Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}$

$S-rS=a-ar^{n}$

$S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S={\frac {a}{1-r}}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4$

$1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15$

Tổng

Tổng các phần tử của cấp số nhân:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,$

Nhân cả hai vế với (1-r):

$(1-r)S_{n+1}=(1-r)\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a-ar^{n+1}\,$

vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau. Từ đó:

$S_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}$

Chú ý: Nếu tổng không khởi đầu từ 0 mà từ m > 0 và m < n ta có

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}$

Vi phân của tổng theo biến r là tổng dạng

$\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}$

${\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!r}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=0}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}$

Tổng vô hạn

Nếu cấp số nhân có vô hạn phần tử thì tổng $S_{n}$ là hội tụ khi $n\to \infty$ khi và chỉ khi giá trị tuyệt đối của công bội nhỏ hơn một (Bản mẫu:Abs < 1).

$S=\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}$

Khi tổng không khởi đầu từ k = 0, ta có

$\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}$

Cả hai công thức chỉ đúng khi Bản mẫu:Abs < 1. Công thức sau cũng đúng trong mọi đại số Banach, khi chuẩn (norm) của r nhỏ hơn 1, và trong trường của các số p-adic nếu |r|_p < 1. Cũng như trong tổng hữu hạn, ta có vi phân của tổng. Chẳng hạn,

${\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!r}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$

Tất nhiên công thức chỉ đúng khi Bản mẫu:Abs < 1.

Số phức

Công thức tính tổng của cấp số nhân cũng đúng khi các phần tử là các số phức. Điều này được sử dụng, cùng với Công thức Euler, để tính một vài tổng như:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]$.

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]$

Từ đó có:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos(kx)}{r^{k}}}={\frac {r-cos(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}$

Công thức

Cho $r\neq 1$, thì tổng của n phần tử đầu tiên của chuỗi:

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=a\,{\frac {1-r^{n}}{1-r}},$

Với a là phần tử đầu tiên của chuỗi, r là công bội. Ta có thể biến đổi công thức như sau:

Đặt:

$s=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}$

Nhân 2 vế với r:

$rs=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots +ar^{n}$

$s-rs=a-ar^{n}$

$s(1-r)=a(1-r^{n}),$

Suy ra:

$s=a{\frac {1-r^{n}}{1-r}}.$

Khi n tiến đến vô cùng, công bội r phải nhỏ hơn 1 thì chuỗi mới có thể hội tụ, tổng của chuỗi khi đó là:

$s\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots .$

Nếu a = 1, dễ dàng ta có:

$1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}},$

Vế trái là một chuỗi hình học với công bội r, ta biến đổi công thức:

Đặt:

$s=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots .$

Nhân 2 vế với r:

$rs=r+r^{2}+r^{3}+\cdots .$

Suy ra:

$s-rs=1,{\text{ nên }}s(1-r)=1,{\text{ suy ra }}s={\frac {1}{1-r}}.$