Sách toán ứng dụng

Toán cơ bản

Vector

Định nghỉa

Vector đại diện cho đường thẳng có hướng . Vector có ký hiệu ${\vec {A}}$ và công thức toán sau

${\vec {A}}=A{\vec {a}}$

Với

${\vec {A}}=A{\vec {a}}$	Vector đường thẳng
$A={\frac {\vec {A}}{\vec {a}}}$	Đường dài đường thẳng
${\vec {a}}={\frac {\vec {A}}{A}}$	Vector đường thẳng 1 đơn vị

Vector đường thẳng

Vector đường thẳng trong tam giác vuông Pythagore

Vector đường thẳng	Vector	Vector 1 đơn vị	Độ dài
Vector đường thẳng ngang	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$	${\vec {i}}={\frac {\vec {X}}{X}}$	$X={\frac {\vec {X}}{\vec {i}}}$
Vector đường thẳng dọc	${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}$	${\vec {j}}={\frac {\vec {Y}}{Y}}$	$Y={\frac {\vec {Y}}{\vec {j}}}$
Vector đường thẳng nghiêng	${\vec {Z}}=Z{\vec {k}}$	${\vec {k}}={\frac {\vec {Z}}{Z}}$	$Z={\frac {\vec {Z}}{\vec {k}}}$

Vector đường tròn

Vector đường tròn Eucleur

${\vec {R}}=R{\vec {r}}={\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}=X{\vec {i}}+Y{\vec {j}}$

Đường thẳng

Tương quan góc và cạnh trong tam giác vuông Pythago

${\frac {X}{Z}}=cos\theta$

${\frac {Y}{Z}}=sin\theta$

${\frac {1}{X}}=sec\theta$

${\frac {1}{Y}}=csc\theta$

${\frac {Y}{X}}=tan\theta$

${\frac {X}{Y}}=cot\theta$

Từ trên,

$X={\frac {Y}{Z}}=Zcos\theta =x-x_{o}=\Delta x$

$Y=ZX=Zsin\theta =y-y_{o}=\Delta y$

$Z={\frac {Y}{X}}=tan\theta ={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$

$\theta =Tan^{-1}Z=Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}$

Phương trình đường thẳng nghiêng

Đường thẳng nghiêng ở góc độ nghiêng

$Z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}$

Đường thẳng nghiêng có độ nghiêng

$Y=ZX$

$y-y_{o}=Z(x-x_{o})$

$y=y_{o}+ZX$

Từ trên,

$X={\frac {Y}{Z}}={\frac {y-y_{o}}{Z}}$

$y_{o}=y-ZX$

Diện tích dưới hình đường thẳng nghiêng

$S=X(y_{o}+{\frac {Y}{2}})=X(y_{o}+{\frac {ZX}{2}})=X(y-{\frac {ZX}{2}})$

$S=({\frac {y-y_{o}}{Z}})({\frac {2y_{o}+y-y_{o}}{a}})={\frac {y^{2}-y_{o}^{2}}{2Z}}$

$y^{2}=y_{o}^{2}+2SZ$

Vòng tròn

Trọn vòng tròn

Từ

$Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$+

Ta có

Phương trình vòng tròn có bán kín $R=Z$

$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$ .

Phương trình vòng tròn có bán kín $R=1$

$1=cos^{2}\theta +sin^{2}\theta$

$1=sec^{2}\theta +tan^{2}\theta$

$1=csc^{2}\theta +cot^{2}\theta$

Cung vòng tròn

$\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega -\omega _{o}}{t-t_{o}}}$

$\omega =\omega _{o}+\alpha t$

$\theta =\Delta t(\omega _{o}+{\frac {\Delta \omega }{\Delta t}})=\Delta t(\omega _{o}+{\frac {\alpha \Delta t}{\Delta t}})=\Delta t(\omega -{\frac {\alpha \Delta t}{\Delta t}})=({\frac {\omega ^{2}-\omega _{o}^{2}}{2\alpha }})$

Vòng cong

Độ nghiêng

$a={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$

Diện tích dưới hình

$s=\Delta x[f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}}]$

Khi $\Delta x->0$

Gia tốc chuyển động

$a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}\sum {\frac {\Delta v(t)}{\Delta t}}={\frac {d}{dt}}v(t)=v^{'}(t)$

Đường dài chuyển động

$s(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum (v(t)+{\frac {\Delta v(t)}{2}})\Delta t=\int v(t)dt=V(t)+C$

Chuyển động

Chuyển động thẳng hàng

Chuyển động thẳng hàng là một loại chuyển động theo một đường thẳng không đổi hướng .

Với mọi chuyển động thẳng hàng di chuyển qua 2 điểm không có đổi hướng từ điểm $(t_{o},v_{o})$ đến điểm $(t,v)$ có gia tốc biến đổi được tính bằng tỉ lệ của thay đổi vận tốc theo thay đổi thời gian

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}$

Vậy, Vận tốc di chuyển

$v=v_{o}+a\Delta t$

Từ trên

$v_{o}=v-a\Delta t$

$\Delta t={\frac {v-v_{o}}{a}}$

$\Delta v=a\Delta t$

Đường dài di chuyển được tính bằng diện tích dưới hình v-t

$s=v_{o}\Delta t+{\frac {\Delta v}{2}}\Delta t=\Delta t(v_{o}+{\frac {\Delta v}{2}})$

$s=\Delta t(v_{o}+{\frac {a\Delta t}{2}})$

$s=\Delta t(v-{\frac {a\Delta t}{2}})$

$s=({\frac {v-v_{o}}{a}})({\frac {2v_{o}+v-v_{o}}{2}})={\frac {v^{2}-v_{o}^{2}}{2a}}$

Từ trên

$v^{2}=v_{o}^{2}+2as$

Chuyển động thẳng hàng ở Gia tốc khác không

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}$ $v=v_{o}+a\Delta t$ $s=\Delta t(v_{o}+{\frac {\Delta v}{2}})=\Delta t(v_{o}+{\frac {a\Delta t}{2}})=\Delta t(v-{\frac {a\Delta t}{2}})={\frac {v^{2}-v_{o}^{2}}{2a}}$

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}={\frac {v-0}{t-0}}={\frac {v}{t}}$ $v=at$ $s={\frac {1}{2}}vt$

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-0}}={\frac {\Delta v}{t}}$ $v=v_{o}+at$ $s=t(v_{o}+{\frac {\Delta v}{2}})$

Chuyển động thẳng hàng ở Gia tốc bằng không

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {v-v_{o}}{t-t_{o}}}=0$ $v=v_{o}$ $s=v_{o}t$

Chuyển động thẳng hàng ở Gia tốc là một hằng số không đổi

$a=-g$ $v=-gt$ $s=-gt^{2}$

Chuyển động tròn

Chuyển động xoay tròn

Chuyển động cung tròn có

Đường dài

$s=r\theta$

Vận tốc

$v=r\omega$

Gia tốc

$a=r\alpha$

Với

$\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega -\omega _{o}}{t-t_{o}}}$

$\omega =\omega _{o}+\alpha t$

$\theta =\Delta t(\omega _{o}+{\frac {\Delta \omega }{\Delta t}})=\Delta t(\omega _{o}+{\frac {\alpha \Delta t}{\Delta t}})=\Delta t(\omega -{\frac {\alpha \Delta t}{\Delta t}})=({\frac {\omega ^{2}-\omega _{o}^{2}}{2\alpha }})$

Chuyển động quay tròn

Chuyển động trọn vòng tròn có

Đường dài

$s=2\pi$

Vận tốc

$v={\frac {s}{t}}={2\pi }{t}=2\pi f=\omega$

Gia tốc

$a={\frac {v}{t}}={\frac {\omega }{t}}$

Chuyển động cong

Chuyển động cong đại diện cho chuyển động không đều có thay đổi hướng di chuyển có gia tốc, vận tốc và đường dài di chuyển tính bằng bằng gia tốc tức thời $a(t)$ , vận tốc tức thời $v(t)$ và đường dài tức thời $s(t)$

Chuyển động cong v(t)

Gia tốc trung bình chuyển động cong

$a={\frac {v(t+\Delta t)-v(t)}{(t+\Delta t)-t}}={\frac {\Delta v(t)}{\Delta t}}$

$s=\Delta t[v(t)+{\frac {\Delta v(t)}{2}}]$

Khi $\Delta t->0$

Gia tốc túc thời chuyển động cong

$a=a(t)=\lim _{\Delta t\to 0}\sum {\frac {\Delta v(t)}{\Delta t}}={\frac {d}{dt}}v(t)=v^{'}(t)$

Vận tốc túc thời chuyển động cong

$v=v(t)$

Đường dài túc thời chuyển động cong

$s=s(t)=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum (v(t)+{\frac {\Delta v(t)}{2}})\Delta t=\int v(t)dt=V(t)+C$

Chuyển động cong s(t)

$a=v(t)={\frac {d}{dt}}v={\frac {d}{dt}}{\frac {d}{dt}}s(t)={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

$v=v(t)={\frac {d}{dt}}s(t)$

$s=s(t)$

Từ trên,

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	${\frac {d}{dt}}s(t)$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$
Vector đương thẳng ngang	→→	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {X}}={\frac {dX}{dt}}{\vec {i}}=v_{x}{\vec {i}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {X}}={\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}{\vec {i}}=a_{x}{\vec {i}}$
Vector đương thẳng dọc	↑ ↑	${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Y}}={\frac {dY}{dt}}{\vec {j}}=v_{y}{\vec {j}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Y}}={\frac {d^{2}Y}{dt^{2}}}{\vec {j}}=a_{y}{\vec {j}}$
Vector đương thẳng nghiêng		${\vec {Z}}=Z{\vec {k}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Z}}={\frac {dZ}{dt}}{\vec {k}}=v_{z}{\vec {k}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Z}}={\frac {d^{2}Z}{dt^{2}}}{\vec {k}}=a_{z}{\vec {k}}$
Vector đương tròn		${\vec {R}}=R{\vec {r}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {R}}$ $R{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d}{dt}}R=R{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}$ $R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R=R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}$
Vector đương tròn		${\vec {R}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {R}}={\frac {d}{dt}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})$ ${\frac {dX}{dt}}{\vec {i}}+{\frac {dY}{dt}}{\vec {j}}=v_{x}{\vec {i}}+v_{y}{\vec {j}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})$ ${\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}{\vec {i}}+{\frac {d^{2}Y}{dt^{2}}}{\vec {j}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}$

Chuyển động sóng

Phương trình sóng và Hàm số sóng

Với phương trình sóng có dạng tổng quát

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace , ta có

$s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$ Sao cho n ≥ 2

Sóng sin có thể biểu diển bằng Hàm số sóng sau

$f(t)=Asin\omega t$

Hàm số sóng này thỏa mản một Phương trình sóng sau

$f^{n}(t)=-\beta f(t)$

Với

$\omega ={\sqrt[{n}]{\beta }}$

n ≥ 2

Điện

Điện nguồn

Điện DC

$I={\frac {Q}{t}}$
$Q=It$
$V={\frac {W}{Q}}$
$W=QV$
$U={\frac {W}{t}}={\frac {QV}{t}}=IV$

Điện AC

$i(t)={\frac {d}{dt}}Q(t)$
$Q(t)=\int i(t)dt$
$v(t)={\frac {d}{dt}}{\frac {W(t)}{Q(t)}}$
$W(t)=\int v(t)dQ(t)dt=\int v(t)i(t)dt$
$U(t)={\frac {d}{dt}}W(t)={\frac {d}{dt}}\int v(t)i(t)dt$

Điện trở

Điện DC

$R={\frac {V}{I}}$
$V=IR$
$I={\frac {V}{R}}$
$P=IV=I^{2}R={\frac {V^{2}}{R}}$

Điện AC

$i(t)={\frac {v(t)}{X}}$
$v(t)=i(t)X$
:::$X={\frac {v(t)}{i(t)}}=0$
$Z=R+X=R\angle 0=R=r$

Cuộn từ

Điện DC

$B=LI$
$L={\frac {B}{I}}$
$I={\frac {B}{L}}$

Điện AC

$v(t)=L{\frac {d}{dt}}i(t)$
$i(t)={\frac {1}{L}}\int v(t)dt$
$X={\frac {v(t)}{i(t)}}=\omega L\angle 90=j\omega L=sL$
$Z=R+X=R+{\frac {v(t)}{i(t)}}=R\angle 0+\omega L\angle 90=R+j\omega L=R+sL$

Tụ điện

Điện DC

$Q=CV$
$C={\frac {Q}{V}}$
$V={\frac {Q}{C}}$

Điện AC

$v(t)={\frac {1}{C}}\int i(t)dt$
$i(t)=C{\frac {d}{dt}}v(t)$
$X={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {1}{\omega C}}\angle -90={\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1}{SC}}$
$Z=R+X=R+{\frac {v(t)}{i(t)}}=R\angle 0+{\frac {1}{\omega C}}\angle -90=R+{\frac {1}{j\omega C}}=R+{\frac {1}{SC}}$

|}

Điện từ

Trường Điện từ

Định luật Gauss cho biết cách tính mật độ điện trường và từ trường

Ψ_E = EA = $\oint \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q}{\epsilon _{o}}}$

Ψ_B = BA = $\oint \mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =\mu I$

Với

$\Phi$ là thông lượng điện,

$\mathbf {E}$ là điện trường,

$d\mathbf {A}$ là diện tích của một hình vuông vi phân trên mặt đóng S,

$Q_{\mathrm {A} }$ là điện tích được bao bởi mặt đó,

$\rho$ là mật độ điện tích tại một điểm trong

$V$, $\epsilon _{o}$ là hằng số điện của không gian tự do và $\oint _{S}$ là tích phân trên mặt S bao phủ thể tích V.

Từ trên,

E = ψ_E / A = ${\frac {Q}{\epsilon A}}={\frac {D}{\epsilon }}$

B = ψ_B / A = ${\frac {\mu }{A}}I=LI=\mu H$

Phương trình Điện từ nhiểm Maxwell

Tên	Dạng vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =-{\frac {d\phi }{dt}}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\mu _{o}I+\epsilon _{o}\mu _{o}{\frac {d\phi _{E}}{dt}}$

Phương trình Sóng Điện từ Laplace

Phương trình vector sóng điện từ

$\nabla \cdot E=0$
$\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$
$T=\mu \epsilon$

Phương trình và hàm số sóng điện từ

$\nabla ^{2}E=-\beta E$

$\nabla ^{2}B=-\beta B$

$E=Asin\omega t$

$B=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}={\sqrt {\frac {1}{T}}}={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=C$

Điện nhiệt

Điện nhiệt nội

Hiện tượng nhiệt phát sinh trong mọi vật khi có dòng điện chảy trong vật dẩn điện

Điện nhiệt	Dẩn điện	Nhiệt năng
Cộng dây thẳng dẩn diện		$W=i^{2}R(T)$ $R(T)=R_{o}+nT$ $R(T)=R_{o}e^{nT}$
Cuộn từ dẩn điện		$W=\int Bdi=\int Lidi={\frac {1}{2}}Li^{2}$
Tụ điện		$W=\int Qdv=\int Cvdv={\frac {1}{2}}Cv^{2}$
Cuộn từ dẩn điện		$W=i^{2}R(T)+\int Lidi$

Điện nhiệt ngoại

Hiện tượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh trong mọi vật khi có dòng điện chảy trong vật dẩn điện

Điện nhiệt	Dẩn điện	Nhiệt năng
Cộng dây thẳng dẩn diện		$W=pv=mC\Delta T$
Tụ điện	v	$W=$
Cuộn từ dẩn điện		H = 0 $W=pC=hf_{o}$ $W=pv=p\omega _{o}=p\lambda _{o}f_{o}=hf_{o}$ $W=pv=p\omega _{o}=p{\sqrt {\frac {1}{\mu _{o}\epsilon _{o}}}}=pC$
Cuộn từ dẩn điện		H ≠ 0 $W=pC=hf$ $W=pv=p\omega =p\lambda f=hf$ $W=pv=p\omega =p{\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=pC$

Nhiệt

Nhiệt độ

Nhiệt độ chuẩn

Nhiệt độ phòng	$25^{o}C$
Nhiệt độ đông đặc	$0^{o}C$
Nhiệt độ tan lỏng	$25^{o}C$
Nhiệt độ bốc hơi	$100^{o}C$

Nhiệt và vật

Nhiệt điện từ

≈≈≈ || ≈≈≈==|| ≈≈≈e

Nhiệt điện từ	Nhiệt	Nhiệt quang	Nhiệt điện
Lối mắc	Cộng dây thẳng dẫn điện	Cuộn tròn của N vòng tròn dẫn điện	Cuộn tròn của N vòng tròn dẫn điện với từ vật nằm trong các vòng quấn
Tần số thời gian	$f<f_{o}$	$f=f_{o}$	$f>f_{o}$
Năng lực nhiệt	$W=pv=mC\Delta T$	$W_{o}=pv=pC=hf_{o}$	$W=pv=pC=hf$
Hằng số C	$C=p{\frac {v}{m\Delta T}}$	$C={\sqrt {\frac {1}{\mu _{o}\epsilon _{o}}}}=\omega _{o}=\lambda _{o}f_{o}$	$C={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=\omega =\lambda f$
Khối lượng/Lượng tử	$m=p\lambda =p{\frac {C\Delta T}{v}}$	$h=p\lambda _{o}$	$h=p\lambda$
Động lượng	$p={\frac {m}{\lambda }}=m{\frac {v}{C\Delta T}}$	$p={\frac {h}{\lambda _{o}}}$	$p={\frac {h}{\lambda }}$
Bước sóng	$\lambda ={\frac {m}{p}}={\frac {C\Delta T}{v}}$	$\lambda _{o}={\frac {C}{f_{o}}}={\frac {h}{p}}$	$\lambda ={\frac {C}{f}}={\frac {h}{p}}$

Nhiệt truyền

Nhiệt cảm

$W=pv=mv\Delta T$

$T_{1}=T_{2}$

$\Delta T=T_{1}-T_{2}=0$

$W=mv\Delta T=0$

$T_{1}>T_{2}$

$\Delta T=T_{1}-T_{2}$

$W=mv\Delta T=mv(T_{1}-T_{2})$

$T_{1}-->T_{2}$

$T_{2}>T_{1}$

$\Delta T=T_{2}-T_{1}$

$W=mv\Delta T=mv(T_{2}-T_{1})$

$T_{1}<--T_{2}$

Nhiệt dẩn

$W=\phi +KE=hf$

Ở $f=f_{o}$

$KE=0$

Vậy,

$\phi =hf_{o}$

Nhiệt phóng xạ

Từ

$W=\phi +KE=hf$

Ta có

$hf=hf_{o}+{\frac {1}{2}}mv^{2}$

Phóng xạ

Phóng xạ sóng điện từ

Dao động điện từ được Maxwell biểu diển dưới dạng 4 phương trình vector đạo hàm của 2 trường Điện trường, E và Từ trường, B

$\nabla \cdot E=0$
$\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$
$T=\mu \epsilon$

Cho một Phương trình sóng điện từ

$\nabla ^{2}E=-\beta E$

$\nabla ^{2}B=-\beta B$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Nghiệm của Phương trình sóng điện từ trên cho Hàm số sóng điện từ

$E=ASin\omega t$

$B=ASin\omega t$

Với

$\omega =\lambda f={\sqrt {\beta }}={\sqrt {\frac {1}{T}}}=C$

$T=\mu \epsilon$

Nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh của cuộn từ được biểu diển bằng phóng xạ sóng điện từ như sau

$W=pv=p\omega =p\lambda f=hf=pC$

$h=p\lambda$

$p={\frac {h}{\lambda }}$

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {c}{f}}$

Phóng xạ vật đen

Định luật Planck (minh họa bằng các đường cong màu) miêu tả chính xác bức xạ vật đen và giải quyết vấn đề "thảm họa cực tím" (đường màu đen).

Định luật Planck miêu tả bức xạ điện từ phát ra từ vật đen trong trạng thái cân bằng nhiệt ở một nhiệt độ xác định. Định luật đặt tên theo Max Planck, nhà vật lý đã nêu ra nó vào năm 1900. Định luật này là bước đi tiên phong đầu tiên của vật lý hiện đại và cơ học lượng tử.

Đối với tần số ν, hoặc bước sóng λ, định luật Planck viết dưới dạng:

$B_{\nu }(T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$

hoặc

$B_{\lambda }(T)={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}$

Với

B ký hiệu của cường độ bức xạ (spectral radiance),

T là nhiệt độ tuyệt đối, kB là hằng số Boltzmann,

h là hằng số Planck, và c là tốc độ ánh sáng trong môi trường hoặc trong chân không.

[1][2][3] Đơn vị SI của phương trình là W·sr−1·m−2·Hz−1 đối với Bν(T) và W·sr−1·m−3 đối với Bλ(T).