Sách toán ứng dụng

Chuyển động cong

Chuyển động cong đại diện cho chuyển động không đều có thay đổi hướng di chuyển có gia tốc, vận tốc và đường dài di chuyển tính bằng bằng gia tốc tức thời $a(t)$ , vận tốc tức thời $v(t)$ và đường dài tức thời $s(t)$

Chuyển động cong v(t)

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	$\frac{d}{dt}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	$\frac{1}{2}a{t}^2+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	$\frac{a{t}^2}{2}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	$\frac{t^2}{2}$

Chuyển động cong s(t)

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	$\frac{d}{dt}s(t)$	$\frac{d^2}{d{t}^2}s(t)$
Vector đương thẳng ngang	→→	$\overrightarrow{X}=X\overrightarrow{i}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{X}=\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}=v_x\overrightarrow{i}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{X}=\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}=a_x\overrightarrow{i}$
Vector đương thẳng dọc	↑ ↑	$\overrightarrow{Y}=Y\overrightarrow{j}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Y}=\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}=v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Y}=\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}=a_y\overrightarrow{j}$
Vector đương thẳng nghiêng		$\overrightarrow{Z}=Z\overrightarrow{k}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{Z}=\frac{dZ}{dt}\overrightarrow{k}=v_z\overrightarrow{k}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{Z}=\frac{d^{2}Z}{d{t}^2}\overrightarrow{k}=a_z\overrightarrow{k}$
Vector đương tròn		$\overrightarrow{R}=R\overrightarrow{r}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}$ $R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d}{dt}R=R\frac{d}{dt}\overrightarrow{r}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}$ $R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}+\overrightarrow{r}\frac{d^2}{d{t}^2}R=R\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{r}$
Vector đương tròn		$\overrightarrow{R}=\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y}$	$\frac{d}{dt}\overrightarrow{R}=\frac{d}{dt}(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$ $\frac{dX}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dY}{dt}\overrightarrow{j}=v_x\overrightarrow{i}+v_y\overrightarrow{j}$	$\frac{d^2}{d{t}^2}\overrightarrow{R}=\frac{d^2}{d{t}^2}(\overrightarrow{X}+\overrightarrow{Y})$ $\frac{d^{2}X}{d{t}^2}\overrightarrow{i}+\frac{d^{2}Y}{d{t}^2}\overrightarrow{j}=a_x\overrightarrow{i}+a_y\overrightarrow{j}$

Phương trình sóng và Hàm số sóng

Với phương trình sóng có dạng tổng quát

$a{f}^n(t)+bf(t)=0$

Dùng hoán chuyển Laplace , ta có

$s^{n}f(t)=-\frac{b}{a}f(t)$

$s^n=-\frac{b}{a}$

$s=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}=\pm j\sqrt[n]{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$

$f(t)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

$\omega =\sqrt[n]{\frac{b}{a}}$ Sao cho n ≥ 2

Sóng sin có thể biểu diển bằng Hàm số sóng sau

$f(t)=Asin\omega t$

Hàm số sóng này thỏa mản một Phương trình sóng sau

$f^n(t)=-\beta f(t)$

Với

$\omega =\sqrt[n]{\beta }$

n ≥ 2

Nhiệt Phóng xạ sóng điện từ

Dao động điện từ được Maxwell biểu diển dưới dạng 4 phương trình vector đạo hàm của 2 trường Điện trường, E và Từ trường, B

$\mathrm{\nabla }\cdot E=0$
$\mathrm{\nabla }\times E=-\frac{1}{T}E$
$\mathrm{\nabla }\cdot B=0$
$\mathrm{\nabla }\times B=-\frac{1}{T}B$
$T=\mu ϵ$

Cho một Phương trình sóng điện từ

${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-\beta E$

${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-\beta B$

$\omega =\sqrt{\beta }$

Nghiệm của Phương trình sóng điện từ trên cho Hàm số sóng điện từ

$E=ASin\omega t$

$B=ASin\omega t$

Với

$\omega =\lambda f=\sqrt{\beta }=\sqrt{\frac{1}{T}}=C$

$T=\mu ϵ$

Nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh của cuộn từ được biểu diển bằng phóng xạ sóng điện từ như sau

$W=pv=p\omega =p\lambda f=hf=pC$

$h=p\lambda$

$p=\frac{h}{\lambda }$

$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{c}{f}$

Điện AC

$i(t)=\frac{d}{dt}Q(t)$
$Q(t)=\int i(t)dt$
$v(t)=\frac{d}{dt}\frac{W(t)}{Q(t)}$
$W(t)=\int v(t)dQ(t)dt=\int v(t)i(t)dt$
$U(t)=\frac{d}{dt}W(t)=\frac{d}{dt}\int v(t)i(t)dt$

Phương trình Điện từ nhiểm Maxwell

Tên	Dạng vi phân	Dạng tích phân
Định luật Gauss:	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$	${\oint }_S𝐃\cdot d𝐀={\int }_V\rho dV$
Đinh luật Gauss cho từ trường (sự không tồn tại của từ tích):	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$	${\oint }_S𝐁\cdot d𝐀=0$
Định luật Faraday cho từ trường:	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$	${\oint }_C𝐄\cdot d𝐥=-\frac{d}{dt}{\int }_S𝐁\cdot d𝐀=-\frac{d\varphi }{dt}$
Định luật Ampere (với sự bổ sung của Maxwell):	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=𝐉+\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$	${\oint }_C𝐇\cdot d𝐥={\int }_S𝐉\cdot d𝐀+\frac{d}{dt}{\int }_S𝐃\cdot d𝐀={\mu }_{o}I+{ϵ}_o{\mu }_o\frac{d{\varphi }_E}{dt}$

Phương trình Sóng Điện từ Laplace

Phương trình vector sóng điện từ

$\mathrm{\nabla }\cdot E=0$
$\mathrm{\nabla }\times E=-\frac{1}{T}E$
$\mathrm{\nabla }\cdot B=0$
$\mathrm{\nabla }\times B=-\frac{1}{T}B$
$T=\mu ϵ$

Phương trình sóng điện từ

${\mathrm{\nabla }}^{2}E=-\beta E$

${\mathrm{\nabla }}^{2}B=-\beta B$

Hàm số sóng điện từ

$E=Asin\omega t$

$B=Asin\omega t$

$\omega =\sqrt{\beta }=\sqrt{\frac{1}{T}}=\sqrt{\frac{1}{\mu ϵ}}=C$

Phương trình Schrödinger

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\Delta }}^2+V)\psi$

Đối với một hệ lượng tử tổng quát:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=\hat{H}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$

Đối với một hệ gồm một hạt trong không gian ba chiều:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(𝐫,t)+V(𝐫)\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$