Sách đại số/Số đại số/Hằng số/Hằng số e

Bản mẫu:Mvar thỉnh thoảng còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người birminh hamLeonhard Euler (không nên nhầm lẫn với hằng số Euler–Mascheroni Bản mẫu:Math, còn được gọi tắt là hằng số Euler), hoặc hằng số Napier. Tuy nhiên, ký hiệu Bản mẫu:Mvar của Euler được cho là đã được giữ lại để vinh danh ông. Hằng số này được tìm ra bởi nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khi nghiên cứu về lãi kép.

Số Bản mẫu:Mvar có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, π và [[Đơn vị ảo|Bản mẫu:Mvar]]. Cả năm số này đều đóng vai trò không thể thiếu trong toán học và cùng xuất hiện trong một phương trình của đồng nhất thức Euler. Giống như hằng số π, Bản mẫu:Mvar là một số vô tỉ (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là số siêu việt (không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ). Giá trị của Bản mẫu:Mvar đến 50 chữ số thập phân là:Bản mẫu:Block indent

Lịch sử

Hằng số Bản mẫu:Mvar được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của John Napier về logarit, nhưng lại không nhắc đến trực tiếp về Bản mẫu:Mvar mà chỉ liệt kê danh sách các logarit được tính từ nó. Bảng này được thừa nhận là do William Oughtred viết ra. Jacob Bernoulli đã tìm ra chính hằng số Bản mẫu:Mvar vào năm 1683 khi tìm giá trị của biểu thức

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Hằng số này được sử dụng lần đầu tiên với ký hiệu là Bản mẫu:Math trong bức thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691. Leonhard Euler trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731 đã gọi chữ cái Bản mẫu:Mvar là cơ số của logarit tự nhiên. Euler bắt đầu sử dụng chữ Bản mẫu:Mvar để ký hiệu cho hằng số vào khoảng 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, và Bản mẫu:Mvar chỉ xuất hiện trong xuất bản phẩm lần đầu vào năm 1736 trong cuốn Mechanica của ông. Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ Bản mẫu:Math trong những năm sau đó, nhưng chữ Bản mẫu:Mvar dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Trong toán học, cách phổ biến nhất là viết hằng số thành chữ "Bản mẫu:Mvar" in nghiêng, nhưng tiêu chuẩn ISO 80000-2 khuyến nghị sắp chữ các hằng số theo kiểu thẳng đứng như các chữ cái thông thường.

Ứng dụng

Lãi kép

Kết quả khi nhận lãi suất 20% mỗi năm trên khoản đầu tư 1.000 đô la theo nhiều chu kỳ tính lãi khác nhau

Jacob Bernoulli tìm ra hằng số Bản mẫu:Mvar vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép:Bản mẫu:QuoteNếu lãi được tính hai lần trong năm thì lãi suất cho mỗi 6 tháng sẽ là 50%, do đó 1 đô la ban đầu được nhân hai lần cho 1,5 để có 1,00 × 1,5² = 2,25 đô la vào cuối năm. Khi tính lãi theo quý thì ta có 1,00 × 1,25⁴ = 2,4414… đô la, còn tính lãi theo tháng được 1,00 × (1 + 1/12)¹² = 2,613035… đô la. Nếu có Bản mẫu:Math khoảng thời gian tính lãi thì lãi suất trên mỗi khoảng là Bản mẫu:Math và số dư vào cuối năm là 1,00 × Bản mẫu:Math.

Bernoulli nhận thấy chuỗi này tiến dần về một giới hạn với Bản mẫu:Math càng lớn và khoảng thời gian tính lãi càng nhỏ. Tính lãi theo tuần (Bản mẫu:Math) được 2,692597... đô la, còn tính lãi theo ngày (Bản mẫu:Math) thì được 2,714567... đô la, chỉ nhiều hơn hai xu. Giới hạn khi Bản mẫu:Math tăng lên chính là số Bản mẫu:Mvar; khi tính lãi liên tục thì số dư của tài khoản tiệm cận đến 2,7182818... đô la.

Tổng quát hơn, một tài khoản có số dư ban đầu là 1 đô la và nhận lãi suất hằng năm là Bản mẫu:Math thì sau Bản mẫu:Math năm sẽ nhận được Bản mẫu:Math đô la khi tính lãi liên tục. (Ở đây Bản mẫu:Math là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, do đó với lãi suất 5% thì Bản mẫu:Math.)

Phép thử Bernoulli

Biểu đồ xác suất P để một biến cố độc lập với xác suất xảy ra là 1/n không xảy ra sau n phép thử Bernoulli và so sánh 1 − P và n. Có thể thấy khi n tăng thì xác suất để một biến cố với xác suất xảy ra 1/n không xảy ra sau n lần thử tiệm cận rất nhanh về 1/e.

Số Bản mẫu:Mvar cũng có ứng dụng trong lý thuyết xác suất, nảy sinh từ một vấn đề không liên quan rõ ràng với lũy thừa. Giả sử một người chơi một máy đánh bạc Bản mẫu:Math lần và xác suất để thắng là một phần Bản mẫu:Math. Với Bản mẫu:Math lớn (chẳng hạn như một triệu) thì xác suất để người đó thua mọi lần gần bằng Bản mẫu:Math. Với Bản mẫu:Math thì tỉ số này đã gần bằng 1/2,79.

Đó là một ví dụ về phép thử Bernoulli. Mỗi lần người đó chơi máy thì xác suất để thắng là một trên một triệu. Một triệu lần chơi như thế được mô hình hóa bằng phân phối nhị thức, vốn có liên hệ mật thiết với định lý nhị thức và tam giác Pascal. Xác suất để thắng Bản mẫu:Math lần trên một triệu lần chơi là

${\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}\left(1-10^{-6}\right)^{10^{6}-k}.$

Đặc biệt, xác suất để người đó không thắng lần nào (Bản mẫu:Math) là

$\left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}},$

rất gần với giới hạn

$\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}={\frac {1}{e}}.$

Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

Điều kiện phương sai bằng 1 (độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số Bản mẫu:Sfrac trong số mũ, và điều kiện tổng diện tích dưới đường cong Bản mẫu:Math bằng 1 dẫn đến tỷ số $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$. Hàm số này đối xứng quanh Bản mẫu:Math, tại đó nó đạt giá trị lớn nhất $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$, và có các điểm uốn tại Bản mẫu:Math.

Hoán vị vô trật tự

Một ứng dụng khác của Bản mẫu:Mvar, vốn do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort tìm ra, nằm trong bài toán về hoán vị vô trật tự hay còn gọi là bài toán trả mũ. Có Bản mẫu:Math vị khách được mời đến một bữa tiệc và đều phải trả mũ của họ cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào Bản mẫu:Math hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được đặt đúng vào hộp của vị khách đó. Câu trả lời là

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Khi số vị khách Bản mẫu:Math tiến đến vô hạn thì Bản mẫu:Math tiệm cận về Bản mẫu:Math. Hơn nữa, số cách xếp mũ vào hộp để biến cố trên xảy ra là Bản mẫu:Math (làm tròn đến hàng đơn vị) với Bản mẫu:Math là số dương.

Bài toán kế hoạch tối ưu

Một gậy chiều dài Bản mẫu:Mvar bị vỡ thành Bản mẫu:Mvar mảnh có độ dài bằng nhau. Giá trị của Bản mẫu:Mvar để tích các độ dài này lớn nhất là

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ hay $n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor +1,$

vì $x^{-1}\ln x$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=e$ (bài toán Steiner, xem dưới đây). Đại lượng $x^{-1}\ln x$ là một độ đo lượng thông tin thu được từ một biến cố xảy ra với xác suất $1/x$, do đó phép chia tối ưu trên xuất hiện trong các bài toán kế hoạch tối ưu, chẳng hạn như bài toán thư ký.

Tiệm cận

Số Bản mẫu:Mvar xuất hiện khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự xuất hiện của cả hai số Bản mẫu:Mvar và π:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Từ đó

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$

Trong vi tích phân

Đồ thị của hàm Bản mẫu:Math với Bản mẫu:Math (đường kẻ chấm), Bản mẫu:Math (đường màu xanh) và Bản mẫu:Math (đường nét đứt). Chúng đều đi qua điểm Bản mẫu:Math, nhưng đường màu đỏ (hệ số góc là Bản mẫu:Math) chỉ là tiếp tuyến của hàm Bản mẫu:Math tại đó.

Logarit tự nhiên của số Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số Bản mẫu:Mvar, đặc biệt trong vi tích phân là từ các phép tính vi phân và tích phân với các hàm mũ và logarit. Tổng quát, hàm mũ Bản mẫu:Math có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}$

Giới hạn trong ngoặc ở vế phải độc lập với biến Bản mẫu:Math và chỉ phụ thuộc vào cơ số Bản mẫu:Math. Khi cơ số đó bằng Bản mẫu:Mvar thì giới hạn trên bằng Bản mẫu:Math nên Bản mẫu:Mvar được định nghĩa tượng trưng bởi phương trình:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

Do đó, hàm mũ cơ số Bản mẫu:Mvar rất phù hợp cho việc tính vi tích phân, vì nó giúp đơn giản hóa nhiều phép tính liên quan đến đạo hàm.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc tính đạo hàm của logarit cơ số Bản mẫu:Math (Bản mẫu:Math) với Bản mẫu:Math:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}$

trong đó đặt Bản mẫu:Math. Logarit cơ số Bản mẫu:Math của Bản mẫu:Mvar bằng 1 nếu Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Mvar, do đó

${\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.$

Logarit với cơ số đặc biệt này được gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu là Bản mẫu:Math, giúp đơn giản hóa phép vi phân do không cần tìm các giới hạn chưa biết.

Như vậy, có hai cách để tìm một số Bản mẫu:Math đặc biệt như thế. Cách thứ nhất là cho đạo hàm của hàm mũ Bản mẫu:Math bằng với Bản mẫu:Math rồi giải phương trình để tìm Bản mẫu:Math. Cách thứ hai là cho đạo hàm của logarit cơ số Bản mẫu:Math bằng Bản mẫu:Math và giải tương tự. Cả hai nghiệm Bản mẫu:Math thu được thực chất là giống nhau và bằng số Bản mẫu:Mvar.

Các cách biểu diễn khác

Cả năm vùng được tô màu đều có diện tích bằng nhau và xác định đơn vị của góc hyperbol dọc theo hyperbol $xy=1$.

Có nhiều cách biểu diễn số Bản mẫu:Mvar: giới hạn của một dãy, tổng của một chuỗi vô hạn hay các biểu thức liên quan đến giải tích tích phân. Trên đây, ta đã biết được hai tính chất:

1. Bản mẫu:Mvar là số thực dương duy nhất sao cho ${\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}$.
2. Bản mẫu:Mvar là số thực dương duy nhất sao cho ${\frac {d}{dt}}\log _{e}t={\frac {1}{t}}$.

Bốn cách biểu diễn sau cũng được chứng minh là tương tự như trên:Bản mẫu:Ordered list

Tính chất

Vi tích phân

Hàm mũ Bản mẫu:Math rất quan trọng một phần do đây là hàm số duy nhất có đạo hàm bằng chính nó:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

và do đó cũng có nguyên hàm bằng chính nó:

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C.$

Bất đẳng thức

Đồ thị của hàm mũ $y=2^{x}$ và $y=4^{x}$ cắt đường thẳng $y=x+1$ lần lượt tại $x=1$ và $x=-1/2$. Số $e$ là cơ số duy nhất của hàm mũ sao cho đồ thị $y=e^{x}$ cắt đường thẳng tại giao điểm duy nhất $x=0$. Dễ thấy rằng giá trị của $e$ nằm giữa 2 và 4.

Bản mẫu:Mvar là số thực duy nhất sao cho

$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}$

với mọi số dương Bản mẫu:Math.

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức

$e^{x}\geq x+1$

với mọi số thực Bản mẫu:Math, và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi Bản mẫu:Math. Hơn nữa, Bản mẫu:Math là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức Bản mẫu:Math đúng với mọi Bản mẫu:Math. Đó là một trường hợp giới hạn của bất đẳng thức Bernoulli.

Hàm tựa mũ

Giá trị lớn nhất của ${\sqrt[{x}]{x}}$ đạt được tại Bản mẫu:Math.

Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số

$f(x)=x^{\frac {1}{x}}.$

Giá trị lớn nhất này đạt được tại Bản mẫu:Math. Để chứng minh, từ bất đẳng thức $e^{y}\geq y+1$ ở trên, đặt $y=(x-e)/e$ rồi rút gọn thì ta có $e^{x/e}\geq x$. Do đó $e^{1/e}\geq x^{1/x}$ với mọi số dương Bản mẫu:Math.

Tương tự, Bản mẫu:Math là điểm để hàm số

$f(x)=x^{x}$

đạt giá trị nhỏ nhất với Bản mẫu:Math là số dương. Tổng quát hơn, hàm số

$f(x)=x^{x^{n}}$

với Bản mẫu:Math là số dương đạt giá trị lớn nhất tại Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math và đạt giá trị nhỏ nhất tại Bản mẫu:Math khi Bản mẫu:Math.

Tetration vô hạn

$x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ hay ${^{\infty }}x$

hội tụ khi và chỉ khi Bản mẫu:Math (hay Bản mẫu:Math nằm giữa 0,0660 và 1,4447) theo một định lý của Leonhard Euler.

Lý thuyết số

Số thực Bản mẫu:Mvar là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của nó có thể được mở rộng ra vô hạn.Bản mẫu:Efn Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass, Bản mẫu:Mvar là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được điều này vào năm 1873.

Có phỏng đoán cho rằng Bản mẫu:Mvar là số bình thường, có nghĩa là khi Bản mẫu:Math được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số trong hệ đếm đó được phân bố đồng đều nhau (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ chuỗi nào với độ dài cho trước).

Số phức

Hàm mũ Bản mẫu:Math có thể được viết thành chuỗi Taylor:

$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$

Vì chuỗi trên hội tụ với bất kỳ giá trị phức nào của Bản mẫu:Math nên nó có thể được dùng để mở rộng khái niệm Bản mẫu:Math cho số phức. Cùng với chuỗi Taylor cho [[Hàm lượng giác|Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math]], ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức Bản mẫu:Math:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Trường hợp đặc biệt với Bản mẫu:Math là đồng nhất thức Euler:

$e^{i\pi }+1=0,$

từ đó suy ra, trong nhánh chủ yếu của logarit,

$\ln(-1)=i\pi .$

Hơn nữa, áp dụng các công thức lũy thừa,

$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),$

đó chính là công thức de Moivre.

Biểu thức

$\cos x+i\sin x$

còn được ký hiệu là Bản mẫu:Math.

Ta cũng suy ra được các biểu thức biểu diễn $\sin x$ và $\cos x$ theo các hàm mũ:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.$

Phương trình vi phân

Họ các hàm số

$y(x)=Ce^{x},$

với Bản mẫu:Mvar là số thực, là nghiệm của phương trình vi phân

$y'=y.$

Biểu diễn

Số Bản mẫu:Math có thể được biểu diễn thành một số thực theo nhiều cách khác nhau: là một chuỗi vô hạn, một tích vô hạn, một liên phân số hay giới hạn của một dãy. Trong số đó, thông dụng nhất là giới hạn

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

đã cho ở trên, và chuỗi

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

có được bằng cách thay Bản mẫu:Math vào chuỗi lũy thừa cho hàm mũ Bản mẫu:Math ở trên.

Một dạng khác ít phổ biến hơn là liên phân số

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...]$ Bản mẫu:OEIS

hoặc được viết thành

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

Nhiều cách biểu diễn khác của Bản mẫu:Math dưới dạng chuỗi, dãy số, liên phân số và tích vô hạn cũng đã được tìm ra và phát triển.

Biểu diễn ngẫu nhiên

Cùng với các biểu thức giải tích chính xác, Bản mẫu:Mvar còn có thể được tính gần đúng thông qua các kỹ thuật ngẫu nhiên. Một cách tiếp cận như thế bắt đầu từ một dãy vô hạn các biến độc lập ngẫu nhiên Bản mẫu:Math, Bản mẫu:Math,... trong một phân phối đều trên [0, 1]. Gọi Bản mẫu:Math là số Bản mẫu:Math nhỏ nhất để tổng của Bản mẫu:Math biến đầu tiên như vậy lớn hơn 1:

$V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.$

Khi đó giá trị kỳ vọng của Bản mẫu:Math là Bản mẫu:Mvar hay Bản mẫu:Math.

Số chữ số đã biết

Số chữ số đã biết của Bản mẫu:Mvar đã gia tăng đáng kể trong vài thập kỷ trở lại đây do sự phát triển của máy tính và thuật toán nói chung.

Số chữ số thập phân đã biết của Bản mẫu:Mvar

Năm	Số chữ số	Tính toán thực hiện bởi
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes
1748	23	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1926	707	Derrick Henry Lehmer
1944	808	Peder Pedersen
1949	2.010	John von Neumann (trên ENIAC)
1961	100.265	Daniel Shanks và John Wrench
1978	116.000	Steve Wozniak trên Apple II

Từ khoảng năm 2010, với sự ra đời của máy tính để bàn hiện đại tốc độ cao, việc tính toán hàng nghìn tỷ chữ số của Bản mẫu:Mvar trong một khoảng thời gian chấp nhận được là hoàn toàn khả thi. Tính đến ngày 5 tháng 12 năm 2020, Bản mẫu:Mvar đã được tính đến 31,4 nghìn tỷ chữ số thập phân.