Sách công thức/Sách công thức Toán/Sách công thức vector/Biểu thị vector

Biểu thị vector

Mọi vector A đều có thể biểu diển bằng cường độ vector nhân với vector đơn vị như dưới đây

${\vec {A}}=A{\vec {a}}$

Với

${\vec {A}}$ - Vector

${\vec {A}}=A$ . Cường độ vector

${\vec {A}}={\vec {a}}$ . Vector 1 đơn vị

Cường độ vector

$A={\frac {\vec {A}}{a}}$

Vector 1 đơn vị

${\vec {a}}={\frac {\vec {A}}{a}}$

Vector trong hệ toa. độ x,y,z

Biểu thị

Vector 1 đơn vị trong không gian 3 chiều x,y,z

${\hat {\mathbf {i} }}+{\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {k} }}$

Vector bất kỳ ${\mathbf {v} }$

${\mathbf {v} }=A_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+A_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+A_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

The hat on the i, j, k signifies that it is a unit vector.

Toán Vector

Cường độ Vector

$V_{mag}={\sqrt {{A_{x}}^{2}+{A_{y}}^{2}+{A_{z}}^{2}}}$

Tích hằng số với vector

${\mathbf {v} _{new}}=cA_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+cA_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+cA_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

Cộng 2 Vector

${\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }=(A_{x}+B_{x}){\hat {\mathbf {i} }}+(A_{y}+B_{y}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{z}+B_{z}){\hat {\mathbf {k} }}$

Notice

${\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }={\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }$

Trừ 2 Vector

${\mathbf {A} }-{\mathbf {B} }=(A_{x}-B_{x}){\hat {\mathbf {i} }}+(A_{y}-B_{y}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{z}-B_{z}){\hat {\mathbf {k} }}$

Notice

${\mathbf {A} }-{\mathbf {B} }=-(-{\mathbf {A} }+{\mathbf {B} })$

Tích cường độ

${\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }=A_{x}.B_{x}+A_{y}.B_{y}+A_{z}.B_{z}$

Notice

${\mathbf {B} }.{\mathbf {A} }={\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }$

Notice that if

${\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$ this reduces to a square.

Tích 2 Vector

${\mathbf {A} }{\rm {x}}{\mathbf {B} }=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}){\hat {\mathbf {i} }}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}){\hat {\mathbf {k} }}$

Notice

${\mathbf {B} }{\rm {x}}{\mathbf {A} }=-{\mathbf {A} }{\rm {x}}{\mathbf {B} }$

Vector nhiều biến số

In this section we shall consider the vector space $\mathbb {R} ^{3}$ over reals with the basis ${\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}$.

We now wish to deal with some of the introductory concepts of vector calculus.

Vector và cường độ

Cho $C:\mathbb {R} ^{3}\to F$ . Với $F$ Trường Vector . Vậy Cường độ trường vector $C$

Cho $V$ là không gian vector . Cho $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to V$ . Vậy $\mathbf {F}$ là trường vector có tương quan với vector $V$ với mọi điểm $\mathbb {R} ^{3}$.

Biến đổi biến số

Cho $C$ là cường độ trường vector và định nghỉa Biến đổi biến số là toán thực thi trên vector $\nabla$ liên kết giửa trường vector $C$ và vector $\mathbb {R} ^{3}$ sao cho

$\nabla C=\left({\frac {\partial C}{\partial x}},{\frac {\partial C}{\partial y}},{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)$

Biến đổi biến số của một vector

$\nabla C={\frac {\partial C}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial C}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}{\hat {z}}$

We shall encounter the physicist's notion of "operator" before defining it formally in the chapter Hilbert Spaces. It can be loosely thought of as "a function of functions"

Divergence

Let $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ be a vector field and let $\mathbf {F}$ be differentiable.

We define the divergence as the operator

$(\nabla \cdot )$ mapping $\mathbf {F}$ to a scalar such that

Divergence of vector

$(\nabla \cdot \mathbf {F} )={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Curl

Let $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ be a vector field and let $\mathbf {F}$ be differentiable.

We define the curl as the operator

$(\nabla \times )$ mapping $\mathbf {F}$ to a linear transformation from $\mathbb {R} ^{3}$ onto itself such that the linear transformation can be expressed as the matrix

Curl vector

$(\nabla \times \mathbf {F} )_{ij}={\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}$ written in short as $(\nabla \times \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}$. Here, $x_{1},x_{2},x_{3}$ denote $x,y,z$ and so on.

The curl can be explicitly given by the matrix

$\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}0&\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}&\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{2}&0&\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}\\\partial _{2}F_{1}-\partial _{1}F_{3}&\partial _{3}F_{2}-\partial _{2}F_{3}&0\\\end{pmatrix}}$

This notation is also sometimes used to denote the vector exterior or cross product,

$\nabla \times \mathbf {F} =(\partial _{2}F_{3}-\partial _{3}F_{2}){\hat {x}}+(\partial _{1}F_{3}-\partial _{3}F_{1}){\hat {y}}+(\partial _{1}F_{2}-\partial _{2}F_{1}){\hat {z}}$