Sách giải tích/Hoán chuyển tích phân

Phép toán giải tích của một tích phân xác định dùng trong việc Hoán chuyển hệ tóan bao gồm 2 lọai hóan chuyển Hoán chuyển Laplace và Hoán chuyển Fourier

Hoán chuyển Laplace

Hoán chuyển Laplace là phép toán tích phân dùng trong việc hoán chuyển hệ thời gian t sang hệ Laplace s dùng công thức sau

Công thức

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
$f(t)-->F(s)$	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$
$\int ^{n}f(t)dt^{n}$	$-s^{n}f(t)$

Thí dụ

Công cụ điện	Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện	$v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt$	$-{\frac {1}{C}}si(t)$
Dòng điện tụ điện	$i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)$	$sCv(t)$
Điện thế cuộn từ	$v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt$	$sLi(t)$
Dòng điện cuộn từ	$i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)$	$-{\frac {1}{L}}sv(t)$

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược giúp chúng ta tìm lại hàm gốc f(t) từ hàm ảnh F(s)

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F(s)ds$

Hoán Chuyển Fourier

Công thức

Phép biến đổi Fourier là cách tiếp cận miền tần số cho các tín hiệu thời gian liên tục bất kể hệ thống có ổn định hay không ổn định. Phép biến đổi Laplace của hàm số f(t), được định nghĩa cho tất cả số thực t ≥ 0, là hàm số F(jω), Đó là một biến đổi đơn phương được định nghĩa bởi:

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

Trong đó

$s$ là biến số phức cho bởi $s=\sigma +j\omega$

$s$ là miền tần số và có đơn vị là nghịch đảo của giây (second) $s^{-1}$

Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
$f(t)-->F(s)$	${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$
${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$j\omega ^{n}f(t)$
$\int ^{n}f(t)dt^{n}$	$-j\omega ^{n}f(t)$

Thí dụ

Công cụ điện	Hàm số hệ thời gian	Hàm số tương dương hệ số Laplace
Điện thế tụ điện	$v_{C}={\frac {1}{C}}\int i(t)dt$	$-{\frac {1}{C}}j\omega i(t)$
Dòng điện tụ điện	$i_{C}=C{\frac {d}{dt}}v(t)$	$j\omega Cv(t)$
Điện thế cuộn từ	$v_{L}=L{\frac {d}{dt}}i(t)dt$	$\omega Li(t)$
Dòng điện cuộn từ	$i_{L}={\frac {1}{L}}\int v(t)$	$-{\frac {1}{L}}j\omega v(t)$

Ứng dụng

Hoán Chuyển Laplace
Định nghỉa	$f(t)->F(s)$ . ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$
Thí dụ	Time domain	Laplace domain
	${\frac {d}{dt}}$	$s$
	${\frac {d}{dt}}f(t)$	$sf(t)$
	${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$
	$\int dt$	${\frac {1}{s}}=-s$
	$\int f(t)dt$	${\frac {1}{s}}f(t)=-sf(t)$
Hoán Chuyển Fourier
Định nghỉa	$f(t)->F(j\omega )$ . ${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)=\int \limits _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$
Thí dụ	Time domain	Fourier
	${\frac {d}{dt}}$	$j\omega$
	${\frac {d}{dt}}f(t)$	$j\omega f(t)$
	${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$
	$\int dt$	${\frac {1}{j}}\omega =-j\omega$
	$\int f(t)dt$	${\frac {1}{j\omega }}f(t)=-sf(t)$
Ứng dụng hoán chuyển tích phân
Hệ thời gian	Hệ Laplace	Hệ Fourier	Hệ Góc độ
${\frac {d}{dt}}$	$s$	$j\omega$	$\omega \angle 90^{o}$
$\int dt$	${\frac {1}{s}}$	${\frac {1}{j\omega }}$	${\frac {1}{\omega }}\angle -90^{o}$
Thí dụ	$v_{L}=L{\frac {di_{L}}{dt}}$ $v_{L}=sL$ . Hoán chuyển hệ Laplace $v_{L}=j\omega L$ . Hoán chuyển hệ Fourier $v_{L}=\omega L\angle 90^{o}$ . Hoán chuyển hệ góc độ	$i_{L}={\frac {1}{L}}\int v_{L}dt$ $i_{L}={\frac {1}{sL}}$ . Hoán chuyển hệ Laplace $i_{L}={\frac {1}{j\omega L}}$ . Hoán chuyển hệ Fourier $i_{L}={\frac {1}{\omega L\angle 90^{o}}}$ . Hoán chuyển hệ góc độ