Sách đại số/Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng .

Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên

$1,2,3,4,5,....,n$

Dải số của các số tự nhiên chẳn

$2,4,6,8,10,...,2n$

Dải số của các số tự nhiên lẻ

$1,3,5,7,...,2n+1$

Phép toán dải số

Phép toán dải số	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Tổng dải số	phép toán tìm tổng của một dải số	$S=\sum$	$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n=1+2+3+...+n=k(1+n)$
Tích dải số	phép toán tìm tích của một dải số	$S=\prod$	$P_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n=1\times 2\times 3\times ...\times n=k(1+n)$

Tổng dải số

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}$

$S-rS=a-ar^{n}$

$S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S={\frac {a}{1-r}}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4$

$1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

Với

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Thí dụ

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Tổng dải số Fourier

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}{c}=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}{k}={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{k=0}^{n}{k^{2}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{k=0}^{n}{k^{3}}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =e^{x}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots =\ln(1+x)\quad {\text{ for }}|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos(x)\quad {\text{ for all }}x\in \mathbb {C}$

Tích dải số

Tích cấp số cộng

Dạng tổng quát

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$||$=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...\left[(a_{1}+(n-1)d\right]$

Chứng minh

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử $a_{1}$ với công sai $d$, với $n$ số hạng là

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$	$=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...\left[(a_{1}+(n-1)d\right]$
	$=d^{n}\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)...\left[{\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right]$
	$=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}$
	$=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},$

trong đó $x^{\overline {n}}$ là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

$x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}$

Đây là tổng quát hoá từ tích $1\times 2\times \ldots \times n$ được ký hiệu là $n!$ tới tích của

$m\times (m+1)\times \ldots \times (n-1)\times n\,\!$

với các số nguyên dương $m$ và $n$ cho bởi công thức

${\frac {n!}{(m-1)!}}$

Còn $\Gamma$ là ký hiệu của Hàm gamma.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

(Công thức này không bao gồm trường hợp ${\frac {a_{1}}{d}}$ là số âm hoặc không).

Thí dụ

$1\times 2\times 3\times 4...\times n=n!$

$cos=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$sin=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$