Sách đại số/Dải số/Tích dải số

Tích

Tích của n phần tử của cấp số cộng bắt đầu từ phần tử $a_1$ với công sai $d$, với $n$ số hạng là

$a_1{a}_2\cdots a_n$	$=a_1(a_1+d)(a_1+2d)\mathrm{...}[(a_1+(n-1)d]$
	$=d^n\left(\frac{a_1}{d}\right)(\frac{a_1}{d}+1)(\frac{a_1}{d}+2)\mathrm{...}[\frac{a_1}{d}+(n-1)]$
	$=d^n{\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\bar{n}}$
	$=d^n\frac{\mathrm{\Gamma }(a_1/d+n)}{\mathrm{\Gamma }(a_1/d)},$

trong đó $x^{\bar{n}}$ là ký hiệu của giai thừa trên (tiếng Anh: upper factorial)

$x^{\bar{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$

Đây là tổng quát hoá từ tích $1\times 2\times \dots \times n$ được ký hiệu là $n!$ tới tích của

$m\times (m+1)\times \dots \times (n-1)\times n$

với các số nguyên dương $m$ và $n$ cho bởi công thức

$\frac{n!}{(m-1)!}$

Còn $\mathrm{\Gamma }$ là ký hiệu của Hàm gamma.

$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$

(Công thức này không bao gồm trường hợp $\frac{a_1}{d}$ là số âm hoặc không).

Thi' du.

$1\times 2\times 3\times \mathrm{4...}\times n=$

$cos=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}{)}^2})$

$sin=x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2})$