Sách toán/Hàm số lượng giác

Hàm số lượng giác cho biết tương quan giửa 2 dại lượng lượng giác

$f(\theta )=sin\theta$

Hàm số lượng giác đường thẳng

Từ

${\frac {X}{Z}}=cos\theta$

${\frac {Y}{Z}}=sin\theta$

$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$

$Z={\frac {Y}{X}}={\frac {sin\theta }{cos\theta }}=Tan\theta$

Hàm số lượng giác đường thẳng ngang

$X=Z\cos \theta$

Hàm số lượng giác đường thẳng dọc

$Y=Z\sin \theta$

Hàm số lượng giác đường thẳng nghiêng

Đường thẳng nghiêng được xem như đường thẳng có một độ dài nghiêng ở một góc độ . Độ dài đường thẳng nghiêng và góc độ nghiêng được tính sau

$Z={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}$

$\theta =\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}$

Hàm số lượng giác vòng tròn

Hàm số lượng giác vòng tròn bán kín bằng 1

Hệ số thực

Hàm số vòng tròn R=Z đơn vị

$Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$

Chia 2 vế cho Z²

$1=\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta$

Chia 2 vế cho cos ² θ

$1=\sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta$

Chia 2 vế cho sin ² θ

$1=\csc ^{2}\theta -\cot ^{2}\theta$

Hệ số phức

$\cos \theta +j\sin \theta =e^{j\theta }=1$

Hàm số lượng giác cơ bản

Hàm số lượng giác cơ bản	$\cos x$	$\sin x$	$\tan x$	$\cot x$	$\sec x$	$\csc x$
Tam giác vuông	${\frac {b}{c}}$	${\frac {a}{c}}$	${\frac {a}{b}}$	${\frac {b}{a}}$	${\frac {1}{b}}$	${\frac {1}{a}}$

Đồ thị hàm số lượng giác cơ bản

Function	Period	Domain	Range	Graph
sine	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
cosine	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tangent	$\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
secant	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
cosecant	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
cotangent	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Dạng biểu diển hàm số lượng giác cơ bản

Dạng biểu diển	Công thức
Dạng Số phức	$cos={\frac {Z+Z^{*}}{2}}$ $sin={\frac {Z-Z^{*}}{2j}}$ Với $Z=z(cos\theta +jsin\theta )$ $Z^{*}=z(cos\theta -jsin\theta )$ Ta có $Z+Z^{*}=2cos\theta$ $Z-Z^{*}=j2sin\theta$
Dạng chuổi số cộng	$cos=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$ $sin=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$
Dạng Chuổi số tích	$cos=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)$ $sin=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$
Định nghĩa Giải tích	$cos={\frac {d}{dx}}sinx$ $sin=-{\frac {d}{dx}}cosx$

Đẳng thức hàm số lượng giác cơ bản

Công thức góc Tuần hoàn, đối xứng và tịnh tiến

Các đẳng thức sau có thể dễ thấy trên vòng tròn đơn vị:

Tuần hoàn	Đối xứng	Tịnh tiến
$\sin(x)=\sin(x+2k\pi )\,$	$\sin(-x)=-\sin(x)\,$	$\sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\cos(x)=\cos(x+2k\pi )\,$	$\cos(-x)=\;\cos(x)\,$	$\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
$\tan(x)=\tan(x+k\pi )\,$	$\tan(-x)=-\tan(x)\,$	$\tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
	$\cot(-x)=-\cot(x)\,$

Đẳng thức sau cũng đôi khi hữu ích:

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )$

với

$\varphi =\left\{{\begin{matrix}{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0;\;\\\pi +{\rm {arctan}}(b/a),&&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\;\end{matrix}}\right.\;$

Công thức góc bội

Bội hai

Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

Công thức gíc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.

Bội ba

Ví dụ của trường hợp n = 3:

$\sin(3x)=3\sin(x)-4\sin ^{3}(x)$

$\cos(3x)=4\cos ^{3}(x)-3\cos(x)$

Tổng quát

Nếu Tn là đa thức Chebyshev bậc n thì

$\cos(nx)=T_{n}(\cos(x)).\,$

công thức de Moivre:

$\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^{n}\,$

Hàm hạt nhân Dirichlet Dn(x) sẽ xuất hiện trong các công thức sau:

$1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)\;$

$={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}\;$

Hay theo công thức hồi quy:

$\sin(nx)=2\sin((n-1)x)\cos(x)-\sin((n-2)x)$

$\cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)$=

Công thức góc chia đôi

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

$\sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad$

Từ trên , Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1+\cos x) \over (1+\cos x)(1+\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {1-\cos ^{2}x \over (1+\cos x)^{2}}}$

$={\sin x \over 1+\cos x}.$

Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)(1-\cos x) \over (1+\cos x)(1-\cos x)}}=\pm \,{\sqrt {(1-\cos x)^{2} \over (1-\cos ^{2}x)}}$

$={1-\cos x \over \sin x}.$

Suy ra:

$\tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.$

Nếu

$t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),$

thì:

$\sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

and

$\cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$

and

$e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}.$

Công thức tổng của 2 góc

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

Công thức hiệu của 2 góc

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Công thức tích 2 góc

$\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;$

$\sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x-y\right)+\sin \left(x+y\right) \over 2}\;$

Công thức lũy thừa của góc

$\cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}$

$\sin ^{2}(x)\cos ^{2}2(x)={1-\cos(4x) \over 4}$

$\sin ^{3}(x)={\frac {2\sin 2(x)-\sin(3x)}{4}}$

$\cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}$

• Hàm lượng giác cơ bản nghịch