Sách toán/Phương trình đại số/Giải phương trình lũy thừa bậc 2

Phương trình bậc hai

Dạng tổng quát 1

$ax^{2}+bx+c=0$

Giải phương trình bậc hai người Babylon

Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là tiện lợi. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn:

$x^{2}+px+q=0,$

trong đó p = b/a và q = c/a. Công thức nghiệm của phương trình này là:

$x={\frac {1}{2}}\left(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}\right).$

$x+y=p,\ \ xy=q$

tương đương với phương trình:

$x^{2}+q=px$

Các bước giải được người Babylon đưa ra như sau:

1. Tính p/2.
2. Bình phương kết quả tìm được.
3. Trừ đi q.
4. Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai.
5. Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm x. Điều này về cơ bản là tương đương với việc tính $x={\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

Công thức Viète

Công thức Viète cho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau:

• Nếu $x_{1}$ và $x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0\,(a\neq 0)$ thì: ${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=S=-{\frac {b}{a}}\\\\x_{1}x_{2}=P={\frac {c}{a}}\\\end{cases}}$
• Ngược lại nếu x₁ và x₂ có tổng là S và tích là P thì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình x² - Sx + P=0

Hoàn tất Bình phương lũy thừa

$ax^{2}+bx+c=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$.

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$.

$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$.

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$

Dạng tổng quát 2

$ax^{n}+b=0$

$ax^{n}=-b$

$x^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$

$x={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$