Sách giải tích/Ứng dụng toán giải tích

Toán chuyển động

Chuyển động v(t)

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Vector chuyển động

Chuyển Động		s	v	a
Thẳng ngang	→	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {X}}=X{\frac {d}{dt}}{\vec {i}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {X}}=X{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {i}}$
Thẳng dọc	↑	${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Y}}=Y{\frac {d}{dt}}{\vec {j}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Y}}=Y{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {j}}$
Thẳng nghiêng		${\vec {Z}}=Z{\vec {k}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Z}}=Z{\frac {d}{dt}}{\vec {k}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Z}}=Z{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {k}}$

Dao động sóng sin đều

Dao động lò xo lên xuống

$g={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)=-\beta y(t)$

$y(t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

$\beta ={\frac {k}{m}}$

Dao động lò xo qua lại

$a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)=-\beta x(t)$

$x(t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

$\beta ={\frac {k}{m}}$

Dao động đong đưa con lắc

$g={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)=-\beta \theta (t)$

$\theta (t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

$\beta ={\frac {l}{m}}$

Toán Điện từ

Định luật điện từ

Các Định luật điện từ được phát triển bởi nhiều nhà khoa học gia

Định luật Gauss	Từ thông	$\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}$ $\Phi _{B}=\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$
Định luật Ampere	Từ cảm	$B=Li={\frac {\mu }{A}}i$
Định luật Lentz	Từ cảm ứng	$-\phi =-NB=-NLi$
Định luật Faraday	Điện từ cảm ứng	$-\epsilon =-\int Edl=-{\frac {d\phi _{B}}{dt}}=-NL{\frac {di}{dt}}$
Định luật Maxwell	Từ nhiểm	$H={\frac {B}{\mu }}$
Định luật Maxwell-Ampere	Dòng điện	$i=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ $\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }+{\frac {d\mathbf {\Phi _{E}} }{dt}}$

Phương trình Điện từ Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

• Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
• Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
• Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
• Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Tên	Dạng phương trình vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$

Phương trình và hàm số Sóng Điện từ

Vector trường điện từ

$\nabla \cdot \mathbf {E} =0$

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{T}}\mathbf {E}$

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

$\nabla \times \mathbf {B} =-{\frac {1}{T}}\mathbf {E}$

$T=\mu \epsilon$

Phương trình hàm số Sóng Điện từ

$\nabla (\nabla \times \mathbf {E} )=\nabla (-{\frac {1}{T}}\mathbf {E} )$

$\nabla (\nabla \times \mathbf {E} )=\nabla (-{\frac {1}{T}}\mathbf {E} )$

$\nabla ^{2}E=-\beta \mathbf {E}$

$\nabla ^{2}B=-\beta \mathbf {E}$

Hàm số Sóng Điện từ

$E=Asin\omega t$

$B=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Toán Điện nhiệt

Nhiệt nội

Điện trở	$W_{i}=i^{2}R(T)$
Cuộn từ	$W_{i}=\int Bdi=\int Lidi={\frac {1}{2}}Li^{2}$
Tụ điện	$W_{i}=\int Qdv=\int Qvdi={\frac {1}{2}}Cv^{2}$

Nhiệt ngoại

Điện trở	$pv=mC\Delta T$
Cuộn từ	$W_{e}=pv=pC=hf_{o}=h{\frac {C}{f_{o}}}$ Với H=0
Cuộn từ	$W_{e}=pv=pC=hf==h{\frac {C}{f}}$ Với H≠0