Nhập môn Lượng giác/Hàm lượng giác cơ bản/Trường số phức

Trên trường số phức

Từ định nghĩa bằng chuỗi, có thể chứng minh rằng các hàm sin và cos là phần ảo và phần thực của hàm mũ của số ảo:

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,.$

Với i là đơn vị ảo, căn bậc hai của -1.

$\cos x\,=\,{\mbox{Re }}(e^{\imath x})$

$\sin x\,=\,{\mbox{Im }}(e^{\imath x})$

Liên hệ này được phát hiện lần đầu bởi Euler và công thức này đã được gọi là công thức Euler. Trong giải tích phức, nếu vẽ vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức, gồm các điểm z = e^ix, các mối liên hệ giữa số phức và lượng giác trở nên rõ ràng. Ví dụ như các quá trình miêu tả bởi hàm mũ phức có tính chất tuần hoàn.

Công thức trên cũng cho phép mở rộng hàm lượng giác ra cho biến phức z:

$\sin z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\,=\,{e^{\imath z}-e^{-\imath z} \over 2\imath }=-\imath \sinh \left(\imath z\right)$

$\cos z\,=\,\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}\,=\,{e^{\imath z}+e^{-\imath z} \over 2}=\cosh \left(\imath z\right)$

Trong trường hợp đặc biệt, z = x, một số thực Thể loại:Lượng giác