Sách đại số/Dải số/Tổng dải số/Tổng chuổi số Taylor

Định nghĩa

Chuỗi Taylor của hàm thực hay phức f (x) khả vi vô hạn tại số thực hay phức a tương ứng là chuỗi lũy thừa sau

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,$

trong đó n! ký hiệu giai thừa của n. Để gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu Sigma, công thức trên được viết lại thành

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},$

trong đó f(n)(a) ký hiệu đạo hàm thứ n của f tính tại a. Đạo hàm với bậc 0 của f được định nghĩa là chính hàm f và hai giá trị (x − a)0 và 0! đều định nghĩa bằng với 1.

Khi a = 0, chuỗi trên cũng được gọi là chuỗi Maclaurin.

Các ví dụ

Chuỗi Taylor của đa thức bất kỳ là chính đa thức đó.

Chuỗi Maclaurin của Bản mẫu:Math là chuỗi hình học

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .$

Bằng cách thay Bản mẫu:Mvar thành Bản mẫu:Math, chuỗi Taylor của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math là

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .$

Bằng cách tính nguyên hàm của chuỗi Maclaurin trên, ta tìm thấy chuỗi Maclaurin của Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Math ký hiệu lôgarit tự nhiên:

$-x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .$

Chuỗi Taylor tương ứng của Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math là

$(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,$

và tổng quát hơn thì, chuỗi Taylor của Bản mẫu:Math tại điểm Bản mẫu:Mvar khác không tùy ý là:

$\ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .$

Chuỗi Maclaurin của hàm mũ Bản mẫu:Math là

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}$

Khai triển trên đúng là bởi đạo hàm của Bản mẫu:Math đối với Bản mẫu:Mvar cũng là Bản mẫu:Math, và Bản mẫu:Math bằng với 1. Do đó ta được Bản mẫu:Math tại tử số và Bản mẫu:Math tại mẫu số của mỗi phần tử trong chuỗi.

Hàm giải tích

Hàm số Bản mẫu:Math không giải tích tại Bản mẫu:Math: giá trị tổng chuỗi Taylor tại đó bằng 0, nhưng giá trị hàm số thì không bằng.

Bản mẫu:Main Nếu Bản mẫu:Math được xác định bởi chuỗi lũy thừa hội tụ trong hình tròn mở tâm Bản mẫu:Mvar trên mặt phẳng phức (hay trên khoảng số thực), nó được gọi là hàm giải tích trên miền đó . Do đó, với Bản mẫu:Mvar thuộc miền đó, và Bản mẫu:Mvar được cho bởi chuỗi lũy thừa hội tụ sau

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.$

Tính đạo hàm bởi Bản mẫu:Mvar cho công thức trên Bản mẫu:Mvar lần, rồi đặt Bản mẫu:Math thì được:

${\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

Vì vậy khai triển chuỗi lũy thừa khi ấy tương đương với chuỗi Taylor. Do đó, hàm số giải tích trong hình tròn mở tâm Bản mẫu:Mvar khi và chỉ khi chuỗi Taylor của nó hội tụ đến giá trị hàm tại mỗi điểm thuộc hình tròn.

Nếu Bản mẫu:Math bằng với tổng chuỗi Talor tại mọi Bản mẫu:Mvar thuộc mặt phẳng phức, thì nó được gọi là hàm nguyên . Các đa thức, hàm mũ Bản mẫu:Math, và các hàm lượng giác sin và cos, là các ví dụ của hàm nguyên. Các ví dụ của các hàm không nguyên bao gồm căn bậc hai, lôgarit, các hàm lượng giác tang, và nghịch đảo của nó, arctan. Đối với các hàm này, chuỗi Taylor không hội tụ khi Bản mẫu:Mvar xa khỏi Bản mẫu:Mvar. Nghĩa là chuỗi Taylor phân kỳ tại Bản mẫu:Mvar khi khoảng cách giữa Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar lớn hơn bán kính hội tụ. Chuỗi Taylor có thể dùng để tính giá trị hàm nguyên tại mọi điểm, nếu giá trị của hàm đó cũng như các đạo hàm của hàm đó đã được tính trước tại một điểm.

Các ứng dụng của chuỗi Taylor cho hàm giải tích bao gồm :

1. Các tổng riêng (Các đa thức Taylor) của chuỗi có thể dùng để tính xấp xỉ giá trị hàm. Các xấp xỉ này tốt khi đủ số phần tử được xét.
2. Vi phân và tích phân của chuỗi lũy thừa có thể được tính dễ dàng hơn so với hàm ban đầu.
3. Hàm giải tích chỉ có thể mở rộng duy nhất thành hàm chỉnh hình trên hình tròn mở trong mặt phẳng phức. Điều này giúp cho ta làm việc trong giải tích phức.
4. Chuỗi (đã bị cắt đi một phần) có thể dùng để tính giá trị số của hàm, (bằng cách đưa các đa thức về dạng Chebyshev rồi dùng thuật toán Clenshaw).
5. Các phép đại số có thể sử dụng trên biểu diễn chuỗi lũy thừa, ví dụ như công thức Euler đến từ khai triển chuỗi Taylor cho các hàm lượng giác và hàm mũ. Kết quả này quan trọng trong giải tích điều hòa.
6. Xấp xỉ sử dụng các phần tử đầu của chuỗi Taylor có thể khiến một số bài toán bất khả thi giải được trong miền được giới hạn; Phương pháp này được sử dụng trong vật lý.

Sai số xấp xỉ và hội tụ

Hàm sin (màu xanh dương) được tính xấp xỉ bằng đa thức Taylor bậc 7 của nó (màu hồng) trong toàn bộ chu kỳ với tâm tại gốc tọa độ.

Các đa thức Taylor cho Bản mẫu:Math chỉ cho xấp xỉ chính xác với Bản mẫu:Math. Khi Bản mẫu:Math, các đa thức Taylor bậc cao hơn tính xấp xỉ kém hơn.

Xấp xỉ Taylor cho Bản mẫu:Math (màu đen). Khi Bản mẫu:Math, dãy các giá trị xấp xỉ phân kỳ.

Trong ảnh là xấp xỉ chính xác của hàm Bản mẫu:Math quanh điểm Bản mẫu:Math. Đường màu hồng là đa thức Taylor bậc 7:

$\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!$

Sai số của xấp xỉ này không quá Bản mẫu:Math. Với một chu kỳ đầy đủ (Bản mẫu:Math) sai số này nhỏ hơn 0.08215. Cụ thể hơn, với Bản mẫu:Math, sai số nhỏ hơn 0,000003.

Ngược lại là ảnh đồ thị của hàm Bản mẫu:Math và đa thức Taylor của nó quanh Bản mẫu:Math. Các xấp xỉ này hội tụ chỉ khi Bản mẫu:Math; ngoài miền này các đa thức Taylor tính xấp xỉ kém hơn so với các đa thức trong miền.

Sai số xuất hiện trong xấp xỉ hàm số của đa thức Taylor bậc Bản mẫu:Mvar được gọi là phần dư Taylor (hay cụ thể hơn, phần dư Taylor bậc n) và được ký hiệu bởi hàm Bản mẫu:Math:

$R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$

Trong đó $P_{n}(x)$ ký hiệu đa thức Taylor bậc n. Định lý Taylor được dùng để xác định cận trên và dưới của phần dư.

Tổng quát thì, chuỗi Taylor không nhất thiết phải hội tụ. Thêm nữa tập các hàm mà chuỗi Taylor của nó hội tụ là tập meagre trong không gian Fréchet của các hàm trơn. Và kể cả khi chuỗi Taylor của hàm Bản mẫu:Mvar có hội tụ, giới hạn của nó cũng không nhất thiết phải bằng với giá trị của hàm Bản mẫu:Math. Lấy ví dụ, hàm

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{nếu }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{nếu }}x=0\end{cases}}$

khả vi vô hạn tại Bản mẫu:Math, và có mọi đạo hàm của nó bằng không tại đó. Do đó, chuỗi Taylor của Bản mẫu:Math quanh Bản mẫu:Math cũng bằng không. Tuy nhiên, Bản mẫu:Math không phải hàm không, nên không bằng với chuỗi Taylor quanh Bản mẫu:Math. Do đó, hàm Bản mẫu:Math trên là ví dụ của hàm trơn không giải tích.

Trong giải tích thực, ví dụ này cho thấy có vô số các hàm khả vi vô hạn Bản mẫu:Math mà chuỗi Taylor của nó không bằng với Bản mẫu:Math kể cả khi chuỗi hội tụ. Ngược lại, các hàm chỉnh hình trong giải tích phức luôn có chuỗi Taylor của nó hội tụ,thậm chí kể cả các hàm phân hình, dù các hàm đó có các điểm kỳ dị nhưng chuỗi Taylor của nó không bao giờ hội tụ đến giá trị khác với giá trị hàm. Tuy nhiên, hàm phức liên tục Bản mẫu:Math, không tiến đến 0 khi Bản mẫu:Mvar chạy tới 0 theo trục ảo, nên nó không trong mặt phẳng phức và chuỗi Taylor của nó không xác định tại 0.

Tổng quát hơn, mọi dãy số thực hay phức có thể làm hệ số của chuỗi Taylor cho một hàm số khả vi vô hạn trên đường số thực, một hệ quả của bổ đề Borel. Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi Taylor có thể bằng không. Có vô hạn các hàm khả vi vô hạn mà chuỗi Taylor của nó có bán kính hội tụ bằng 0 mọi điểm.

Hàm số không thể viết thành chuỗi Taylor tại các điểm kỳ dị; nếu muốn thì, ta vẫn có thể có khai triển chuỗi nếu cho phép sử dụng lũy thừa bậc âm của biến Bản mẫu:Mvar; xem chuỗi Laurent. Lấy ví dụ, hàm Bản mẫu:Math có thể viết thành chuỗi Laurent.

Tổng quát hóa

Tuy nhiên, có dạng tổng quát của chuỗi Taylor có hội tụ đến giá trị hàm với bất kỳ hàm liên tục bị chặn trên Bản mẫu:Math, sử dụng vi tích phân của số gia hữu hạn. Đầy đủ hơn, ta có định lý sau bởi Einar Hille, rằng với bất kỳ Bản mẫu:Math,

$\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$

Ở đây Bản mẫu:Math là toán tử số gia hữu hạn thứ Bản mẫu:Mvar với bước Bản mẫu:Mvar. Chuỗi này là chuỗi Taylor, nhưng thay vì là đạo hàm thì thay vào đó là số gia: chuỗi này tương tự với chuỗi Newton. Khi hàm Bản mẫu:Mvar giải tích tại Bản mẫu:Mvar, các phần tử trong chuỗi hội tụ đến các phần tử trong chuỗi Taylor, do thế mới ám chỉ tổng quát chuỗi Taylor.

Tổng quát thì, với bất kỳ dãy vô hạn Bản mẫu:Math nào, định thức chuỗi lũy thừa sau được thỏa mãn:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$

Nên cụ thể hơn thì,

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$

Chuỗi trong vế phải là giá trị kì vọng của Bản mẫu:Math, trong đó Bản mẫu:Mvar là biến ngẫu nhiên trong phân phối Poisson lấy giá trị Bản mẫu:Math với xác suất Bản mẫu:Math. Do đó,

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).$

Luật số lớn cho rằng định thức này thỏa mãn.

Danh sách các chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp

Bản mẫu:See also Sau đây là các khai triển chuỗi Maclaurin cho một số hàm thường gặp. Tất cả khai triển này đều đúng với Bản mẫu:Mvar phức.

Hàm mũ

Hàm mũ Bản mẫu:Math (màu xanh), và tổng của Bản mẫu:Math phần tử đầu tiên của chuỗi Taylor của nó tại 0 (màu đỏ).

Hàm mũ $e^{x}$ (với cơ số Bản mẫu:Mvar) có chuỗi Maclaurin

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$.

Nó hội tụ với mọi Bản mẫu:Mvar.

Hàm sinh mũ của các số Bell là hàm mũ của số trước đó của hàm mũ:

$\exp[\exp(x)-1]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}$

Lôgarit tự nhiên

Bản mẫu:Main Lôgarit tự nhiên (với cơ số Bản mẫu:Mvar) có chuỗi Maclaurin

${\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}$

Chúng hội tụ với $|x|<1$. (Thêm nữa, chuỗi cho Bản mẫu:Math hội tụ khi Bản mẫu:Math, và chuỗi cho Bản mẫu:Math hội tụ khi Bản mẫu:Math.)

Chuỗi hình học

Chuỗi hình học và các đạo hàm của nó có chuỗi Maclaurin như sau

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}$

Tất cả đều hội tụ cho $|x|<1$. Đây là các trường hợp đặc biệt cho chuỗi nhị thức trong mục sau.

Chuỗi nhị thức

Chuỗi nhị thức là chuỗi lũy thừa

$$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$$

trong đó các hệ số là các hệ số nhị thức:

$${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$$

(Nếu Bản mẫu:Math, tích này thành tích rỗng và có giá trị 1.) Nó hội tụ cho $|x|<1$ với bất kỳ số thực hay phức Bản mẫu:Mvar.

Khi Bản mẫu:Math, chuỗi này trở thành chuỗi hình học trong mục trước. Trường hợp đặc biệt Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math cho hàm căn bậc hai và nghịch đảo của nó:

$${\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}$$

Khi chỉ có mỗi các phần tử tuyến tính được giữ lại, xấp xỉ này đơn giản hóa thành xấp xỉ nhị thức.

Các hàm lượng giác

Các hàm lượng giác thường gặp và nghịch đảo của chúng có chuỗi Maclaurin như sau:

${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{với }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{với }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$

Tất cả các góc đều trong radian. Các số Bản mẫu:Math xuất hiện trong biểu thức Bản mẫu:Math là các số Bernoulli. Các số Bản mẫu:Math trong khai triển của Bản mẫu:Math là các số Euler.

Các hàm Hyperbolic

Các hàm hyperbolic có chuỗi Maclaurin gần giống với các hàm lượng giác:

${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{với mọi }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{với }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{với }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}$

Các số Bản mẫu:Math xuất hiện trong chuỗi cho Bản mẫu:Math là các số Bernoulli.

Hàm Polylogarit

Các hàm polylogarit có định thức sau:

${\text{Li}}_{2}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}$

${\text{Li}}_{3}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}$

Các hàm chi Legendre được định nghĩa như sau:

$\chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}$

$\chi _{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}$

Các công thức bên dưới được gọi là nguyên hàm tiếp tuyến nghịch đảo:

${\text{Ti}}_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}$

${\text{Ti}}_{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}$

Trong cơ học thống kê, các công thức này rất quan trọng.

Hàm Elliptic

Nguyên hàm Elliptic đầy đủ của loại đầu K và loại thứ hai E được định nghĩa như sau:

${\frac {2}{\pi }}K(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

${\frac {2}{\pi }}E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

Các hàm theta Jacobi mô tả thế giới của hàm môđun elliptic và chúng thường có chuỗi Taylor như sau :

$\vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}$

$\vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}$

Dãy số phân hoạch P(n) có hàm sinh sau:

$\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}$

Dãy số phân hoạch nghiêm ngặt Q(n) có hàm sinh sau:

$\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}$

Tính chuỗi Taylor

Có nhiều phương pháp để tính chuỗi Taylor cho các hàm số khác nhau. Đầu tiên có thể dùng luôn định nghĩa chuỗi Taylor, song làm như vậy yêu cầu phải tổng quát các hệ số theo một nhận dạng dễ nhìn. Ngoài ra, cũng có thể sử dụng các phép cơ bản như phép thế, phép nhân, phép chia hay cộng, trừ của chuỗi Taylor căn bản để tìm chuỗi Taylor cho hàm cần tìm, bởi bản chất của chuỗi Taylor là chuỗi lũy thừa. Trong một số trường hợp, có thể tìm ra chuỗi Taylor bằng cách liên tục áp dụng tích phân từng phần. Tiện hơn nhiều đó là việc dùng các hệ thống đại số máy tính để tính các chuỗi Taylor.

Ví dụ đầu tiên

Để tính đa thức Taylor bậc 7 của hàm sau

$f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ ,

đầu tiên có thể viết lại thành

$f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!$.

Chuỗi Taylor cho lôgarit tự nhiên (sử dụng ký hiệu O lớn) là

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x^{4}\right)\!$

và cho hàm cosin là

$\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!$.

Khai triển của hàm cosin có phần tử bằng không, cho phép thay chuỗi thứ hai vào chuỗi thứ nhất rồi bỏ đi các phần tử có bậc lớn hơn 7 bằng cách sử dụng ký hiệu Bản mẫu:Mvar lớn:

${\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O}\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{aligned}}\!$

Bởi hàm cosin là hàm chẵn, hệ số cho các lũy thừa bậc lẻ Bản mẫu:Math đều bằng không.

Ví dụ thứ hai

Giả sử muốn tìm chuỗi Taylor tại 0 cho hàm số

$g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!$

Sau đây là khai triển chuỗi Taylor sau cho hàm

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!$

và như ví dụ đầu,

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!$

Giả sử chuỗi lũy thừa có dạng

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!$

Nhân hai vế với mẫu số rồi thay khai triển chuỗi cho cosin được

${\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+\cdots \end{aligned}}\!$

Gộp các phần tử cho tới bậc 4 được

$e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!$

Các giá trị của $c_{i}$ có thể tìm được bằng cách so sánh với các hệ số trên của $e^{x}$, ra được:

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots .\!$

Ví dụ thứ ba

Ở đây ta dùng "khai triển gián tiếp" để tìm ra khai triển cho hàm số sau. Phương pháp này sử dụng khai triển của hàm mũ. Để khai triển hàm Bản mẫu:Math thành chuỗi Taylor của Bản mẫu:Mvar, ta dùng khai triển đã biết của hàm mũ Bản mẫu:Math:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots .$

Từ đó,

${\begin{aligned}(1+x)e^{x}&=e^{x}+xe^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n+1}}{n!}}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(n-1)!}}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}+{\frac {1}{(n-1)!}}\right)x^{n}\\&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n+1}{n!}}x^{n}.\end{aligned}}$

Dùng chuỗi Taylor cho định nghĩa

Theo cổ điển, các hàm đại số được định nghĩa bởi phương trình đại số, và các hàm siêu việt (bao gồm các hàm trên) được định nghĩa bởi một số tính chất thêm vào mà chúng thỏa mãn, như phương trình vi phân. Lấy ví dụ, hàm mũ là hàm bằng với đạo hàm của nó tại mọi nơi, nhận giá trị 1 tại gốc tọa độ . Tương tự như vậy, có thể định nghĩa các hàm giải tích bằng các chuỗi Taylor của chúng.

Chuỗi Taylor được sử dụng để định nghĩa các "toán tử" trong nhiều trường của toán học. Cụ thể hơn, điều này đúng khi định nghĩa cổ điển của hàm số không còn đúng nữa. Lấy ví dụ, dùng chuỗi Taylor, ta có thể mở rộng các hàm giải tích cho tập các ma trận và các toán tử, như mũ ma trận hay lôgarit ma trận .

Trong các nhánh khác, như giải tích, người ta thường làm việc dễ dàng hơn với chính các chuỗi lũy thừa. Ví dụ chẳng hạn, có thể coi nghiệm của phương trình vi phân là chuỗi lũy thừa, sau đó thử chứng minh xem chuỗi Taylor đó có phải là chuỗi Taylor của nghiệm cần tìm.

Chuỗi Taylor cho hàm nhiều biến

Chuỗi Taylor có thể tổng quát hóa cho hàm nhiều biến như sau

${\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots \end{aligned}}$

Lấy ví dụ, đối với hàm $f(x,y)$ phụ thuộc vào hai biến, Bản mẫu:Mvar và Bản mẫu:Mvar, chuỗi Taylor của nó đến bậc hai quanh điểm Bản mẫu:Math là

$f(a,b)+(x-a)f'_{x}(a,b)+(y-b)f'_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f'_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f'_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f'_{yy}(a,b){\Big )}$

trong đó các chữ viết dưới ký hiệu đạo hàm riêng tương ứng.

Khai triển chuỗi Taylor bậc hai cho hàm scalar nhiều biến có thể viết gọn lại thành

$T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,$

trong đó Bản mẫu:Math là gradient của Bản mẫu:Mvar tính tại Bản mẫu:Math và Bản mẫu:Math là ma trận Hesse. Sử dụng ký hiệu đa chỉ số ,chuỗi Taylor cho hàm nhiều biến viết lại thành

$T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ),$

vẫn được hiểu là phương trình ban đầu nhưng được viết gọn lại đi, nhìn chung tương tự với trường hợp hàm 1 biến.

Ví dụ

Xấp xỉ khai triển chuỗi Taylor bậc hai (màu cam) cho hàm Bản mẫu:Math quanh gốc tọa độ.

Để tính khai triển chuỗi Taylor bậc hai quanh điểm Bản mẫu:Math cho hàm số

$f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),$

đầu tiên cần tính các đạo hàm riêng cần thiết:

${\begin{aligned}f'_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f'_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f'_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f'_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f'_{xy}&=f'_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}$

Tính các đạo hàm tại gốc tọa độ ra các hệ số Taylor

${\begin{aligned}f'_{x}(0,0)&=0\\f'_{y}(0,0)&=1\\f'_{xx}(0,0)&=0\\f'_{yy}(0,0)&=-1\\f'_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}$

Thay các hệ số trên vào công thức

${\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f'_{x}(a,b)+(y-b)f'_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f'_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f'_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f'_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}$

ra được

${\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\Big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\Big )}+\cdots \\&=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots \end{aligned}}$

Bởi hàm Bản mẫu:Math giải tích khi Bản mẫu:Math, ta có

$e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\frac {y^{2}}{2}}+\cdots ,\qquad |y|<1.$

So sánh với chuỗi Fourier

Bản mẫu:Main Chuỗi Fourier cho phép biểu diễn hàm tuần hoàn (hay hàm được định nghĩa trên khoảng đóng Bản mẫu:Math) là tổng vô hạn của các hàm lượng giác (sin và cosine). Theo cách hiểu đó, chuỗi Fourier cũng có vẻ tương tự với chuỗi Taylor, bởi chuỗi Taylor cũng là tổng vô hạn nhưng là của các lũy thừa. Song, hai chuỗi này khác nhau tại một số điểm sau:

• Dù có bỏ đi bất cứ hữu hạn số phần tử nào trong chuỗi Taylor của Bản mẫu:Math quanh điểm Bản mẫu:Math, thì giá trị chuỗi vẫn bằng với Bản mẫu:Math tại Bản mẫu:Math. Ngược lại, chuỗi Fourier được tính bằng nguyên hàm trên toàn khoảng nên không có điểm nào trong khoảng mà giá trị hàm bằng với giá trị chuỗi.
• Để tính chuỗi Taylor thì cần phải biết hàm số trên một lân cận nhỏ tùy ý của một điểm nào đó, trong khi tính chuỗi Fourier thì cần phải biết hàm số trên toàn bộ miền của nó. Theo cách hiểu đó, có thể nói chuỗi Taylor có tính "địa phương" còn chuỗi Fourier thì mang tính "toàn cục".
• Chuỗi Taylor được định nghĩa cho các hàm có vô hạn đạo hàm tại một điểm, trong khi chuỗi Fourier được định nghĩa cho hàm khả tích. Ví dụ cụ thể như, các hàm mà không đâu khả vi. (Ví dụ, Bản mẫu:Math có thể là hàm Weierstrass.)
• Hội tụ giữa hai chuỗi có các tính chất khác nhau. Kể cả khi chuỗi Taylor có bán kính hội tụ của nó dương, giá trị chuỗi không nhất thiết phải bằng giá trị hàm; nhưng nếu hàm số giải tích thì chuỗi hội tụ từng điểm với hàm, và hội tụ đều trên mọi tập con compact của khoảng hội tụ. Còn đối với chuỗi Fourier, nếu hàm số bình phương khả tích thì hàm số hội tụ trong trung bình toàn phương, nhưng cần có điều kiện thêm vào để đảm bảo hội tụ từng điểm hay hội tụ đều (ví dụ chẳng hạn, nếu hàm tuần hoàn và thuộc lớp C¹ thì chuỗi Fourier hội tụ đều).
• Trong ứng dụng, khi muốn tính xấp xỉ một hàm số với hữu hạn số phần tử thì sử dụng đa thức Taylor hoặc tổng riêng của chuỗi các hàm lượng giác, tương ứng với chuỗi Taylor và chuỗi Fourier. Trong trường hợp chuỗi Taylor, thì sai số của nó rất nhỏ trong lân cận của điểm nó được xét, nhưng lại rất lớn khi cách xa điểm đang xét. Đối với chuỗi Fourier thì sai số được phân phối trên toàn miền của hàm số.