Sách giải tích/Tổng số/Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+\mathrm{...}+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,\mathrm{...9}$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+\mathrm{...9}=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$