x
2
/
a
2
d
x
=
π
(
2
n
)
!
n
!
(
a
2
)
2
n
+
1
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{(2n)! \over {n!}}{\left({\frac {a}{2}}\right)}^{2n+1}}
Tích phân hàm số lượng giác [ sửa ] Tích phân hàm số sine
∫
sin
a
x
d
x
=
−
1
a
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!}
∫
sin
2
a
x
d
x
=
x
2
−
1
4
a
sin
2
a
x
+
C
=
x
2
−
1
2
a
sin
a
x
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫
x
sin
2
a
x
d
x
=
x
2
4
−
x
4
a
sin
2
a
x
−
1
8
a
2
cos
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫
x
2
sin
2
a
x
d
x
=
x
3
6
−
(
x
2
4
a
−
1
8
a
3
)
sin
2
a
x
−
x
4
a
2
cos
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫
sin
b
1
x
sin
b
2
x
d
x
=
sin
(
(
b
1
−
b
2
)
x
)
2
(
b
1
−
b
2
)
−
sin
(
(
b
1
+
b
2
)
x
)
2
(
b
1
+
b
2
)
+
C
(for
|
b
1
|
≠
|
b
2
|
)
{\displaystyle \int \sin b_{1}x\sin b_{2}x\;dx={\frac {\sin((b_{1}-b_{2})x)}{2(b_{1}-b_{2})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
cos
a
x
n
a
+
n
−
1
n
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
sin
a
x
=
1
a
ln
|
tan
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
d
x
sin
n
a
x
=
cos
a
x
a
(
1
−
n
)
sin
n
−
1
a
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
sin
n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
sin
a
x
d
x
=
sin
a
x
a
2
−
x
cos
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int x\sin ax\;dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!}
∫
x
n
sin
a
x
d
x
=
−
x
n
a
cos
a
x
+
n
a
∫
x
n
−
1
cos
a
x
d
x
(for
n
>
0
)
{\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
−
a
2
a
2
x
2
sin
2
n
π
x
a
d
x
=
a
3
(
n
2
π
2
−
6
)
24
n
2
π
2
(for
n
=
2
,
4
,
6...
)
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
x
d
x
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
a
x
)
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
⋅
(
2
n
+
1
)
!
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}dx=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!}
∫
sin
a
x
x
n
d
x
=
−
sin
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
+
a
n
−
1
∫
cos
a
x
x
n
−
1
d
x
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}dx\,\!}
∫
d
x
1
±
sin
a
x
=
1
a
tan
(
a
x
2
∓
π
4
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫
x
d
x
1
+
sin
a
x
=
x
a
tan
(
a
x
2
−
π
4
)
+
2
a
2
ln
|
cos
(
a
x
2
−
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
x
d
x
1
−
sin
a
x
=
x
a
cot
(
π
4
−
a
x
2
)
+
2
a
2
ln
|
sin
(
π
4
−
a
x
2
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
1
±
sin
a
x
=
±
x
+
1
a
tan
(
π
4
∓
a
x
2
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}
∫
cos
a
x
d
x
=
1
a
sin
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ax\;dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!}
∫
cos
n
a
x
d
x
=
cos
n
−
1
a
x
sin
a
x
n
a
+
n
−
1
n
∫
cos
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
>
0
)
{\displaystyle \int \cos ^{n}ax\;dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
x
cos
a
x
d
x
=
cos
a
x
a
2
+
x
sin
a
x
a
+
C
{\displaystyle \int x\cos ax\;dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!}
∫
cos
2
a
x
d
x
=
x
2
+
1
4
a
sin
2
a
x
+
C
=
x
2
+
1
2
a
sin
a
x
cos
a
x
+
C
{\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
∫
x
2
cos
2
a
x
d
x
=
x
3
6
+
(
x
2
4
a
−
1
8
a
3
)
sin
2
a
x
+
x
4
a
2
cos
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
∫
x
n
cos
a
x
d
x
=
x
n
sin
a
x
a
−
n
a
∫
x
n
−
1
sin
a
x
d
x
{\displaystyle \int x^{n}\cos ax\;dx={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,\!}
∫
cos
a
x
x
d
x
=
ln
|
a
x
|
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
(
a
x
)
2
k
2
k
⋅
(
2
k
)
!
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}dx=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!}
∫
cos
a
x
x
n
d
x
=
−
cos
a
x
(
n
−
1
)
x
n
−
1
−
a
n
−
1
∫
sin
a
x
x
n
−
1
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
cos
a
x
=
1
a
ln
|
tan
(
a
x
2
+
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
d
x
cos
n
a
x
=
sin
a
x
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
+
n
−
2
n
−
1
∫
d
x
cos
n
−
2
a
x
(for
n
>
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
1
+
cos
a
x
=
1
a
tan
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
d
x
1
−
cos
a
x
=
−
1
a
cot
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
x
d
x
1
+
cos
a
x
=
x
a
tan
a
x
2
+
2
a
2
ln
|
cos
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
x
d
x
1
−
cos
a
x
=
−
x
a
cot
a
x
2
+
2
a
2
ln
|
sin
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
1
+
cos
a
x
=
x
−
1
a
tan
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
cos
a
x
d
x
1
−
cos
a
x
=
−
x
−
1
a
cot
a
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
∫
cos
a
1
x
cos
a
2
x
d
x
=
sin
(
a
1
−
a
2
)
x
2
(
a
1
−
a
2
)
+
sin
(
a
1
+
a
2
)
x
2
(
a
1
+
a
2
)
+
C
(for
|
a
1
|
≠
|
a
2
|
)
{\displaystyle \int \cos a_{1}x\cos a_{2}x\;dx={\frac {\sin(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+{\frac {\sin(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫
tan
a
x
d
x
=
−
1
a
ln
|
cos
a
x
|
+
C
=
1
a
ln
|
sec
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \tan ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!}
∫
tan
n
a
x
d
x
=
1
a
(
n
−
1
)
tan
n
−
1
a
x
−
∫
tan
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
q
tan
a
x
+
p
=
1
p
2
+
q
2
(
p
x
+
q
a
ln
|
q
sin
a
x
+
p
cos
a
x
|
)
+
C
(for
p
2
+
q
2
≠
0
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
tan
a
x
=
1
a
ln
|
sin
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax}}={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}
∫
d
x
tan
a
x
+
1
=
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫
d
x
tan
a
x
−
1
=
−
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
+
1
=
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
−
1
=
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
∫
sec
a
x
d
x
=
1
a
ln
|
sec
a
x
+
tan
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C}
∫
sec
n
a
x
d
x
=
sec
n
−
1
a
x
sin
a
x
a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1
∫
sec
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-1}{ax}\sin {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sec
n
x
d
x
=
sec
n
−
2
x
tan
x
n
−
1
+
n
−
2
n
−
1
∫
sec
n
−
2
x
d
x
{\displaystyle \int \sec ^{n}{x}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{x}\tan {x}}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{x}\,dx}
∫
d
x
sec
x
+
1
=
x
−
tan
x
2
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}
∫
csc
a
x
d
x
=
1
a
ln
|
csc
a
x
−
cot
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \csc {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}-\cot {ax}\right|}+C}
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
+
C
{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C}
∫
csc
n
a
x
d
x
=
−
csc
n
−
1
a
x
cos
a
x
a
(
n
−
1
)
+
n
−
2
n
−
1
∫
csc
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-1}{ax}\cos {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cot
a
x
d
x
=
1
a
ln
|
sin
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int \cot ax\;dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}
∫
cot
n
a
x
d
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
cot
n
−
1
a
x
−
∫
cot
n
−
2
a
x
d
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int \cot ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
1
+
cot
a
x
=
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
+
1
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}\,\!}
∫
d
x
1
−
cot
a
x
=
∫
tan
a
x
d
x
tan
a
x
−
1
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}\,\!}
∫
d
x
cos
a
x
±
sin
a
x
=
1
a
2
ln
|
tan
(
a
x
2
±
π
8
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}
∫
d
x
(
cos
a
x
±
sin
a
x
)
2
=
1
2
a
tan
(
a
x
∓
π
4
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
∫
d
x
(
cos
x
+
sin
x
)
n
=
1
n
−
1
(
sin
x
−
cos
x
(
cos
x
+
sin
x
)
n
−
1
−
2
(
n
−
2
)
∫
d
x
(
cos
x
+
sin
x
)
n
−
2
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}
∫
cos
a
x
d
x
cos
a
x
+
sin
a
x
=
x
2
+
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
cos
a
x
−
sin
a
x
=
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
+
sin
a
x
=
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
+
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
−
sin
a
x
=
−
x
2
−
1
2
a
ln
|
sin
a
x
−
cos
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
sin
a
x
(
1
+
cos
a
x
)
=
−
1
4
a
tan
2
a
x
2
+
1
2
a
ln
|
tan
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
cos
a
x
d
x
sin
a
x
(
1
+
−
cos
a
x
)
=
−
1
4
a
cot
2
a
x
2
−
1
2
a
ln
|
tan
a
x
2
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
(
1
+
sin
a
x
)
=
1
4
a
cot
2
(
a
x
2
+
π
4
)
+
1
2
a
ln
|
tan
(
a
x
2
+
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
sin
a
x
d
x
cos
a
x
(
1
−
sin
a
x
)
=
1
4
a
tan
2
(
a
x
2
+
π
4
)
−
1
2
a
ln
|
tan
(
a
x
2
+
π
4
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
∫
sin
a
x
cos
a
x
d
x
=
1
2
a
sin
2
a
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\cos ax\;dx={\frac {1}{2a}}\sin ^{2}ax+C\,\!}
∫
sin
a
1
x
cos
a
2
x
d
x
=
−
cos
(
a
1
+
a
2
)
x
2
(
a
1
+
a
2
)
−
cos
(
a
1
−
a
2
)
x
2
(
a
1
−
a
2
)
+
C
(for
|
a
1
|
≠
|
a
2
|
)
{\displaystyle \int \sin a_{1}x\cos a_{2}x\;dx=-{\frac {\cos(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}-{\frac {\cos(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
cos
a
x
d
x
=
1
a
(
n
+
1
)
sin
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ax\;dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
cos
n
a
x
d
x
=
−
1
a
(
n
+
1
)
cos
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int \sin ax\cos ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
cos
m
a
x
d
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
cos
m
+
1
a
x
a
(
n
+
m
)
+
n
−
1
n
+
m
∫
sin
n
−
2
a
x
cos
m
a
x
d
x
(for
m
,
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ^{m+1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}ax\cos ^{m}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
sin
n
a
x
cos
m
a
x
d
x
=
sin
n
+
1
a
x
cos
m
−
1
a
x
a
(
n
+
m
)
+
m
−
1
n
+
m
∫
sin
n
a
x
cos
m
−
2
a
x
d
x
(for
m
,
n
>
0
)
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx={\frac {\sin ^{n+1}ax\cos ^{m-1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}ax\cos ^{m-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
sin
a
x
cos
a
x
=
1
a
ln
|
tan
a
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}
∫
d
x
sin
a
x
cos
n
a
x
=
1
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
+
∫
d
x
sin
a
x
cos
n
−
2
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
d
x
sin
n
a
x
cos
a
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
sin
n
−
1
a
x
+
∫
d
x
sin
n
−
2
a
x
cos
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax\cos ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
d
x
cos
n
a
x
=
1
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
2
a
x
d
x
cos
a
x
=
−
1
a
sin
a
x
+
1
a
ln
|
tan
(
π
4
+
a
x
2
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
∫
sin
2
a
x
d
x
cos
n
a
x
=
sin
a
x
a
(
n
−
1
)
cos
n
−
1
a
x
−
1
n
−
1
∫
d
x
cos
n
−
2
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
a
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
a
(
n
−
1
)
+
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
cos
a
x
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
a
x
=
sin
n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
)
cos
m
−
1
a
x
−
n
−
m
+
2
m
−
1
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
a
x
=
−
sin
n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
)
cos
m
−
1
a
x
+
n
−
1
n
−
m
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
cos
m
a
x
(for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
sin
n
a
x
d
x
cos
m
a
x
=
sin
n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
)
cos
m
−
1
a
x
−
n
−
1
m
−
1
∫
sin
n
−
2
a
x
d
x
cos
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cos
a
x
d
x
sin
n
a
x
=
−
1
a
(
n
−
1
)
sin
n
−
1
a
x
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cos
2
a
x
d
x
sin
a
x
=
1
a
(
cos
a
x
+
ln
|
tan
a
x
2
|
)
+
C
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}
∫
cos
2
a
x
d
x
sin
n
a
x
=
−
1
n
−
1
(
cos
a
x
a
sin
n
−
1
a
x
)
+
∫
d
x
sin
n
−
2
a
x
)
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax)}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
a
x
=
−
cos
n
+
1
a
x
a
(
m
−
1
)
sin
m
−
1
a
x
−
n
−
m
−
2
m
−
1
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m-2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
a
x
=
cos
n
−
1
a
x
a
(
n
−
m
)
sin
m
−
1
a
x
+
n
−
1
n
−
m
∫
cos
n
−
2
a
x
d
x
sin
m
a
x
(for
m
≠
n
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}={\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}
also:
∫
cos
n
a
x
d
x
sin
m
a
x
=
−
cos
n
−
1
a
x
a
(
m
−
1
)
sin
m
−
1
a
x
−
n
−
1
m
−
1
∫
cos
n
−
2
a
x
d
x
sin
m
−
2
a
x
(for
m
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
sin
a
x
tan
a
x
d
x
=
1
a
(
ln
|
sec
a
x
+
tan
a
x
|
−
sin
a
x
)
+
C
{\displaystyle \int \sin ax\tan ax\;dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C\,\!}
∫
tan
n
a
x
d
x
sin
2
a
x
=
1
a
(
n
−
1
)
tan
n
−
1
(
a
x
)
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
tan
n
a
x
d
x
cos
2
a
x
=
1
a
(
n
+
1
)
tan
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cot
n
a
x
d
x
sin
2
a
x
=
1
a
(
n
+
1
)
cot
n
+
1
a
x
+
C
(for
n
≠
−
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
∫
cot
n
a
x
d
x
cos
2
a
x
=
1
a
(
1
−
n
)
tan
1
−
n
a
x
+
C
(for
n
≠
1
)
{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
∫
−
c
c
sin
x
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\;dx=0\!}
∫
−
c
c
cos
x
d
x
=
2
∫
0
c
cos
x
d
x
=
2
∫
−
c
0
cos
x
d
x
=
2
sin
c
{\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{0}^{c}\cos {x}\;dx=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\;dx=2\sin {c}\!}
∫
−
c
c
tan
x
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\;dx=0\!}
∫
−
a
2
a
2
x
2
cos
2
n
π
x
a
d
x
=
a
3
(
n
2
π
2
−
6
)
24
n
2
π
2
(for
n
=
1
,
3
,
5...
)
{\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!}
Tích phân hàm lượng giác ngược [ sửa ] Dưới đây là danh sách các tích phân với hàm lượng giác ngược .
∫
arcsin
x
c
d
x
=
x
arcsin
x
c
+
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int \arcsin {\frac {x}{c}}\,dx=x\arcsin {\frac {x}{c}}+{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
arcsin
x
c
d
x
=
(
x
2
2
−
c
2
4
)
arcsin
x
c
+
x
4
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x\arcsin {\frac {x}{c}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{4}}\right)\arcsin {\frac {x}{c}}+{\frac {x}{4}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
2
arcsin
x
c
d
x
=
x
3
3
arcsin
x
c
+
x
2
+
2
c
2
9
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x^{2}\arcsin {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arcsin {\frac {x}{c}}+{\frac {x^{2}+2c^{2}}{9}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
n
sin
−
1
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
sin
−
1
x
{\displaystyle \int x^{n}\sin ^{-1}x\,dx={\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\sin ^{-1}x\right.}
+
x
n
1
−
x
2
−
n
x
n
−
1
sin
−
1
x
n
−
1
+
n
∫
x
n
−
2
sin
−
1
x
d
x
)
{\displaystyle \left.+{\frac {x^{n}{\sqrt {1-x^{2}}}-nx^{n-1}\sin ^{-1}x}{n-1}}+n\int x^{n-2}\sin ^{-1}x\,dx\right)}
∫
arccos
x
c
d
x
=
x
arccos
x
c
−
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int \arccos {\frac {x}{c}}\,dx=x\arccos {\frac {x}{c}}-{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
arccos
x
c
d
x
=
(
x
2
2
−
c
2
4
)
arccos
x
c
−
x
4
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x\arccos {\frac {x}{c}}\,dx=\left({\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {c^{2}}{4}}\right)\arccos {\frac {x}{c}}-{\frac {x}{4}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
x
2
arccos
x
c
d
x
=
x
3
3
arccos
x
c
−
x
2
+
2
c
2
9
c
2
−
x
2
{\displaystyle \int x^{2}\arccos {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arccos {\frac {x}{c}}-{\frac {x^{2}+2c^{2}}{9}}{\sqrt {c^{2}-x^{2}}}}
∫
arctan
x
c
d
x
=
x
arctan
x
c
−
c
2
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int \arctan {\frac {x}{c}}\,dx=x\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
arctan
x
c
d
x
=
c
2
+
x
2
2
arctan
x
c
−
c
x
2
{\displaystyle \int x\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {cx}{2}}}
∫
x
2
arctan
x
c
d
x
=
x
3
3
arctan
x
c
−
c
x
2
6
+
c
3
6
ln
c
2
+
x
2
{\displaystyle \int x^{2}\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {cx^{2}}{6}}+{\frac {c^{3}}{6}}\ln {c^{2}+x^{2}}}
∫
x
n
arctan
x
c
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
arctan
x
c
−
c
n
+
1
∫
x
n
+
1
d
x
c
2
+
x
2
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int x^{n}\arctan {\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\arctan {\frac {x}{c}}-{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}dx}{c^{2}+x^{2}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
∫
arcsec
x
c
d
x
=
x
arcsec
x
c
+
x
c
|
x
|
ln
|
x
±
x
2
−
1
|
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {\frac {x}{c}}\,dx=x\operatorname {arcsec} {\frac {x}{c}}+{\frac {x}{c|x|}}\ln {|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}|}}
∫
x
arcsec
x
d
x
=
1
2
(
x
2
arcsec
x
−
x
2
−
1
)
{\displaystyle \int x\operatorname {arcsec} {x}\,dx\,=\,{\frac {1}{2}}\left(x^{2}\operatorname {arcsec} {x}-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
∫
x
n
arcsec
x
d
x
=
1
n
+
1
(
x
n
+
1
arcsec
x
−
1
n
(
x
n
−
1
x
2
−
1
{\displaystyle \int x^{n}\operatorname {arcsec} {x}\,dx\,=\,{\frac {1}{n+1}}\left(x^{n+1}\operatorname {arcsec} {x}-{\frac {1}{n}}\left(x^{n-1}{\sqrt {x^{2}-1}}\;\right.\right.}
+
(
1
−
n
)
(
x
n
−
1
arcsec
x
+
(
1
−
n
)
∫
x
n
−
2
arcsec
x
d
x
)
)
)
{\displaystyle \left.\left.+(1-n)\left(x^{n-1}\operatorname {arcsec} {x}+(1-n)\int x^{n-2}\operatorname {arcsec} {x}\,dx\right)\right)\right)}
∫
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
x
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
2
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int \mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx=x\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{2}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
c
2
+
x
2
2
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
x
2
{\displaystyle \int x\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {c^{2}+x^{2}}{2}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {cx}{2}}}
∫
x
2
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
x
3
3
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
x
2
6
−
c
3
6
ln
(
c
2
+
x
2
)
{\displaystyle \int x^{2}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {cx^{2}}{6}}-{\frac {c^{3}}{6}}\ln(c^{2}+x^{2})}
∫
x
n
a
r
c
c
o
t
x
c
d
x
=
x
n
+
1
n
+
1
a
r
c
c
o
t
x
c
+
c
n
+
1
∫
x
n
+
1
d
x
c
2
+
x
2
(
n
≠
1
)
{\displaystyle \int x^{n}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\,\mathrm {arccot} \,{\frac {x}{c}}+{\frac {c}{n+1}}\int {\frac {x^{n+1}dx}{c^{2}+x^{2}}}\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)}}}
Hoán chuyển tích phân [ sửa ] Phép toán giải tích của một tích phân xác định dùng trong việc Hoán chuyển hệ tóan bao gồm 2 lọai hóan chuyển Hoán chuyển Laplace và Hoán chuyển Fourier
Hoán chuyển Laplace [ sửa ] Hoán chuyển Laplace là phép toán tích phân dùng trong việc hoán chuyển hệ thời gian t sang hệ Laplace s dùng công thức sau
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}
Hàm số hệ thời gian Hàm số tương dương hệ số Laplace
f
(
t
)
−
−
>
F
(
s
)
{\displaystyle f(t)-->F(s)}
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}
d
n
d
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}
s
n
f
(
t
)
{\displaystyle s^{n}f(t)}
∫
n
f
(
t
)
d
t
n
{\displaystyle \int ^{n}f(t)dt^{n}}
−
s
n
f
(
t
)
{\displaystyle -s^{n}f(t)}
Thí dụ [ sửa ]
Công cụ điện Hàm số hệ thời gian Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện
v
C
=
1
C
∫
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt}
−
1
C
s
i
(
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{C}}si(t)}
Dòng điện tụ điện
i
C
=
C
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)}
s
C
v
(
t
)
{\displaystyle sCv(t)}
Điện thế cuộn từ
v
L
=
L
d
d
t
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt}
s
L
i
(
t
)
{\displaystyle sLi(t)}
Dòng điện cuộn từ
i
L
=
1
L
∫
v
(
t
)
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)}
−
1
L
s
v
(
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{L}}sv(t)}
Biến đổi Laplace ngược [ sửa ] Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s)
L
−
1
{
F
(
s
)
}
=
f
(
t
)
=
1
2
π
i
∫
γ
−
i
∞
γ
+
i
∞
e
s
t
F
(
s
)
d
s
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds}
Hoán Chuyển Fourier [ sửa ] Phép biến đổi Fourier là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t) , được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0 , là hàm số F(jω) , Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt}
Trong đó
s
{\displaystyle s}
s
=
σ
+
j
ω
{\displaystyle s=\sigma +j\omega }
s
{\displaystyle s}
s
−
1
{\displaystyle s^{-1}}
Hàm số hệ thời gian Hàm số tương dương hệ số Laplace
f
(
t
)
−
−
>
F
(
s
)
{\displaystyle f(t)-->F(s)}
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt}
d
n
d
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}
j
ω
n
f
(
t
)
{\displaystyle j\omega ^{n}f(t)}
∫
n
f
(
t
)
d
t
n
{\displaystyle \int ^{n}f(t)dt^{n}}
−
j
ω
n
f
(
t
)
{\displaystyle -j\omega ^{n}f(t)}
Thí dụ [ sửa ]
Công cụ điện Hàm số hệ thời gian Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện
v
C
=
1
C
∫
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt}
−
1
C
j
ω
i
(
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{C}}j\omega i(t)}
Dòng điện tụ điện
i
C
=
C
d
d
t
v
(
t
)
{\displaystyle i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)}
j
ω
C
v
(
t
)
{\displaystyle j\omega Cv(t)}
Điện thế cuộn từ
v
L
=
L
d
d
t
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt}
ω
L
i
(
t
)
{\displaystyle \omega Li(t)}
Dòng điện cuộn từ
i
L
=
1
L
∫
v
(
t
)
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)}
−
1
L
j
ω
v
(
t
)
{\displaystyle -{\frac {1}{L}}j\omega v(t)}
Ứng dụng [ sửa ]
Hoán Chuyển Laplace
Định nghỉa
f
(
t
)
−
>
F
(
s
)
{\displaystyle f(t)->F(s)}
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt}
Thí dụ
Time domain
Laplace domain
d
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}}
s
{\displaystyle s}
d
d
t
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)}
s
f
(
t
)
{\displaystyle sf(t)}
d
n
d
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}
s
n
f
(
t
)
{\displaystyle s^{n}f(t)}
∫
d
t
{\displaystyle \int dt}
1
s
=
−
s
{\displaystyle {\frac {1}{s}}=-s}
∫
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int f(t)dt}
1
s
f
(
t
)
=
−
s
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{s}}f(t)=-sf(t)}
Hoán Chuyển Fourier
Định nghỉa
f
(
t
)
−
>
F
(
j
ω
)
{\displaystyle f(t)->F(j\omega )}
L
{
f
(
t
)
}
=
F
(
s
)
=
∫
0
−
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt}
Thí dụ
Time domain
Fourier
d
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}}
j
ω
{\displaystyle j\omega }
d
d
t
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)}
j
ω
f
(
t
)
{\displaystyle j\omega f(t)}
d
n
d
t
n
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}
s
n
f
(
t
)
{\displaystyle s^{n}f(t)}
∫
d
t
{\displaystyle \int dt}
1
j
ω
=
−
j
ω
{\displaystyle {\frac {1}{j}}\omega =-j\omega }
∫
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle \int f(t)dt}
1
j
ω
f
(
t
)
=
−
s
f
(
t
)
{\displaystyle {\frac {1}{j\omega }}f(t)=-sf(t)}
Ứng dụng hoán chuyển tích phân
Hệ thời gian
Hệ Laplace
Hệ Fourier
Hệ Góc độ
d
d
t
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}}
s
{\displaystyle s}
j
ω
{\displaystyle j\omega }
ω
∠
90
o
{\displaystyle \omega \angle 90^{o}}
∫
d
t
{\displaystyle \int dt}
1
s
{\displaystyle {\frac {1}{s}}}
1
j
ω
{\displaystyle {\frac {1}{j\omega }}}
1
ω
∠
−
90
o
{\displaystyle {\frac {1}{\omega }}\angle -90^{o}}
Thí dụ
v
L
=
L
d
i
L
d
t
{\displaystyle v_{L}=L{\frac {di_{L}}{dt}}}
v
L
=
s
L
{\displaystyle v_{L}=sL}
v
L
=
j
ω
L
{\displaystyle v_{L}=j\omega L}
v
L
=
ω
L
∠
90
o
{\displaystyle v_{L}=\omega L\angle 90^{o}}
i
L
=
1
L
∫
v
L
d
t
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{L}}\int v_{L}dt}
i
L
=
1
s
L
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{sL}}}
i
L
=
1
j
ω
L
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{j\omega L}}}
i
L
=
1
ω
L
∠
90
o
{\displaystyle i_{L}={\frac {1}{\omega L\angle 90^{o}}}}
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)+g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)+{\frac {d}{dx}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf9a4c4bbbfe2b4af2bdb6e1c3a449b3765dd91)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)-g(x)]={\frac {d}{dx}}f(x)-{\frac {d}{dx}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1b346de22da31af2af82507751e920af862ef0)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)\times g(x)]=g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9249e023ce1a2c9e66343c7faacae35ad69bfd63)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}[f(x)/g(x)]={\frac {g(x){\frac {d}{dx}}f(x)+f(x){\frac {d}{dx}}g(x)}{g(x)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98858d11f7580550fa906e9b1cb4a092781faed0)
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\pm \int \limits _{a}^{b}g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5de6f389f5d8d17cc73712d5d510feb29c3cdf3)
![{\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx={\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775d12776d89d6ee876bbb916bd9aa8a42a437c8)
![{\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}}={\sqrt {{\frac {1}{b-a}}[F(b)-F(a)]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c0c6bcc3608c70aa69b312de04c4d50398ed41)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}fg'\,dx=\left[fg\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}gf'\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3990aae3a04d34ec06c70d5e6a3ab6214fd7033)
