Nhập môn Lượng giác/Hàm lượng giác cơ bản/Phương trình vi phân

Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân

$y\,''=-y$

Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.

Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành cơ sở (đại số tuyến tính)|hệ cơ sở cho V.

Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.

Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:

$y\,'=1+y^{2}$

với điều kiện biên y(0) = 0. Xem [1] cho một chứng minh của công thức này.

Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là:

$k={\frac {\pi }{180}}.$

Lúc đó:

$f(x)=\sin(kx);k\neq 0,k\neq 1\,$

và vi phân của

$f'(x)=k\cos(kx)\,$.

Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:

$y''=-k^{2}y\,$

Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác. Thể loại:Lượng giác