Sách toán ứng dụng

Tam giác vuông

• Hàm số lượng giác cơ bản biểu diển tương quan các cạnh và góc trong tam giác vuông

Hàm số góc lượng giác	Tỉ lệ cạnh	Đồ thị
Cô sin	${\frac {X}{Z}}=\cos \theta$
Sin	${\frac {Y}{Z}}=\sin \theta$
Sec	${\frac {1}{X}}=\sec \theta$
Cô sec	${\frac {1}{Y}}=\csc \theta$
Tan	${\frac {Y}{X}}=\tan \theta$
Cô tan	${\frac {X}{Y}}=\cot \theta$

• Độ dài các cạnh tam giác vuông được tính như sau

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang	$X$	$x-x_{o}$	$\Delta x$	$Z\cos \theta$
Độ dài cạnh dọc	$Y$	$y-y_{o}$	$\Delta y$	$Z\sin \theta$
Độ dóc	$Z={\frac {Y}{X}}$	${\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$	${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$	$Tan\theta$
Độ nghiêng	$\theta =\tan ^{-1}Z$	$\theta =\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}$

• Vector các cạnh tam giác vuông

Vector	ngang	dọc	nghiêng
Vector đương thẳng	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$	${\vec {Y}}=Y{\vec {i}}$	${\vec {Z}}=Z{\vec {k}}$
Vector 1 đơn vị	${\vec {i}}={\frac {\vec {X}}{X}}$	${\vec {j}}={\frac {\vec {Y}}{Y}}$	${\vec {k}}={\frac {\vec {Z}}{Z}}$
Đô dài Vector đương thẳng	$X={\frac {\vec {X}}{\vec {i}}}$	$Y={\frac {\vec {Y}}{\vec {j}}}$	$Z={\frac {\vec {Z}}{\vec {k}}}$

• Độ dóc đường thẳng nghiêng

$a={\frac {Y}{X}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

• Diện tích dưới hình đường thẳng nghiêng

$s=X(y_{o}+{\frac {Y}{2}})=X(y_{o}+{\frac {ZX}{2}})=X(y-{\frac {ZX}{2}})={\frac {y^{2}-y_{o}^{2}}{2Z}}$

• Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z và Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ

$Y=ZX$
$y=y_{o}+Z(x-x_{o})$

$Z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}$

Hình tròn

• Vector vòng tròn có bán kín R=Z

${\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}=X{\vec {i}}+Y{\vec {j}}$

• Hàm số vòng tròn có bán kín R=Z hệ số thực

Từ

$Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$ >

Ta có

$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$ . $R=Z$

Cho phương trình vòng tròn có bán kín Z đơn vị

Từ trên

$({\frac {Z}{Z}})^{2}=({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}$

$1=cos^{2}\theta +sin^{2}\theta$

$1=sec^{2}\theta -tan^{2}\theta$

$1=csc^{2}\theta -cot^{2}\theta$

Cho phương trình vòng tròn có bán kín 1 đơn vị

• Hàm số vòng tròn có bán kín R=Z hệ số phức

$Z$	$X+jY$	$Z\angle \theta$	$z(\cos \theta +j\sin \theta )$	$Ze^{j\theta }$
$Z^{*}$	$X-jY$	$Z\angle -\theta$	$z(\cos \theta -j\sin \theta )$	$Ze^{-j\theta }$

Từ trên ta có

$Z+Z^{*}$	$2X$
$Z-Z^{*}$	$j2Y$
$Z\times Z^{*}$	$X^{2}-Y^{2}$
$Z/Z^{*}$	${\frac {X^{2}-Y^{2}}{X-jY}}$

Cung tròn

$\alpha ={\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\omega -\omega _{o}}{t-t_{o}}}$

$\omega =\omega _{o}+\alpha t$

$\theta =\Delta t(\omega _{o}+{\frac {\Delta \omega }{2}})=\Delta t(\omega _{o}+{\frac {\alpha \Delta t}{2}})=\Delta t(\omega t-{\frac {\alpha \Delta t}{2}})={\frac {\omega ^{2}-\omega _{o}^{2}}{2\alpha }}$

Hình cong

Phép toán hàm số - Giải tích	Hình	Công thức
Đạo hàm		$a={\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$
Tích phân bất định		$s=\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$
Tích phân xác định		$s_{a-b}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Hoán chuyển tích phân	Hoán chuyển Laplace	Hoán chuyển Fourier
$f(t)$	$f(t)->F(s)$ . ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$	$f(t)->F(j\omega )$ . ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

Hoán chuyển đạo hàm	Hệ Laplace	Hệ Fourier
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
$\int ^{n}dt^{n}$	${\frac {1}{s^{n}}}$	${\frac {1}{j\omega ^{n}}}$

• Giải phương trình đạo hàm bậc n

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

$s^{n}f(t)+{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s$	$n$	$f(t)=Ae^{s}t$
$-\alpha =-{\frac {b}{a}}$	n = 1	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$
$\pm j\omega =\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$	n ≥ 2	$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

• Giải phương trình đạo hàm bậc 2

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+2\alpha sf(t)+\beta f(t)=0$

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(t)=Ae^{st}$
$-\alpha$	$\alpha$ = $\beta$	$f(t)=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	$\alpha$ > $\beta$	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
$-\alpha \pm j\omega$	$\alpha$ < $\beta$	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\lambda ={\sqrt {\lambda -\beta }}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\lambda }}$

Từ trên,

Khi $a=0$

$bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{'}(t)+{\frac {c}{b}}f(t)=0$

$sf(t)+\alpha f(t)=0$

$s=-\alpha =-{\frac {c}{b}}$

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{-\alpha t}$

Khi $b=0$

$f^{''}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+\beta f(t)=0$

$s^{2}=-\beta =-{\frac {c}{a}}$

$s={\sqrt {-\beta }}=\pm j{\sqrt {\beta }}=\pm j\omega$

$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

Khi $c=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)=0$

$s^{2}f(t)+s{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s(s+{\frac {b}{a}})=0$

$s=0$ → $f(t)=Ae^{st}=Ae^{0t}=A$

$s=-{\frac {b}{a}}$ → $f(t)=Ae^{st}=Ae^{-{\frac {b}{a}}t}$

Ứng dụng

Chuyển động v(t) , s(t)

Chuyển Động v(t)

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Chuyển Động s(t)

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	${\frac {d}{dt}}s(t)$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$
Tròn		$r\theta (t)$	$r{\frac {d}{dt}}\theta (t)$	$r{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)$

Chuyển động sóng

• Vòng tròn hệ số phức

$cos\omega t={\frac {Z+Z^{*}}{2}}={\frac {e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2}}$

$sin\omega t={\frac {Z+Z^{*}}{2j}}={\frac {e^{j\theta }+e^{-j\theta }}{2j}}$

• Giải phương trình đạo hàm và hàm số nghiệm phương trình

	Phương trình đạo hàm	Hàm số
	$f^{'}(t)+\alpha f(t)=0$	$f(t)=Ae^{-\alpha t}$
	$f^{''}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $\omega ={\sqrt {\beta }}$
	$f^{n}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=Ae^{-j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $\omega =n{\sqrt {\beta }}$ và n ≥ 2
	$f^{''}(t)+2\alpha f^{'}(t)+\beta f(t)=0$	$f(t)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$ . Với $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

Dao động sóng cơ động

Dao động lò xo

Dao động sóng	Hình	Công thức	Phương trình dao động sóng	Hàm số sóng
Dao động lò xo lên xuống		$F_{a}=F_{y}$ $ma=-ky$ $a=-{\frac {k}{m}}y$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y$ $y=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y$	$y=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
Dao động lò xo qua lại		$F_{a}=F_{x}$ $ma=-kx$ $a=-{\frac {k}{m}}x$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x=-{\frac {k}{m}}x$ $x=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}x$	$x=A\sin(\omega t)$ $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Dao động con lắc

Dao động sóng	Hình	Công thức	Phương trình dao động sóng	Hàm số sóng
Dao động con lắc đong đưa		${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {l}{g}}y$ $y=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {l}{g}}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y=-{\frac {l}{g}}y$	$y=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\frac {l}{g}}}$

Dao động sóng điện RLC nối tiếp

Dao động sóng điện được tìm thấy trong mạch điện RLC nối tiếp

i R ≠ 0

Ở Trạng Thái Cân Bằng

$v_{L}+v_{C}+v_{R}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int Vdt+iR=0$

${\frac {d^{2}i}{dt}}+{\frac {R}{L}}{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{LC}}i=0$

${\frac {d^{2}i}{dt}}=-2\alpha {\frac {di}{dt}}-\beta i$

$\beta ={\frac {1}{T}}={\frac {1}{LC}}$

$\alpha =\beta \gamma ={\frac {R}{2L}}$

$T=LC$

$\gamma =RC$

Phương trìnhh trên có nghiệm như sau

• Một nghiệm thực . $\alpha =\beta$ . $i=Ae^{-\alpha t}$
• Hai nghiệm thực . $\alpha >\beta$ . $i=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
• Hai nghiệm phức . $\alpha <\beta$ . $i=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )\sin \omega t$

Voi

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\beta ={\frac {1}{T}}={\frac {1}{LC}}$

$\alpha =\gamma \beta$

$\gamma =RC$

$T=LC$

Ở Trạng Thái Đồng Bộ

$Z_{C}+Z_{L}=0$

$Z_{t}=Z_{C}+Z_{L}+Z_{R}=R$

Tu tren.

$Z_{C}=-Z_{L}$

$\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

$i(\omega =0)=0$

$i(\omega =\omega _{o})={\frac {v}{R}}$

$i(\omega =00)=0$

Với R = 0

$v_{L}+v_{C}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int vdt=0$

${\frac {d^{2}i}{dt}}+{\frac {1}{T}}=0$

${\frac {d^{2}i}{dt}}=-{\frac {1}{T}}$

$i(t)=e^{{\sqrt {-{\frac {1}{T}}}}t}=e^{\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}t}=e^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

Phân tích mạch điện LC nối tiếp ở trạng thái đồng bộ , khi điện kháng va dien the của L và C triệt tiêu

$Z_{L}-Z_{C}=0$

$V_{C}=-V_{L}$

Từ trên

$Z_{C}=-Z_{L}$

${\frac {1}{j\omega _{o}C}}=-j\omega _{o}L$

$\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

$V_{C}=-V_{L}$

$V(\theta )=A\sin(\omega _{o}t+2\pi )-A\sin(\omega _{o}t-2\pi )$

Mạch điện có khả năng tạo ra Dao động Sóng Dừng của 2 điện thế $V_{C}=-V_{L}$ giửa 2 góc 0 - 2π

Với L= 0

$v_{C}+v_{R}=0$

$C{\frac {dv}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$

${\frac {dv}{dt}}=-{\frac {V}{RC}}$

$v=Ae^{-{\frac {t}{T}}}$

$T=RC$

Với C = 0

$v_{L}+v_{R}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+iR=0$

${\frac {di}{dt}}=-i{\frac {R}{L}}$

$i=Ae^{-{\frac {t}{T}}}$

$T={\frac {L}{R}}$

Dao động sóng điện từ

Dao động sóng điện từ

Phương trình vector dao động điện từ $\nabla \cdot E=0$ $\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$ $\nabla \cdot B=0$ $\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$ $T=\mu \epsilon$ Phương trình sóng $\nabla ^{2}E=-\beta E$ $\nabla ^{2}B=-\beta B$ Hàm số sóng $E=A\sin \omega t$ $B=A\sin \omega t$ $\omega ={\sqrt {\beta }}={\sqrt {\frac {1}{T}}}={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=C=\lambda f$ Sóng điện từ