Sách công thức/Sách công thức lượng giác

Điểm

Điểm được hiểu như là một đối tượng trong không gian có kích thước mọi chiều bằng không. Một dấu chấm nhỏ có thể được coi là hình ảnh của điểm . Một điểm cũng là một hình hình học.

Một điểm thường được biểu diễn bằng một dấu • Tên của một điểm thường được kí hiệu bằng một chữ cái La tinh in hoa như A, B, C, M, N... hoặc hiếm hơn là các chữ cái Hy Lạp.

. A

Mỗi đường là tập hợp vô số các điểm. Ví dụ: đường tròn là tập hợp các điểm có cùng bán kính và tâm, đường thẳng, các đường conic (elip, parabol, hyperbol, đường tròn)... Điểm A có thể biểu diển như sau

Thí dụ

Trong tọa độ XY và tọa độ Rθ .

Điểm gốc có tọa độ điểm	(0,0)
Điểm bất kỳ có tọa độ điểm	(x,y) , (R,θ)

Đường thẳng

Đường thẳng vuông góc

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông 90^o sẻ tạo ra hai Đường thẳng vuông góc voi nhau

Hai đường thẳng vuông góc có ký hiệu $\perp$

$AB\perp CD$

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD

Tính chất 2 đường thẳng vuông góc

Góc B đỏ = Góc B xanh = 90^o

Góc B đỏ + Góc B xanh = 90^o + 90^o = 180^o

Góc B đỏ = 180^o - Góc B xanh

Góc B xanh = 180^o - Góc B đỏ

Đường thẳng song song

Khi hai đường thẳng không cắt nhau tại bất ký một điểm sẻ tạo ra hai Đường thẳng song song . Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung . Hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song

A ------------- B

C ------------- D

Ký hiệu đường thẳng song song $//$

AB // CD

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

1. Hai góc so le trong bằng nhau;
2. Hai góc đồng vị bằng nhau;
3. Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Góc

Khi hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm sẽ tạo ra một góc giữa hai đường thẳng . Góc có ký hiệu $\angle$ . Thí dụ 2 đường thẳng AB và AC cắt nhau tại một điểm a tạo ra góc A : $\angle A$

Góc đo bằng đơn vị Độ ^o hay Radian Rad

$1rad={\frac {180^{o}}{\pi }}$

$1^{o}={\frac {\pi }{180^{o}}}$

Thí dụ : Góc A bằng 30^o

$\angle A=30^{0}={\frac {\pi }{6}}rad$

Bảng liệt kê các loại góc

Thể loại góc	Hình	Định nghỉa
Góc nhọn		Góc nhọn là góc nhỏ hơn 90°
Góc vuông		Góc vuông là góc bằng 90° (1/4 vòng tròn);
Góc tù		Góc tù là góc lớn hơn 90° nhưng nhỏ hơn 180°
Góc bẹt		Góc bẹt là góc 180° (1/2 vòng tròn).
Góc phản		Góc phản là góc lớn hơn 180° nhưng nhỏ hơn 360°
Góc đầy		Góc đầy là góc bằng 360° (toàn bộ vòng tròn).

Hàm số lượng giác

Định nghỉa

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tam giác vuông	${\frac {b}{c}}$	${\frac {a}{c}}$	${\frac {a}{b}}$	${\frac {b}{a}}$	${\frac {1}{b}}$	${\frac {1}{a}}$
Đồ thị

Tính chất

Công thức góc Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,$	$\sin(-x)=-\sin(x)\,$	$\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,$	$\cos(-x)=\;\cos(x)\,$	$\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\tan(x)=\tan(x+k\pi )\,$	$\tan(-x)=-\tan(x)\,$	$\tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
	$\cot(-x)=-\cot(x)\,$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )$

với

$\varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;$

Đẳng thức lượng giác

Công thức góc bội

• Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

• Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

• Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,$

công thức de Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;$

$={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)$

$\cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)$=

Công thức góc chia đôi

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}$

$={\sin x \over 1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}$

$={1-\cos x \over \sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.$

Nếu

$t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),$

thì:

$\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

and

$\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

and

$e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.$

Công thức tổng của 2 góc

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

Công thức hiệu của 2 góc

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Công thức tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;$

Công thức lũy thừa của góc

$\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}$

$\sin ^{3}(x)={\frac {2\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}$

$\cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}$

Hàm số lượng giác nghịch

Định nghỉa

6 Công thức hàm số lượng giác cơ bản định nghỉa tương quan giửa các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos ^{-1}x$	$\sin ^{-1}x$	$\tan ^{-1}x$	$\cot ^{-1}x$	$\sec ^{-1}x$	$\csc ^{-1}x$
Tam giác vuông	${\frac {b}{c}}$	${\frac {a}{c}}$	${\frac {a}{b}}$	${\frac {b}{a}}$	${\frac {1}{b}}$	${\frac {1}{a}}$
Đồ thị

Tính chất

Chuổi Số

Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:

${\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

${\begin{matrix}\operatorname {arccsc} z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1$

${\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1$

${\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1$

Tích Phân

Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.

$\arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1$

$\arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1$

$\arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R}$

$\operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0$

$\operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1$

$\operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1$

Số Phức

Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến số phức|phức:

$\arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)$

$\arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)$

$\arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)$