Sách công thức/Sách công thức Toán/Sách công thức đại số

Biến số

Mọi số đại số có giá trị thay đổi

$x=5$

$y=7$

Số tự nhiên

Ký hiệu

$N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$

Loại

Số chẳn

Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 có số dư bằng không

$2N={2,4,6,8}$

Số lẽ

Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 có số dư bằng một

$2N+1={1,3,5,7,9}$

Số nguyên tố

Mọi số tự nhiên chia hết cho một và cho chính nó

$P={1,3,5,7}$

Hằng số

Mọi số tự nhiên có giá trị không đổi

$e=2.1314$

$\pi =3.1415$

$C=3\times 10^{8}$

$\mu =3\times 10^{8}$

$\epsilon =3\times 10^{8}$

Số nguyên

Ký hiệu

$I=-I<0,0,+I>0$

Loại

Số nguyên dương

$+I=+1,+2,...+9$

Số nguyên âm

$-I=-1,-2,...-9$

Số nguyên không

$0$

Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^{2}$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^{2}$ ${\frac {a}{a}}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^{0}=1$ $a^{n}=a\times a\times a...\times a$ $(-a)^{n}=a^{n}$ . $n=2m$$(-a)^{n}=-a^{n}$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	${\sqrt {0}}=0$ ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {(-1)}}=j$

Phân số

Biểu diển phân số

Phân số là một dạng số đại số có dạng tổng quát

${\frac {a}{b}}$

Với

a - Tử số

b - Mẫu số

Thí dụ

${\frac {1}{2}}$

Lối dùng phân số

Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là ${\frac {1}{2}}$

1 phần 3 cái bánh được viết là ${\frac {1}{3}}$

1 phần n cái bánh được viết là ${\frac {1}{n}}$

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

• 2 đại lượng bằng nhau

${\frac {a}{b}}=1$ khi $a=b$

• 2 đại lượng khác nhau

${\frac {a}{b}}>1$ khi $a>b$

${\frac {a}{b}}<1$ khi $a<b$

Biểu diển phép tóan chia

${\frac {a}{b}}=a/b$

• Khi chia hết

${\frac {a}{b}}=c$ . Sao cho $ac=b$ . r = 0

• Khi không chia hết

${\frac {a}{b}}=c$. Sao cho $ac+r=b$ . r≠0

• Số thập phân

${\frac {1}{2}}=0.5$

${\frac {1}{4}}=0.25$

${\frac {1}{8}}=0.125$

• Số hửu tỉ

${\frac {1}{3}}=0.333333...$

• Số vô tỉ

$\pi =3.1415...$

Loại phân số

Hỗn số

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1

Thí dụ

$1{\frac {1}{4}}$

Chuyển đổi Hỗn số sang phân số

$1{\frac {1}{4}}={\frac {5}{4}}={\frac {4}{4}}+{\frac {1}{4}}$
${\frac {5}{4}}=1+{\frac {1}{4}}$
${\frac {5}{4}}=1{\frac {1}{4}}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .

Phân số tối giản

${\frac {1}{2}}$

của các phân số sẻ là

${\frac {2}{4}}$

${\frac {5}{10}}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết

Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r

a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}$

a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}-{\frac {r}{c}}$

So sánh phân số

Với hai phân số ${\frac {a}{b}}$ và${\frac {c}{d}}$

Hai phân số bằng nhau khi

$a=c$

$b=d$

Hay

${\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}$

$ad=bc$

Hai phân số không bằng nhau khi

${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}$

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

Toán cộng

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1+2\times 1}{2\times 3}}={\frac {5}{6}}$

Toán trừ

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1-1}{2}}=0$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1-2\times 1}{2\times 3}}={\frac {1}{6}}$

Toán nhân

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1\times 1}{2\times 2}}={\frac {1}{4}}$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1\times 1}{2\times 3}}={\frac {1}{6}}$

Toán chia

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{1}}={\frac {2}{2}}=1$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}$

Lũy thừa

Ký hiệu

$a^{n}=a\times a\times a\times a...\times a$

Toán

Lủy thừa không	$a^{0}=1$
Lủy thừa 1	$a^{1}=a$
Lủy thừa của số không	$0^{n}$
Lủy thừa của số 1	$1^{n}=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac {m}{n}}=n{\sqrt {a^{m}}}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$. $(-a)^{n}=-a^{n}$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a)^{n}=a^{n}$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab)^{m}=a^{m}\times b^{m}$
Lủy thừa của thương hai số	$({\frac {a}{b}})^{m}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$
Lủy thừa của căn	$({\sqrt {a^{n}}})^{m}=a^{\frac {m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^{m}+a^{n}=a^{m}(1+a^{n-m})$ $a^{m}-a^{n}=a^{m}(1-a^{n-m})$ $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ $a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b)^{n}=\underbrace {(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)} _{n}=a^{n}+C_{n-1}a^{n-1}b+...+C_{1}ab^{n-1}+b^{n}$ $(a+b)^{0}=1$ $(a+b)^{1}=a+b$ $(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{3}=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b)^{n}=\underbrace {(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)} _{n}$ $(a-b)^{0}=1$ $(a-b)^{1}=a+b$ $(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a-b)^{3}=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^{2}-b^{2}=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$

Căn

Ký hiệu

$n{\sqrt {a}}=b$ chỉ khi nào có một lủy thừa $a=b^{n}$

Toán

Căn và lủy thừa	$n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}$
Căn của số nguyên	${\sqrt {0}}=Error$ ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {-1}}=j$
Căn lủy thừa	${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}$
Căn thương số	${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
Căn tích số	${\sqrt {ab}}$ = ${\sqrt {a}}$ ${\sqrt {b}}$
Vô căn	$a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}$
Ra căn	${\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}$

Log

Ký hiệu

$Log_{a}b=c$ khi có $a^{c}=b$

Toán

Toán Log	$Log_{a}b=c$ khi có $a^{c}=b$
Viết tắc	$Log=Log_{10}$ $Ln=Log_{2}$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Log_{n}(A)^{n}=A$
Lũy thừa log	$B^{Log_{B}(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log({\frac {A}{B}})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^{n})=nLogA$
Đổi nền log	$Log_{a}x={\frac {Logx}{Loga}}$

Số phức

Ký hiệu

Số phức	Thuận $Z$	Nghịch $Z^{*}$
Biểu diển dưới dạng xy	$Z=x+jy$	$Z=x-jy$
Biểu diển dưới dạng Zθ	$Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}$	$Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle -tan^{-1}{\frac {y}{x}}$
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác	$Z=z(cos\theta +jsin\theta )$	$Z=z(cos\theta -jsin\theta )$
Biểu diển dưới lũy thừa của e	$Z=ze^{j\theta }$	$Z=ze^{-j\theta }$

Toán

Toán Số phức	Toán cộng	Toán trừ	Toán nhân	Toán chia
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^{2}-y^{2}$	${\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^{2}-y^{2}$	${\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^{2}-y^{2}$	${\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}$
$Z=ze^{j\theta }$ và $Z=ze^{-j\theta }$	$z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$	$z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$	$z^{2}$	$e^{j2\theta }$

Định lý Demoive

$(Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta$

Dải số

Dải số cơ bản

Dải số số tự nhiên

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,n$

Dải số số chẳn

$2,4,6,8,...,2n$

Dải số số lẽ

$1,3,5,7,9,...,2n+1$

Toán dải số cơ bản

• Chuổi số . Một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

$s=1+2+3+...+n$

Ký hiệu

$s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

$s=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+3+...+n=k(1+n)$.

Chuổi số

Chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

$s=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}$

$S-rS=a-ar^{n}$

$S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S={\frac {a}{1-r}}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4$

$1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15$

Chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

$(x+y)^{n}$

Công thức tổng quát

Dạng tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$
$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

Với

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Thí dụ

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

Hằng số trước biến số x

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$s=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots$

Công thức tổng quát

Tổng chuổi số Taylor có dạng tổng quát

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Chuổi số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_{0}$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}$

$f^{'}(0)=a_{1}$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}$

$f^{''}(0)=2a_{2}$

$a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}$

$f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}$

$a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thế $a_{0},a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin(x)$

$f(x)=\sin(x)$	$f(0)=\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\sin(x)$	$f^{''}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}$

• $f(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x)$	$f(0)=\cos(0)=1$
$f^{'}(x)=-\sin(x)$	$f^{'}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}$

Chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau

${\begin{aligned}s_{N}(x)&=\overbrace {a_{0}} ^{A_{0}}/2+\sum _{n=1}^{N}\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right),\\\end{aligned}}$

Với

${\begin{aligned}a_{0}&=A_{0}\\a_{n}&=A_{n}\sin(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\\b_{n}&=A_{n}\cos(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

Giá trị hằng số a,b

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n\geq 0\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n>0\end{aligned}}$

Dạng tổng của lũy thừa

${\begin{aligned}s_{N}(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}},\end{aligned}}$

Với

$c_{n}\ \triangleq \ {\begin{cases}{\frac {A_{n}}{2i}}e^{i\phi _{n}}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{for }}n>0\\{\frac {1}{2}}A_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}&{\text{for }}n=0\\{\frac {-A_{-n}}{2i}}e^{-i\phi _{-n}}={\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})=c_{|n|}^{*}&{\text{for }}n<0.\end{cases}}$

Giá trị hằng số c

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\quad {\text{for }}n\in \mathbb {N}$

Ứng dụng

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}{c}=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}{k}={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{k=0}^{n}{k^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{k=0}^{n}{k^{3}}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =e^{x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\ln(1+x)\quad {\text{ for }}|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos(x)\quad {\text{ for all }}x\in \mathbb {C}$

Biểu thức đại số

Đơn thức

$2x$ , $4yz$

Đa thức

$2x+4yz$

$(2x+3y)+6x/2$

Toán biểu thức

Trong một biểu thức đại số các phép toán được thực hiện theo thứ tự sau

1. Dấu Ngoặc {} , [] , ()
2. Toán Lũy thừa
3. Toán Nhân , Chia
4. Toán Cộng , Trừ

Thí dụ

$(2x+3y)+6x/2$

$2x+3y+3x$

$5x+3y$

$A=2x+5y-3$ , $B=52y-5$

$A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8$

$A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2$

Đẳng thức đại số

Thí dụ

$y=2x+2$

Hằng đẳng thức đại số

Bình phương tổng 2 số đại số

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Bình phương hiệu 2 số đại số

$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Tổng 2 bình phương

$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab={\frac {(a+b)^{2}+(a+b)^{2}}{2}}$

Hiệu 2 bình phương

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}$

Tổng 2 lập phương

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=(a^{3}-a^{2}b+ab^{2})+(a^{2}b-ab^{2}+b^{3})$

Hiệu 2 lập phương

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=(a^{3}+a^{2}b+ab^{2})+(-a^{2}b-ab^{2}-b^{2})$

Ngoài ra

$2(a^{2}+b^{2})=(a+b)^{2}+(a-b)^{2}$

$8ab=(a+b)^{2}-(a-b)^{2}$

Bất đẳng thức đại số

Bất Đẳng Thức Đại Số là một biểu thức đại số có hai vế ngăn cách bởi dấu > hay <

Thí Dụ

2x > 5

2x + y > 5

2x 5 < 5

2x + y < 5

Hàm số

Ký hiệu

$f(x)$ , $f(x,y)$ , $f(x,y,z)$

Thí dụ

$f(x)=2x$

$f(x,y)=2x+3y$

$f(x,y,z)=2x+3y+4z$

Phương trình

Ký hiệu

$f(x)=0$

Giải phương trình

Phương trình và giải phương trình đường thẳng

$ax+b=0$

$x+{\frac {b}{a}}=0$

$x=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+{\frac {b}{a}}=0$ $x=-{\frac {b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$ax^{2}+bx+c=0$	$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ :$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$ $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$. $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$. $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$. $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $ax^{n}+b=0$ $ax^{n}=-b$ v$x^{n}=-{\frac {b}{a}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{o}=0$