Phép cộng hai vectơ : tổng của hai vectơ
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
di chuyển vectơ
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
C
≡
B
{\displaystyle C\equiv B}
A
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}
[ sửa ] di chuyển vectơ
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
A
B
→
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
C
D
→
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
Tính chất Vectơ Công thức
Tính chất giao hoán
a
→
+
b
→
=
b
→
+
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}
Tính chất kết hợp
(
a
→
+
b
→
)
+
c
→
=
a
→
+
(
b
→
+
c
→
)
{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})}
Tính chất của vectơ-không
a
→
+
0
→
=
0
→
+
a
→
=
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}}
Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có:
A
B
→
+
B
C
→
=
A
C
→
{\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}}
I là trung điểm đoạn thẳng AB
⇔
A
I
→
+
B
I
→
=
0
→
{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {AI}}+{\vec {BI}}={\vec {0}}}
G là trọng tâm
△
A
B
C
{\displaystyle \vartriangle ABC}
⇔
G
A
→
+
G
B
→
+
G
C
→
=
0
→
{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}={\vec {0}}}
Với hai vectơ bất kì, với hằng số h và k, ta có
k
(
a
→
+
b
→
)
=
k
a
→
+
k
b
→
{\displaystyle k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}}
(
h
+
k
)
a
→
=
h
a
→
+
k
a
→
{\displaystyle (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}}
h
(
k
a
→
)
=
(
h
k
)
a
→
{\displaystyle h(k{\vec {a}})=(hk){\vec {a}}}
1.
a
→
=
a
→
{\displaystyle 1.{\vec {a}}={\vec {a}}}
(
−
1
)
.
a
→
=
−
a
→
{\displaystyle (-1).{\vec {a}}=-{\vec {a}}}
Tích vô hướng của hai vectơ A = [A 1 , A 2 ,.. ., A n và B = [B 1 , B 2 ,.. ., B n được định nghĩa như sau
A
⋅
B
=
∑
i
=
1
n
A
i
B
i
=
A
1
B
1
+
A
2
B
2
+
⋯
+
A
n
B
n
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}+\cdots +A_{n}B_{n}}
A
⋅
B
=
‖
A
‖
‖
B
‖
cos
(
θ
)
,
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\ \|\mathbf {B} \|\cos(\theta ),}
A và B .Trường hợp đặc biệt,
Nếu A và B trực giao thì góc giữa chúng là 90°, do đó:
A
⋅
B
=
0.
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0.}
Nếu chúng cùng hướng thì góc giữa chúng là 0°, do đó:
A
⋅
B
=
‖
A
‖
‖
B
‖
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\left\|\mathbf {A} \right\|\,\left\|\mathbf {B} \right\|}
Suy ra tích vô hướng của vectơ A và chính nó là:
A
⋅
A
=
‖
A
‖
2
,
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\left\|\mathbf {A} \right\|^{2},}
ta có:
‖
A
‖
=
A
⋅
A
,
{\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}
là khoảng cách Euclid của vectơ, luôn có giá trị dương khi A khác 0 .
A = [A 1 , A 2 ,.. ., A n
‖
A
‖
=
∑
k
=
1
n
A
k
2
{\displaystyle \left\|\mathbf {A} \right\|={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}A_{k}^{2}}}}
Cho a , b , và c là các vectơ và r là đại lượng vô hướng , tích vô hướng thỏa mãn các tính chất sau:.
Giao hoán :
a
⋅
b
=
b
⋅
a
,
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} ,}
được suy ra từ định nghĩa (θ góc giữa a và b ):
a
⋅
b
=
‖
a
‖
‖
b
‖
cos
θ
=
‖
b
‖
‖
a
‖
cos
θ
=
b
⋅
a
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} .}
Phân phối cho phép cộng vectơ:
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}
Dạng song tuyến
a
⋅
(
r
b
+
c
)
=
r
(
a
⋅
b
)
+
(
a
⋅
c
)
.
{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ).}
Phép nhân vô hướng :
(
c
1
a
)
⋅
(
c
2
b
)
=
c
1
c
2
(
a
⋅
b
)
.
{\displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=c_{1}c_{2}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).}
Không có tính kết hợp bởi vì tích vô hướng giữa đại lượng vô hướng (a ⋅ b ) và vectơ (c ) không tồn tại, tức là biểu thức cho tính kết hợp: (a ⋅ b ) ⋅ c or a ⋅ (b ⋅ c ) là không hợp lệ.Trực giao :Hai vectơ khác vectơ không: a và b trực giao khi và chỉ khi a ⋅ b = 0
Hai vectơ trực giao trong không gian Euclid còn được gọi là vuông góc . Không có tính khử :
Tính khử cho phép nhân của các số được định nghĩa như sau: nếu
ab = ac b luôn luôn bằng c nếu a khác 0. Tích vô hướng không tuân theo tính khử:Nếu a ⋅ b = a ⋅ c a ≠ 0 a ⋅ (b − c ) = 0phân phối ; suy ra a trực giao với (b − c ) , tức là (b − c ) ≠ 0 b ≠ c Quy tắc đạo hàm tích: Nếu a và b là hàm số , thì đạo hàm ca ⋅ b a ′ ⋅ b + a ⋅ b ′
Tam giác có cạnh vectơ a and b , và góc giữa 2 vectơ là θ . Hai vectơ a và b có góc giữa hai vectơ là θ (như trong hình bên phải) tạo thành một tam giác có cạnh thứ ba là c = a − b c và chính nó là Định lý cos :
c
⋅
c
=
(
a
−
b
)
⋅
(
a
−
b
)
=
a
⋅
a
−
a
⋅
b
−
b
⋅
a
+
b
⋅
b
=
a
2
−
a
⋅
b
−
a
⋅
b
+
b
2
=
a
2
−
2
a
⋅
b
+
b
2
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} &=(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\\&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\&=a^{2}-\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} -\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\&=a^{2}-2\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +b^{2}\\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \\\end{aligned}}}
Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải
Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải . Phép nhân vectơ của vectơ a và b được ký hiệu là a × b hay
[
a
→
,
b
→
]
{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]}
a
×
b
=
n
^
|
a
|
|
b
|
sin
θ
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|\sin \theta }
với θ là góc giữa a và b (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa a và b , và n là vectơ đơn vị vuông góc với a và b .
Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với a và b (khi a và b không cùng phương), vì nếu n vuông góc với a và b thì -n cũng vậy.
Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải . (a , b , a × b ) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.
Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ . May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.
hệ trục tọa độ Oxyz, cho
n
1
→
=
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(A_{1},B_{1},C_{1})}
n
2
→
=
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(A_{2},B_{2},C_{2})}
[
n
1
→
,
n
2
→
]
=
(
|
B
1
C
1
B
2
C
2
|
,
|
C
1
A
1
C
2
A
2
|
,
|
A
1
B
1
A
2
B
2
|
)
{\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}
Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào.
Diện tích hình bình hành ABCD:
S
=
|
[
A
B
→
;
A
D
→
]
|
=
A
B
.
A
D
.
s
i
n
(
A
)
{\displaystyle S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)}
Thể tích khối hộp ABCDA'B'C'D':
V
=
|
[
A
B
→
;
A
D
→
]
⋅
A
A
′
→
|
{\displaystyle V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert }
2 vector
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→
;
v
→
]
=
0
→
{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}}
3 vector
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
w
→
{\displaystyle {\vec {w}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
[
u
→
;
v
→
]
.
w
→
=
0
{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}
![{\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/008d8868e90625dc41200b2396382596923b8d9c)
![{\displaystyle [{\vec {n_{1}}},{\vec {n_{2}}}]=({\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14cf919fe1c939d7c84b9d19d5bc78bd08474340)
![{\displaystyle S=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\right\vert =AB.AD.sin(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/760fdf915998c29a66e0f1db274670f50bc32c72)
![{\displaystyle V=\left\vert [{\vec {AB}};{\vec {AD}}]\cdot {\vec {AA'}}\right\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59ee277ddb227df9df6bc11dc54f1b1d3c9c7efe)
![{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}]={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902f2c5070ec2906fba5cdfebc75db816024ab33)
![{\displaystyle [{\vec {u}};{\vec {v}}].{\vec {w}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29ff4069898c2e3c87418e03aeb2464f9f0777a4)