Sách công thức/Sách công thức Toán/Sách công thức đại số

Biến số

Mọi số đại số có giá trị thay đổi

$x=5$

$y=7$

Số tự nhiên

Ký hiệu

$N=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Loại

Số chẳn

Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 có số dư bằng không

$2N=2,4,6,8$

Số lẽ

Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 có số dư bằng một

$2N+1=1,3,5,7,9$

Số nguyên tố

Mọi số tự nhiên chia hết cho một và cho chính nó

$P=1,3,5,7$

Hằng số

Mọi số tự nhiên có giá trị không đổi

$e=2.1314$

$\pi =3.1415$

$C=3\times 10^8$

$\mu =3\times 10^8$

$ϵ=3\times 10^8$

Số nguyên

Ký hiệu

$I=-I<0,0,+I>0$

Loại

Số nguyên dương

$+I=+1,+2,\mathrm{...}+9$

Số nguyên âm

$-I=-1,-2,\mathrm{...}-9$

Số nguyên không

$0$

Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^2$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^2$ $\frac{a}{a}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a\mathrm{...}\times a$ $(-a{)}^n=a^n$ . $n=2m$$(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	$\sqrt{0}=0$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{(-1)}=j$

Phân số

Biểu diển phân số

Phân số là một dạng số đại số có dạng tổng quát

$\frac{a}{b}$

Với

a - Tử số

b - Mẫu số

Thí dụ

$\frac{1}{2}$

Lối dùng phân số

Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là $\frac{1}{2}$

1 phần 3 cái bánh được viết là $\frac{1}{3}$

1 phần n cái bánh được viết là $\frac{1}{n}$

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

• 2 đại lượng bằng nhau

$\frac{a}{b}=1$ khi $a=b$

• 2 đại lượng khác nhau

$\frac{a}{b}>1$ khi $a>b$

$\frac{a}{b}<1$ khi $a<b$

Biểu diển phép tóan chia

$\frac{a}{b}=a/b$

• Khi chia hết

$\frac{a}{b}=c$ . Sao cho $ac=b$ . r = 0

• Khi không chia hết

$\frac{a}{b}=c$. Sao cho $ac+r=b$ . r≠0

• Số thập phân

$\frac{1}{2}=0.5$

$\frac{1}{4}=0.25$

$\frac{1}{8}=0.125$

• Số hửu tỉ

$\frac{1}{3}=\mathrm{0.333333...}$

• Số vô tỉ

$\pi =\mathrm{3.1415...}$

Loại phân số

Hỗn số

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1

Thí dụ

$1\frac{1}{4}$

Chuyển đổi Hỗn số sang phân số

$1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}$
$\frac{5}{4}=1+\frac{1}{4}$
$\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .

Phân số tối giản

$\frac{1}{2}$

của các phân số sẻ là

$\frac{2}{4}$

$\frac{5}{10}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết

Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r

a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b=\frac{a}{c}$

a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b=\frac{a}{c}-\frac{r}{c}$

So sánh phân số

Với hai phân số $\frac{a}{b}$ và$\frac{c}{d}$

Hai phân số bằng nhau khi

$a=c$

$b=d$

Hay

$\frac{ad}{bd}=\frac{bc}{bd}$

$ad=bc$

Hai phân số không bằng nhau khi

$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$

Toán cộng

2 phân số đồng dạng

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+1}{2}=1$

2 phân số khác dạng

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3\times 1+2\times 1}{2\times 3}=\frac{5}{6}$

Toán trừ

2 phân số đồng dạng

$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1-1}{2}=0$

2 phân số khác dạng

$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3\times 1-2\times 1}{2\times 3}=\frac{1}{6}$

Toán nhân

2 phân số đồng dạng

$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1\times 1}{2\times 2}=\frac{1}{4}$

2 phân số khác dạng

$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1\times 1}{2\times 3}=\frac{1}{6}$

Toán chia

2 phân số đồng dạng

$\frac{1}{2}/\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{1}=\frac{2}{2}=1$

2 phân số khác dạng

$\frac{1}{2}/\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{1}=\frac{3}{2}$

Lũy thừa

Ký hiệu

$a^n=a\times a\times a\times a\mathrm{...}\times a$

Toán

Lủy thừa không	$a^0=1$
Lủy thừa 1	$a^1=a$
Lủy thừa của số không	$0^n$
Lủy thừa của số 1	$1^n=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac{m}{n}}=n\sqrt{a^m}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$. $(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a{)}^n=a^n$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab{)}^m=a^m\times b^m$
Lủy thừa của thương hai số	$(\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{a^n}$
Lủy thừa của căn	$(\sqrt{a^n}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^m+a^n=a^m(1+a^{n-m})$ $a^m-a^n=a^m(1-a^{n-m})$ $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)}}=a^n+C_{n-1}{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+C_{1}a{b}^{n-1}+b^n$ $(a+b{)}^0=1$ $(a+b{)}^1=a+b$ $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+2ab+b^2$ $(a+b{)}^3=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)}}$ $(a-b{)}^0=1$ $(a-b{)}^1=a+b$ $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)=a^2-2ab+b^2$ $(a-b{)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^2-b^2=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

Căn

Ký hiệu

$n\sqrt{a}=b$ chỉ khi nào có một lủy thừa $a=b^n$

Toán

Căn và lủy thừa	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$
Căn của số nguyên	$\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$
Căn lủy thừa	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$
Căn thương số	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Căn tích số	$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$
Vô căn	$a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$
Ra căn	$\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$

Log

Ký hiệu

$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$

Toán

Toán Log	$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$
Viết tắc	$Log=Lo{g}_{10}$ $Ln=Lo{g}_2$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Lo{g}_n(A{)}^n=A$
Lũy thừa log	$B^{Lo{g}_B(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log(\frac{A}{B})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^n)=nLogA$
Đổi nền log	$Lo{g}_{a}x=\frac{Logx}{Loga}$

Số phức

Ký hiệu

Số phức	Thuận $Z$	Nghịch $Z^{\ast }$
Biểu diển dưới dạng xy	$Z=x+jy$	$Z=x-jy$
Biểu diển dưới dạng Zθ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }-ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác	$Z=z(cos\theta +jsin\theta )$	$Z=z(cos\theta -jsin\theta )$
Biểu diển dưới lũy thừa của e	$Z=z{e}^{j\theta }$	$Z=z{e}^{-j\theta }$

Toán

Toán Số phức	Toán cộng	Toán trừ	Toán nhân	Toán chia
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$Z=z{e}^{j\theta }$ và $Z=z{e}^{-j\theta }$	$z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$	$z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$	$z^2$	$e^{j2\theta }$

Định lý Demoive

$(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$

Dải số

Dải số cơ bản

Dải số số tự nhiên

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,n$

Dải số số chẳn

$2,4,6,8,\mathrm{...},2n$

Dải số số lẽ

$1,3,5,7,9,\mathrm{...},2n+1$

Toán dải số cơ bản

• Chuổi số . Một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

$s=1+2+3+\mathrm{...}+n$

Ký hiệu

$s=\sum _{i=1}^n{a}_i$

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

$s=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+3+\mathrm{...}+n=k(1+n)$.

Chuổi số

Chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

$s=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+\mathrm{...}+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,\mathrm{...9}$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+\mathrm{...9}=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\mathrm{...}+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\mathrm{...}+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

$(x+y{)}^n$

Công thức tổng quát

Dạng tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$
$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Hằng số trước biến số x

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$s=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots$

Công thức tổng quát

Tổng chuổi số Taylor có dạng tổng quát

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Chuổi số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+\mathrm{...}=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+\mathrm{...}$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$

$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$

$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$

$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$

$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin (x)$

$f(x)=\sin (x)$	$f(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\sin (x)=0+x(1)+\frac{x^2}{2!}(0)+\frac{x^3}{3!}(-1)+\frac{x^5}{5!}(1)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

• $f(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)$	$f(0)=\cos (0)=1$
$f^{\text{'}}(x)=-\sin (x)$	$f^{\text{'}}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\cos (x)=1+x(0)+\frac{x^2}{2!}(-1)+\frac{x^3}{3!}(0)+\frac{x^4}{4!}(1)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}$

Chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau

$\begin{array}{cc}{s}_N(x)& =\stackrel{A_0}{\overbrace{a_0}}/2+\sum _{n=1}^N(\stackrel{A_n\sin ({\varphi }_n)}{\overbrace{a_n}}\cos \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)+\stackrel{A_n\cos ({\varphi }_n)}{\overbrace{b_n}}\sin \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)),\\ \end{array}$

Với

$\begin{array}{cc}{a}_0& =A_0\\ a_n& =A_n\sin ({\varphi }_n)& \text{for }n\ge 1\\ b_n& =A_n\cos ({\varphi }_n)& \text{for }n\ge 1\end{array}$

Giá trị hằng số a,b

$\begin{array}{ccc}{a}_n& =\frac{2}{P}{\int }_{x_0}^{x_0+P}s(x)\cdot \cos \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)dx& \text{for }n\ge 0\\ b_n& =\frac{2}{P}{\int }_{x_0}^{x_0+P}s(x)\cdot \sin \left(\frac{2\pi nx}{P}\right)dx& \text{for }n>0\end{array}$

Dạng tổng của lũy thừa

$\begin{array}{cc}{s}_N(x)& =\sum _{n=-N}^N{c}_n\cdot e^{i\frac{2\pi nx}{P}},\end{array}$

Với

$c_n\triangleq \{\begin{array}{cc}\frac{A_n}{2i}{e}^{i{\varphi }_n}=\frac{1}{2}(a_n-i{b}_n)& \text{for }n>0\\ \frac{1}{2}{A}_0=\frac{1}{2}{a}_0& \text{for }n=0\\ \frac{-A_{-n}}{2i}{e}^{-i{\varphi }_{-n}}=\frac{1}{2}(a_{-n}+i{b}_{-n})=c_{|n|}^{\ast }& \text{for }n<0.\end{array}$

Giá trị hằng số c

$c_n=\frac{1}{P}{\int }_{x_0}^{x_0+P}s(x)\cdot e^{-i\frac{2\pi nx}{P}}dx\text{for }n\in \mathbb{N}$

Ứng dụng

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Biểu thức đại số

Đơn thức

$2x$ , $4yz$

Đa thức

$2x+4yz$

$(2x+3y)+6x/2$

Toán biểu thức

Trong một biểu thức đại số các phép toán được thực hiện theo thứ tự sau

1. Dấu Ngoặc {} , [] , ()
2. Toán Lũy thừa
3. Toán Nhân , Chia
4. Toán Cộng , Trừ

Thí dụ

$(2x+3y)+6x/2$

$2x+3y+3x$

$5x+3y$

$A=2x+5y-3$ , $B=52y-5$

$A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8$

$A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2$

Đẳng thức đại số

Thí dụ

$y=2x+2$

Hằng đẳng thức đại số

Bình phương tổng 2 số đại số

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

Bình phương hiệu 2 số đại số

$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

Tổng 2 bình phương

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab=\frac{(a+b{)}^2+(a+b{)}^2}{2}$

Hiệu 2 bình phương

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2$

Tổng 2 lập phương

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a^3-a^{2}b+a{b}^2)+(a^{2}b-a{b}^2+b^3)$

Hiệu 2 lập phương

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a^3+a^{2}b+a{b}^2)+(-a^{2}b-a{b}^2-b^2)$

Ngoài ra

$2(a^2+b^2)=(a+b{)}^2+(a-b{)}^2$

$8ab=(a+b{)}^2-(a-b{)}^2$

Bất đẳng thức đại số

Bất Đẳng Thức Đại Số là một biểu thức đại số có hai vế ngăn cách bởi dấu > hay <

Thí Dụ

2x > 5

2x + y > 5

2x 5 < 5

2x + y < 5

Hàm số

Ký hiệu

$f(x)$ , $f(x,y)$ , $f(x,y,z)$

Thí dụ

$f(x)=2x$

$f(x,y)=2x+3y$

$f(x,y,z)=2x+3y+4z$

Phương trình

Ký hiệu

$f(x)=0$

Giải phương trình

Phương trình và giải phương trình đường thẳng

$ax+b=0$

$x+\frac{b}{a}=0$

$x=-\frac{b}{a}$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ :$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ v$x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_o=0$