Có 6 hàm số lượng giác cơ bản được định nghỉa như ở dưới đây
Hàm số lượng giác cơ bản |
![{\displaystyle \cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184ba70c3a71df25a25c09f34cd7f8175a9b5280) |
![{\displaystyle \sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09b4b55580d6a821a07ad9fe35be88976917b10b) |
![{\displaystyle \tan x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3983a722002d77dd3d0babab871c50488aef9f4b) |
![{\displaystyle \cot x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/905c0a51e91def9119e96c665363c5853f030a96) |
![{\displaystyle \sec x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32c8904bcf644b6f3ab015742047994329f741bf) |
|
Tam giác vuông
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Rtriangle.svg/150px-Rtriangle.svg.png) |
![{\displaystyle {\frac {b}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e314d16017f813ae5a1423bf1c20fcf80062d3d) |
![{\displaystyle {\frac {a}{c}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80360da5dd0b679fc5403715f2c96a7c24db3035) |
![{\displaystyle {\frac {a}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbb66e57f89debc3cde3213de12228971148a93) |
![{\displaystyle {\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30304b82a801ef33eaf4c0c0306aa6966e83d2f3) |
![{\displaystyle {\frac {1}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea76afe40f2d2831e768f5810adfea19db57d3cb) |
|
Dạng Số phức |
![{\displaystyle {\frac {Z+Z^{*}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934a5878b09e0bc700b8910fb06c7af09135b824) |
|
Dạng chuổi số cộng |
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acae8e398e90fb2d755b0bec495278505cb3a7e8) |
|
Dạng Chuổi số tích |
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765f14f6990d0251ea413fc6f9583aefc3e5e74e) |
|
Định nghĩa Giải tích |
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}sinx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96bdecad751e682e47ea11ade89f98575dc8bc9) |
|
Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:
![{\displaystyle \sin(x)=\sin(x+k2\pi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8266b568f1d79a5b902efaceeb2e45603592eb56)
![{\displaystyle \cos(x)=\cos(x+k2\pi )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fa8bad653ce0bd01607975a4102f0fa2d730bc)
![{\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051b80116c790d5463b208af0c6a32a22024c679)
![{\displaystyle \cos(-x)=\;\cos(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246dbac585a6f46f00ed729645deeb52b55e910b)
![{\displaystyle sin(x)=cos(x+{\frac {\pi }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7856522f537e98c71db4270e0729727d5505e3b1)
![{\displaystyle cos(x)=sin(x-{\frac {\pi }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a449f5de929a4805b13912c8f8e725e0a115dd76)
Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:
![{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5043bef43ac5ae80e8aca9496a04da16b03c4592)
với
![{\displaystyle \varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97047dc84bcd481ed09b268e53e6451e3a950e6b)
Đồ thị hàm số lượng giác cơ bản
[sửa]
Function
|
Period
|
Domain
|
Range
|
Graph
|
sine
|
|
|
|
|
cosine
|
|
|
|
|
tangent
|
|
|
|
|
secant
|
|
|
|
|
cosecant
|
|
|
|
|
cotangent
|
|
|
|
|
Phép toán hàm số lượng giác cơ bản
[sửa]
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.
![{\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9cf10155d3b5728146762b9ee10d6ed216c31f)
![{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d0015eca8076a13b8b5b365cfa3e6e8d5f5edc)
![{\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199100c934d04b31fe8570ec3b8d9664cb344530)
Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.
Ví dụ của trường hợp n = 3:
![{\displaystyle \sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3cedf55d3d02c02f6597f8ab2c5b8c6f5bd5c0c)
![{\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c5381351b6a8263da008bf9dfc3177dc7312069)
Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì
![{\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b4526d844a586f31270b00723b66d3beb405e5)
công thức de Moivre:
![{\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e59c63b3c8c62909f3c80ad2f95b4aa5730915)
Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:
![{\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933722afe18e7a0c853fe0f07b427494892b0249)
![{\displaystyle ={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5222690c581562dc1d17965d4767c8528577cd41)
Hay theo công thức hồi quy:
![{\displaystyle \sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d6bcd32dd657cb8cee2c34776d694477f76714)
=
Công thức góc chia đôi
[sửa]
![{\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b0d527375ffd7ada07573a2cf511cca943c94b)
![{\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4739313b0ccc5f43551f1e23731469bea5d939)
![{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efeb13dfc21168f505cb0b2f5c78b69019b93c6b)
Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
![{\displaystyle ={\sin x \over 1+\cos x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d08702df0ed94f1de806e23f8f9de7777ed0fbf)
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
![{\displaystyle ={1-\cos x \over \sin x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c024c3223eb65c4a893a3edf99d53ad8bddd32)
Suy ra:
![{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bd1dc644f95c82d6da5bb8f9a4feea93584086)
Nếu
![{\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd9c31dd472e898ca3b507a1c8f6815262d6ddc)
thì:
|
|
and |
|
and |
|
Công thức tổng của 2 góc
[sửa]
![{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e863739245ff9022e0766723a53d52f05fc06017)
![{\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6c1f8820258d3db350d332f76ccd8b12a3900c)
![{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e61dc2e968f668490946873abead195285aadc)
![{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19591ce2ca5a648bfea8756400af76bae26b238f)
![{\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed18ebf0c0152aea976cfbc8c82786eb14038de9)
![{\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ddaa42d7cea79ee4b850007750a10ec97ce0fa7)
Công thức hiệu của 2 góc
[sửa]
![{\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e881a8119150497d49cff66cd28e3bf03aa592d6)
![{\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef8ff180ff764621c697ccbce00d1f9042abf8b)
![{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e158e73ca5e37db4eb86667c8c7edb37c2e0f21)
![{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586f8ea2974b9d94d02531340db674fd38898674)
![{\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918d27139ca23ee2095ffae2fd977c92a07cec61)
![{\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fd752024fcc21715afdd07c3323d3d755eb7ca)
Công thức tích 2 góc
[sửa]
![{\displaystyle \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8eddd094d926c2069fe1ba05afde64c866ac38)
![{\displaystyle \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb9298c2feb18609cdd19e822da5937ad02c8f2)
![{\displaystyle \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84f781fcf25789afe9ad25ba6753992b9661af0)
Công thức lũy thừa của góc
[sửa]
![{\displaystyle \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2510372d9500a21f5edbb96a2e1d34974250074d)
![{\displaystyle \sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d496ff2701236fd04a8c445209cbeba24fa47872)
![{\displaystyle \sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2670fb5332ee6bc30ba35a8808a4670f23d612)
![{\displaystyle \sin ^{3}(x)={\frac {2\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97e458ef50a86e3998e6418ec8c4e582eee3f6f)
![{\displaystyle \cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d558e0c5bf1e1579c8cc6a8ddc147a9e606304)