Thảo luận:Nhập môn Giải tích/Tích phân/Tích phân bất định/Tích phân hàm số Hyperbol

The following is a list of integrals (antiderivative functions) of hyperbolic functions. For a complete list of Integral functions, see list of integrals.

In all formulas the constant a is assumed to be nonzero, and C denotes the constant of integration.

$\int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C\,$

$\int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C\,$

$\int \sinh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax-{\frac {x}{2}}+C\,$

$\int \cosh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax+{\frac {x}{2}}+C\,$

$\int \tanh ^{2}ax\,dx=x-{\frac {\tanh ax}{a}}+C\,$

$\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}\sinh ^{n-1}ax\cosh ax-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,$

also: $\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sinh ^{n+1}ax\cosh ax-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}\,$

$\int \cosh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}\sinh ax\cosh ^{n-1}ax+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,$

also: $\int \cosh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\sinh ax\cosh ^{n+1}ax-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}\,$

$\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tanh {\frac {ax}{2}}\right|+C\,$

also: $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\sinh ax}}\right|+C\,$

also: $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\sinh ax}{\cosh ax+1}}\right|+C\,$

also: $\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\cosh ax+1}}\right|+C\,$

$\int {\frac {dx}{\cosh ax}}={\frac {2}{a}}\arctan e^{ax}+C\,$

$\int {\frac {dx}{\sinh ^{n}ax}}={\frac {\cosh ax}{a(n-1)\sinh ^{n-1}ax}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,$

$\int {\frac {dx}{\cosh ^{n}ax}}={\frac {\sinh ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,$

$\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(n-m)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,$

also: $\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,$

also: $\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,$

$\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(m-n)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{m-n}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,$

also: $\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,$

also: $\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,$

$\int x\sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\cosh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\sinh ax+C\,$

$\int x\cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\sinh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\cosh ax+C\,$

$\int x^{2}\cosh ax\,dx=-{\frac {2x\cosh ax}{a^{2}}}+\left({\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right)\sinh ax+C\,$

$\int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\cosh ax|+C\,$

$\int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln |\sinh ax|+C\,$

$\int \tanh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\tanh ^{n-1}ax+\int \tanh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,$

$\int \coth ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\coth ^{n-1}ax+\int \coth ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,$

$\int \sinh ax\sinh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh bx\cosh ax-b\cosh bx\sinh ax)+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}\,$

$\int \cosh ax\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh ax\cosh bx-b\sinh bx\cosh ax)+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}\,$

$\int \cosh ax\sinh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh ax\sinh bx-b\cosh ax\cosh bx)+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}\,$

$\int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C\,$

$\int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C\,$

$\int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C\,$

$\int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C\,$

Bắt đầu cuộc thảo luận về Nhập môn Giải tích/Tích phân/Tích phân bất định/Tích phân hàm số Hyperbol

Trang thảo luận là nơi để mọi người cùng nhau thảo luận để giúp nội dung trên Wikibooks trở nên tốt nhất có thể. Bạn có thể sử dụng trang này để trò chuyện với người khác về cách cải thiện Nhập môn Giải tích/Tích phân/Tích phân bất định/Tích phân hàm số Hyperbol.

Bắt đầu cuộc thảo luận