Sách đại số/Hàm số/Toán hàm số/Tích phân/Hoán chuyển Laplace/Công thức biến đổi Laplace

Vì biến đổi Laplace là một toán tử tuyến tính nên

Biến đổi Laplace của tổng bằng tổng các biến đổi Laplace của các số hạng

${\mathcal {L}}\left\{f(t)+g(t)\right\}={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}$

Biến đổi Laplace của một bội số của hàm bằng bội số nhân cho biến đổi Laplace của hàm đó

${\mathcal {L}}\left\{af(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}$

Tính đơn ánh của biến đổi Laplace chỉ đúng khi t là số không âm, vì thế các hàm trong miền thời gian ở bảng dưới là bội của hàm bậc thang Heaviside u(t).

Bảng cung cấp những biến đổi Laplace đối với những hàm chung một biến.

STT	Hàm	Hàm gốc (miền t) $x(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{X(s)\right\}$	Hàm ảnh (miền s) $X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}$	Miền hội tụ
1	trễ lý tưởng	$\delta (t-\tau )\$	$e^{-\tau s}\$
1a	xung đơn vị	$\delta (t)\$	$1\$	mọi s
2	trễ mũ n với dịch chuyển tần số	${\frac {(t-\tau )^{n}}{n!}}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )$	${\frac {e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a	mũ n (cho số nguyên n)	${t^{n} \over n!}\cdot u(t)$	${1 \over s^{n+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.1	mũ q (cho số thực q)	${t^{q} \over \Gamma (q+1)}\cdot u(t)$	${1 \over s^{q+1}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2a.2	bậc thang đơn vị	$u(t)\$	${1 \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2b	bậc thang đơn vị có trễ	$u(t-\tau )\$	${e^{-\tau s} \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2c	dốc	$t\cdot u(t)\$	${\frac {1}{s^{2}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
2d	mũ n với dịch chuyển tần số	${\frac {t^{n}}{n!}}e^{-\alpha t}\cdot u(t)$	${\frac {1}{(s+\alpha )^{n+1}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \,$
2d.1	suy giảm hàm mũ	$e^{-\alpha t}\cdot u(t)\$	${1 \over s+\alpha }$	${\textrm {Re}}\{s\}>-\alpha \$
3	tiệm cận hàm mũ	$(1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\$	${\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
4	sine	$\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
5	cosine	$\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\$
6	hyperbolic sine	$\sinh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
7	hyperbolic cosine	$\cosh(\alpha t)\cdot u(t)\$	${s \over s^{2}-\alpha ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\alpha |\$
8	hàm sine suy giảm theo hàm mũ	$e^{\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\$	${\omega \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
9	hàm cosine suy giảm theo hàm mũ	$e^{\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\$	${s-\alpha \over (s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>\alpha \$
10	căn bậc n	${\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
11	logarit tự nhiên	$\ln \left({t \over t_{0}}\right)\cdot u(t)$	$-{t_{0} \over s}\ [\ \ln(t_{0}s)+\gamma \ ]$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
12	hàm Bessel of the first kind, of order n	$J_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$ $(n>-1)\,$
13	hàm Bessel biến đổi loại 1, bậc n	$I_{n}(\omega t)\cdot u(t)$	${\frac {\omega ^{n}\left(s+{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {s^{2}-\omega ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>|\omega |\,$
14	hàm Bessel loại hai, bậc 0	$Y_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$	$-{2\sinh ^{-1}(s/\alpha ) \over \pi {\sqrt {s^{2}+\alpha ^{2}}}}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
15	hàm Bessel biến đổi loại hai, bậc 0	$K_{0}(\alpha t)\cdot u(t)$
16	hàm sai số	$\mathrm {erf} (t)\cdot u(t)$	${e^{s^{2}/4}\left(1-\operatorname {erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	${\textrm {Re}}\{s\}>0\,$
chú thích: $u(t)\,$ là hàm bậc thang Heaviside. $\delta (t)\,$ là hàm delta Dirac. $\Gamma (z)\,$ là hàm Gamma. $\gamma \,$ là hằng số Euler-Mascheroni. $t\,$, đặc trưng cho thời gian (số thực). $s\,$ là tần số góc (số phức angular frequency và Re(s) là phần thực của s). $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, và $\omega \,$ là các số thực. $n\,$, là số mũ nguyên.