Sách số học/Loại số số học

Số tự nhiên

Trong số học, Số tự nhiên là một tạp hợp số của các con số hệ số thập phân từ 0 đến 9

$1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Số chẳn

Mọi số tự nhiên sau dây đều là số chẳn

Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 . Thí dụ, $2,4,6,8$

Mọi số tự nhiên có số cuối là số không . Thí dụ, $10,200,320$

Số lẻ

Mọi số tự nhiên không chia hết cho 2 . Thí dụ $1,3,5,7,9$

Số nguyên tố

Mọi số tự nhiên chia hết cho 1 và cho chính nó . Thí dụ $1,3,5,7$

Số nguyên

Số nguyên đại diện cho 3 loại số

Số không có giá trị bằng 0

Số nguyên âm có giá trị nhỏ hơn 0

Số nguyên dương có giá trị lớn hơn 0

Thí dụ

số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên từ 0 đến 9

Số nguyên âm . $-1,-2,...-9$

Số nguyên dương . $+1,+2,...+9$

Số nguyên không . $0$

Luật toán số nguyên

Tổng số nguyên âm và số nguyên dương bằng không

$1+(-1)=0$

Tổng số nguyên đồng loại bằng gấp đôi

$1+1=2$

$-1+-1=-2$

Toán số nguyên

Cộng trừ nhân chia số 0 và số nguyên

$0+1=1$

$0-1=-1$

$0\times 1=0$

$0/1=0$

$0+-1=-1$

$0--1=1$

$0\times -1=0$

$0/-1=0$

Cộng trừ nhân chia số nguyên dương

$(+1)+(+1)=+2$

$(+1)-(+1)=0$

$(+1)\times (+1)=+1$

$(+1)/(+1)=+1$

Cộng trừ nhân chia số nguyên âm

$(-1)+(-1)=-2$

$(-1)-(-1)=0$

$(-1)\times (-1)=+1$

$(-1)/(-1)=+1$

Cộng trừ nhân chia 2 số nguyên khác biệt

$(+1)+(-1)=0$

$(+1)-(-1)=+2$

$(+1)\times (-1)=-1$

$(+1)/(-1)=-1$

$(+1)+0=+1$

$(+1)-0=+1$

$(+1)\times 0=0$

$(+1)/0=oo$

$(-1)+(-1)=-2$

$(-1)-(-1)=0$

$(-1)\times (-1)=+1$

$(-1)/(-1)=+1$

$(-1)+0=-1$

$(-1)-0=-1$

$(-1)\times 0=0$

$(-1)/0=oo$

Phân số

Phân số là một dạng số số học có dạng tổng quát

Tử số / Mẫu số

Thí dụ

${\frac {1}{2}}$

${\frac {4}{3}}$

${\frac {5}{5}}$

Lối dùng phân số

Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là ${\frac {1}{2}}$

1 phần 3 cái bánh được viết là ${\frac {1}{3}}$

1 phần n cái bánh được viết là ${\frac {1}{n}}$

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

• 2 đại lượng bằng nhau

${\frac {a}{b}}=1$ khi $a=b$

• 2 đại lượng khác nhau

${\frac {a}{b}}>1$ khi $a>b$

${\frac {a}{b}}<1$ khi $a<b$

Cho biết phần trăm

${\frac {1}{2}}=0.50={\frac {50}{100}}=50\%$

${\frac {1}{4}}=0.25={\frac {25}{100}}=25\%$

Biểu diển phép tóan chia

${\frac {a}{b}}=a/b$

• Khi chia hết

${\frac {a}{b}}=c$ . Sao cho $ac=b$ . r = 0

• Khi không chia hết

${\frac {a}{b}}=c$. Sao cho $ac+r=b$ . r≠0

• Số thập phân

${\frac {1}{2}}=0.5$

${\frac {1}{4}}=0.25$

${\frac {1}{8}}=0.125$

• Số hửu tỉ

${\frac {1}{3}}=0.333333...$

• Số vô tỉ

$\pi =3.1415...$

Loại phân số

Hỗn số

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1

Thí dụ

$1{\frac {1}{4}}$

Chuyển đổi Hỗn số sang phân số

$1{\frac {1}{4}}={\frac {5}{4}}={\frac {4}{4}}+{\frac {1}{4}}$
${\frac {5}{4}}=1+{\frac {1}{4}}$
${\frac {5}{4}}=1{\frac {1}{4}}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .

Thí dụ Phân số tối giản

${\frac {1}{2}}$ của các phân số sẻ là ${\frac {2}{4}}$ , ${\frac {5}{10}}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết

Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r

a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}$

a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}-{\frac {r}{c}}$

So sánh phân số

Với hai phân số ${\frac {a}{b}}$ và${\frac {c}{d}}$

Hai phân số bằng nhau khi

$a=c$

$b=d$

Hay

${\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}$

$ad=bc$

Hai phân số không bằng nhau khi

${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}$

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

Toán cộng

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}={\frac {1+1}{2}}=1$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1+2\times 1}{2\times 3}}={\frac {5}{6}}$

Toán trừ

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1-1}{2}}=0$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1-2\times 1}{2\times 3}}={\frac {1}{6}}$

Toán nhân

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1\times 1}{2\times 2}}={\frac {1}{4}}$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1\times 1}{2\times 3}}={\frac {1}{6}}$

Toán chia

2 phân số đồng dạng

${\frac {1}{2}}/{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{1}}={\frac {2}{2}}=1$

2 phân số khác dạng

${\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}$

Số phức

Số phức là số có dạng tổng quát sau

Số thực + Số ảo = Số phức thuận

Số thực - Số ảo = Số phức nghịch

Thí dụ

$2+j3$

$2-j3$

Số ảo

Số ảo là một phần tử của Số phức có giá trị bằng căn của trừ 1 . Số ảo có ký hiệu

$i$ hay $j$

Dạng số ảo

• Số ảo thuận

$j={\sqrt {-1}}$

• Số ảo nghịch

$-j={\frac {1}{j}}=j^{-1}$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$