Nhập môn Lượng giác/Hàm lượng giác cơ bản/Chuỗi số

Hình:Taylorsine.svg|nhỏ|phải|200px|

Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).

Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị radian số thực|thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.

Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác. Chúng được dùng trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như hàm khả vi|khả vi hay hàm liên tục|liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.

Trong bảng dưới, quy ước:

E_n là số Euler thứ n

U_n là Biến đổi Boustrophedon|số lên/xuống thứ n

Hàm	Định nghĩa	Cụ thể
sin(x)	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$	$x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$
cos(x)	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$	$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$
tan(x)	$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$	$x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots$
cot(x)	${\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}U_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$	${\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-\cdots$
sec(x) ,math./vewyt.[trag hto\sum {m+3+8}^righ\ghogy{trac{7^9) --Đặc biệt:Contributions/123.19.141.99|123.19.141.99 (Thảo luận Thành viên:123.19.141.99|thảo luận) 12:36, ngày 2 tháng 5 năm 2009 (UTC) == Đề mục ==chuong trinh tu sua doi]
csc(x)	${\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\quad 0<\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$	${\frac {1}{x}}+{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}+{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots$

Thể loại:Hàm Lượng Giác Cơ Bản