Sách giải tích/Ứng dụng toán giải tích

Not a book title page. Please remove {{alphabetical}} from this page.

Chuyển động thẳng hàng

Gia tốc biến đổi

Chuyển động thẳng đại diện cho mọi chuyển động theo đường thẳng không có thay đổi hướng.

Mọi chuyển động thẳng di chuyển từ điểm $(t_{o},v_{o})$ đến điểm $(t,v)$ sẽ có gia tốc khác không tính bằng

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}$

Vậy, Vận tốc di chuyển

$v=v_{o}+a\Delta t$

Đường dài di chuyển được tính bằng diện tích dưới hình v-t

$s=v_{o}\Delta t+{\frac {\Delta v}{2}}\Delta t$

$s=\Delta t(v_{o}+{\frac {\Delta v}{2}})$

$s=\Delta t(v_{o}+{\frac {a\Delta t}{2}})$ . Với $\Delta v=a\Delta t$

$s=\Delta t(v-{\frac {a\Delta t}{2}})$ . Với $v_{o}=v-a\Delta t$

$s=({\frac {v-v_{o}}{a}})({\frac {2v_{o}+v-v_{o}}{2}})={\frac {v^{2}-v_{o}^{2}}{2a}}$ .

Với

$\Delta t={\frac {v-v_{o}}{a}}$

Từ trên

$v^{2}=v_{o}^{2}+2as$

Chuyển động thẳng ở Gia tốc khác không

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}$

$v=v_{o}+a\Delta t$

$s=\Delta t(v_{o}+{\frac {\Delta v}{2}})=\Delta t(v_{o}+{\frac {a\Delta t}{2}})=\Delta t(v-{\frac {a\Delta t}{2}})={\frac {v^{2}-v_{o}^{2}}{2a}}$

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-0}}={\frac {\Delta v}{t}}$

$v=v_{o}+at$

$s=t(v_{o}+{\frac {\Delta v}{2}})$

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-0}{t-0}}={\frac {v}{t}}$

$v=at$

$s={\frac {1}{2}}vt={\frac {1}{2}}at^{2}$

Chuyển động thẳng ở Gia tốc bằng không

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}=0$

$v=v_{o}$

$s=v_{o}t$

Chuyển động thẳng ở Gia tốc là một hằng số không đổi

$a=-g$

$v=-gt$

$s=-gt^{2}$

Chuyển động cong

Gia tốc tức thời

$a(t)={\frac {\Delta v(t)}{\Delta t}}={\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{(t+\Delta t)-t}}$

$v(t+\Delta t)=v(t)+a(t)\Delta t$

$s(t)=\Delta t[v(t)+{\frac {\Delta v(t)}{\Delta t}}]=\Delta t[v(t)+{\frac {a(t)\Delta t}{\Delta t}}]=\Delta t[v(t+\Delta t)-{\frac {a(t)\Delta t}{\Delta t}}]={\frac {v(t+\Delta t)^{2}-v(t)^{2}}{2a(t)}}$

Khi $\Delta t->0$

Gia tốc chuyển động

$a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}\sum {\frac {\Delta v(t)}{\Delta t}}={\frac {d}{dt}}v(t)=v^{'}(t)$

Đường dài chuyển động

$s(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum (v(t)+{\frac {\Delta v(t)}{2}})\Delta t=\int v(t)dt=V(t)+C$

Chuyển động có đường dài di chuyển s(t)

Đường dài chuyển động

$s(t)$

Vận tốc chuyển động

$v(t)={\frac {d}{dt}}s(t)$

Gia tốc chuyển động

$a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Chuyển động có vận tốc di chuyển v(t)

Vận tốc chuyển động

$v(t)$

Gia tốc chuyển động

$a(t)={\frac {d}{dt}}v(t)$

Đường dài chuyển động

$s(t)=\int v(t)dt$

Tính toán chuyển động cong

Chuyển động có vận tốc chuyển động v(t)

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng đi qua điểm gốc		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang không đi qua điểm gốc		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Chuyển động có đường dài chuyển động s(t)

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	${\frac {d}{dt}}s(t)$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$
Vector đương thẳng ngang	→→	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {X}}={\frac {dX}{dt}}{\vec {i}}=v_{x}{\vec {i}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {X}}={\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}{\vec {i}}=a_{x}{\vec {i}}$
Vector đương thẳng dọc	↑ ↑	${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Y}}={\frac {dY}{dt}}{\vec {j}}=v_{y}{\vec {j}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Y}}={\frac {d^{2}Y}{dt^{2}}}{\vec {j}}=a_{y}{\vec {j}}$
Vector đương thẳng nghiêng		${\vec {Z}}=Z{\vec {k}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Z}}={\frac {dZ}{dt}}{\vec {k}}=v_{z}{\vec {k}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Z}}={\frac {d^{2}Z}{dt^{2}}}{\vec {k}}=a_{z}{\vec {k}}$
Vector đương tròn		${\vec {R}}=R{\vec {r}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {R}}$ $R{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d}{dt}}R=R{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}$ $R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R=R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}$
Vector đương tròn		${\vec {R}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {R}}={\frac {d}{dt}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})$ ${\frac {dX}{dt}}{\vec {i}}+{\frac {dY}{dt}}{\vec {j}}=v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})$ ${\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}{\vec {i}}+{\frac {d^{2}Y}{dt^{2}}}{\vec {j}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}$

Dao động sóng

Dao động sóng	Hình	Công thức	Phương trình dao động sóng	Hàm số sóng
Dao động lò xo lên xuống		$F_{a}=F_{y}$ $ma=-ky$ $a=-{\frac {k}{m}}y$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y$ $y=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y$	$y=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
Dao động lò xo qua lại		$F_{a}=F_{x}$ $ma=-kx$ $a=-{\frac {k}{m}}x$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x=-{\frac {k}{m}}x$ $x=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}x$	$x=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
Dao động con lắc đong đưa		${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {l}{g}}y$ $y=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {l}{g}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {l}{g}}y$	$y=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Sóng sin

Phương trình và hàm số Sóng sin

Phương trình đạo hàm sóng sin đều bậc n

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Phương trình được viết dưới dạng phương trình sóng như sau

$f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

Dùng hoán đổi tích phân Laplace ta có

$s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

Nghiệm của phương trình trên

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$
$\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$ .

$n$ ≥ $2$

Phương trình đạo hàm sóng sin không đều bậc 2

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace, ta có

$s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

Giải phương trình trên cho 3 nghiệm số sau

Với $\alpha =\beta$ . $s=-\alpha$

$f(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$

Với $\alpha$ > $\beta$ . $s=-\alpha \pm \lambda$

$f(t)=Ae^{-\alpha \pm \lambda t}=Ae^{-\alpha t}e^{\lambda t}+Ae^{-\alpha t}e^{-\lambda t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$

Với $\alpha$ < $\beta$ . $s=-\alpha \pm j\omega$

$f(t)=Ae^{-\alpha \pm \beta }t=Ae^{-\alpha t}e^{\pm j\omega t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

Điện

Phản ứng điện của vật

Điện nhiệt	DC	AC
Điện nguồn	$I={\frac {Q}{t}}$ $Q=It$ $V={\frac {W}{Q}}$ $W=QV$ $U={\frac {W}{t}}={\frac {QV}{t}}=IV$
Điện trở	$R={\frac {V}{I}}$ $V=IR$ $I={\frac {V}{R}}$ $P=IV=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}$
Cuộn từ	$B=LI$ $L={\frac {B}{I}}$ $I={\frac {B}{L}}$
Tụ điện	$Q=CV$ $C={\frac {Q}{V}}$ $V={\frac {Q}{C}}$

Điện nhiệt

Điện nhiệt	Dẩn điện	Nhiệt năng
Cộng dây thẳng dẩn diện		$W=i^{2}R(T)$ $R(T)=R_{o}+nT$ $R(T)=R_{o}e^{nT}$
Cuộn từ dẩn điện		$W=\int Bdi=\int Lidi={\frac {1}{2}}Li^{2}$
Tụ điện		$W=\int Qdv=\int Cvdv={\frac {1}{2}}Cv^{2}$
Cuộn từ dẩn điện		$W=i^{2}R(T)+\int Lidi$

Điện từ

Trường Điện từ

Định luật Gauss cho biết cách tính mật độ điện trường và từ trường

Ψ_E = EA = $\oint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q}{\epsilon _{o}}}$

Ψ_B = BA = $\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =\mu I$

Với

$\Phi$ là thông lượng điện,

$\mathbf {E}$ là điện trường,

$d\mathbf {A}$ là diện tích của một hình vuông vi phân trên mặt đóng S,

$Q_{\mathrm {A} }$ là điện tích được bao bởi mặt đó,

$\rho$ là mật độ điện tích tại một điểm trong

$V$, $\epsilon _{o}$ là hằng số điện của không gian tự do và $\oint _{S}$ là tích phân trên mặt S bao phủ thể tích V.

Từ trên,

E = ψ_E / A = ${\frac {Q}{\epsilon A}}={\frac {D}{\epsilon }}$

B = ψ_B / A = ${\frac {\mu }{A}}I=LI=\mu H$

Phương trình Điện từ nhiểm Maxwell

Tên	Dạng vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {d\phi }{dt}}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\mu _{o}I+\epsilon _{o}\mu _{o}{\frac {d\phi _{E}}{dt}}$

Phương trình Sóng Điện từ Laplace

Phương trình vector sóng điện từ

$\nabla \cdot E=0$
$\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$
$T=\mu \epsilon$

Phương trình và hàm số sóng điện từ

$\nabla ^{2}E=-\beta E$

$\nabla ^{2}B=-\beta B$

$E=Asin\omega t$

$B=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}={\sqrt {\frac {1}{T}}}={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=C$

Nhiệt

Điện nhiệt

Điện nhiệt	Dẩn điện	Nhiệt năng
Cộng dây thẳng dẩn diện		$W=i^{2}R(T)$ $R(T)=R_{o}+nT$ $R(T)=R_{o}e^{nT}$
Cuộn từ dẩn điện		$W=\int Bdi=\int Lidi={\frac {1}{2}}Li^{2}$
Tụ điện		$W=\int Qdv=\int Cvdv={\frac {1}{2}}Cv^{2}$
Cuộn từ dẩn điện		$W=i^{2}R(T)+\int Lidi$

Phóng xạ sóng điện từ

Dao động điện từ được Maxwell biểu diển dưới dạng 4 phương trình vector đạo hàm của 2 trường Điện trường, E và Từ trường, B

$\nabla \cdot E=0$
$\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$
$T=\mu \epsilon$

Cho một Phương trình sóng điện từ

$\nabla ^{2}E=-\beta E$

$\nabla ^{2}B=-\beta B$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Nghiệm của Phương trình sóng điện từ trên cho Hàm số sóng điện từ

$E=ASin\omega t$

$B=ASin\omega t$

Với

$\omega =\lambda f={\sqrt {\beta }}={\sqrt {\frac {1}{T}}}=C$

$T=\mu \epsilon$

Nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh của cuộn từ được biểu diển bằng phóng xạ sóng điện từ như sau

$W=pv=p\omega =p\lambda f=hf=pC$

$h=p\lambda$

$p={\frac {h}{\lambda }}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {c}{f}}$

Phóng xạ vật đen

Định luật Planck (minh họa bằng các đường cong màu) miêu tả chính xác bức xạ vật đen và giải quyết vấn đề "thảm họa cực tím" (đường màu đen).

Định luật Planck miêu tả bức xạ điện từ phát ra từ vật đen trong trạng thái cân bằng nhiệt ở một nhiệt độ xác định. Định luật đặt tên theo Max Planck, nhà vật lý đã nêu ra nó vào năm 1900. Định luật này là bước đi tiên phong đầu tiên của vật lý hiện đại và cơ học lượng tử.

Đối với tần số Bản mẫu:Math, hoặc bước sóng Bản mẫu:Math, định luật Planck viết dưới dạng:

$B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$

hoặc

$B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$

Với

B ký hiệu của cường độ bức xạ (spectral radiance),

T là nhiệt độ tuyệt đối, kB là hằng số Boltzmann,

h là hằng số Planck, và c là tốc độ ánh sáng trong môi trường hoặc trong chân không.[1][2][3] Đơn vị SI của phương trình là W·sr−1·m−2·Hz−1 đối với Bν(T) và W·sr−1·m−3 đối với Bλ(T).