Sách đại số/Dải số/Tích dải số

Tích

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử $a_{1}$ với công sai $d$, với $n$ số hạng là

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}$	$=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...\left[(a_{1}+(n-1)d\right]$
	$=d^{n}\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)...\left[{\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right]$
	$=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}$
	$=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},$

trong đó $x^{\overline {n}}$ là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

$x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)={\frac {(x+n-1)!}{(x-1)!}}$

Đây là tổng quát hoá từ tích $1\times 2\times \ldots \times n$ được ký hiệu là $n!$ tới tích của

$m\times (m+1)\times \ldots \times (n-1)\times n\,\!$

với các số nguyên dương $m$ và $n$ cho bởi công thức

${\frac {n!}{(m-1)!}}$

Còn $\Gamma$ là ký hiệu của Hàm gamma.

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt$

(Công thức này không bao gồm trường hợp ${\frac {a_{1}}{d}}$ là số âm hoặc không).

Thi' du.

$1\times 2\times 3\times 4...\times n=$

$cos=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$

$sin=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$