Sách giải tích/Ứng dụng toán giải tích

Tóan hàm số

Thay đổi biến số x

\Delta x=(x+\Delta x)-x

Thay đổi biến số y

\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)

Biến đổi hàm số

{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}

Đạo hàm

v

{\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}

Tích phân xác định

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Tích phân bất định

\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C

Hoa"n chuyển tích phân

$f(x)$	$F(s)$	$F(j\omega )$
$f(x)$	$\int f(x)e^{sx}dx$	$\int f(x)e^{j\omega x}dx$
${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Chuyển động thẳng không đổi hướng

Động lượng

p=mv={\frac {F}{a}}v=Ft

F(t)={\frac {d}{dt}}p(t)

Chuyển động thẳng nghiêng

a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)

F=ma=m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)

Chuyển động tròn

a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R{\vec {r}}=R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R=R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}

F=ma=mR{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}

a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(X{\vec {i}}+Y{\vec {j}})=a_{x}{\vec {i}}+a_{j}{\vec {j}}

F=ma=m(a_{x}{\vec {i}}+a_{j}{\vec {j}})

Chuyển động cong

Tính chất

Tính Chất Chuyển Động	Ký Hiệu	Công Thức
Vận tốc	$v$	$v(t)$
Gia tốc	$a$	${\frac {d}{dt}}v(t)$
Đường dài	$s$	$\int v(t)dt$
Lực	$F$	$m{\frac {d}{dt}}v(t)$
Năng lực	$W$	$F\int v(t)dt$

Thí dụ

Chuyển Động	v	a	s
Cong	$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng	$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng	$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang	$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc	$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Phương trình va Hàm số sóng sin

Phương trình đạo hàm sóng bậc n

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

af^{n}(t)+bf(t)=0

Phương trình được viết dưới dạng phương trình sóng như sau

f^{n}(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)

Dùng hoán đổi tích phân Laplace ta có

s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)

s^{n}=-{\frac {b}{a}}

s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega

Nghiệm của phương trình trên

f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t

\omega =n{\sqrt {\frac {b}{a}}}

.

n

≥

2

Từ đó ta thấy

Phương trình sóng sin bậc n

af^{n}(t)+bf(t)=0

Có nghiệm là một hàm số sóng

f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t

\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}

Sao cho

n

≥

2

Phương trình đạo hàm sóng bậc 2

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0

f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0

Dùng hoán chuyển Laplace, ta có

s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0

s^{2}+2\alpha s+\beta =0

Giải phương trình trên cho 3 nghiệm số sau

Với $\alpha =\beta$ . $s=-\alpha$

f(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )

Với $\alpha$ > $\beta$ . $s=-\alpha \pm \lambda$

f(t)=Ae^{-\alpha \pm \lambda t}=Ae^{-\alpha t}e^{\lambda t}+Ae^{-\alpha t}e^{-\lambda t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}

Với $\alpha$ < $\beta$ . $s=-\alpha \pm j\omega$

f(t)=Ae^{-\alpha \pm \beta }t=Ae^{-\alpha t}e^{\pm j\omega t}=A(\alpha )sin\omega t

Với

A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}

\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}

\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}

\alpha ={\frac {b}{2a}}

\beta ={\frac {c}{a}}

Từ đó ta thấy

Phương trình sóng sin bậc n

af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0

Có nghiệm là một hàm số sóng

f(t)=Ae^{-\alpha \pm \beta }t=Ae^{-\alpha t}e^{\pm j\omega t}=A(\alpha )sin\omega t

Dao động sóng sin

Dao động sóng sin ngnag của lò xo

Phương trình dao động sóng

x^{''}(t)=-\beta x(t)

Hàm số sóng

x(t)=Asin\omega t

\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f

\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}

Dao động sóng sin dọc của lò xo

Phương trình dao động sóng

y^{''}(t)=-\beta y(t)

Hàm số sóng

y(t)=Asin\omega t

\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f

\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}

Dao động sóng sin nghiêng của con lắc

Phương trình dao động sóng

\theta ^{''}(t)=-\beta \theta (t)

Hàm số sóng

\theta (t)=Asin\omega t

\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f

\omega ={\sqrt {\frac {l}{m}}}

Điện từ

Định luật điện từ

Các Định luật điện từ được phát triển bởi nhiều nhà khoa học gia

Định luật Gauss	Từ thông	$\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}$ $\Phi _{B}=\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$
Định luật Ampere	Từ cảm	$B=Li={\frac {\mu }{A}}i$
Định luật Lentz	Từ cảm ứng	$-\phi =-NB=-NLi$
Định luật Faraday	Điện từ cảm ứng	$-\epsilon =-\int Edl=-{\frac {d\phi _{B}}{dt}}=-NL{\frac {di}{dt}}$
Định luật Maxwell	Từ nhiểm	$H={\frac {B}{\mu }}$
Định luật Maxwell-Ampere	Dòng điện	$i=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ $\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }+{\frac {d\mathbf {\Phi _{E}} }{dt}}$

Phương trình Điện từ Maxwell

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

Điện tích tạo ra điện trường như thế nào (định luật Gauss).
Sự không tồn tại của vật chất từ tích.
Dòng điện tạo ra từ trường như thế nào (định luật Ampere).
Và từ trường tạo ra điện trường như thế nào (định luật cảm ứng Faraday)

Tên	Dạng phương trình vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$