Sách công thức/Sách công thức đại số

Số đại số

Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số.

Loai số đại số

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số loại số	Định nghỉa	Ký hiệu	Thí dụ
Số tự nhiên		$N$	$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Số chẳn	Mọi số chia hết cho 2	$2n$	$2,4,6,$
Số lẻ	Mọi số không chia hết cho 2	$2n+1$	$1,3,5,7,9$
Số nguyên tố	Mọi số chia hết cho 1 và cho chính nó	$p$	$1,3,5,7$
Số lũy thừa	$a^n=a\times a\times a\mathrm{...}\times a$	$a^n$	$2^3=2\times 2\times 2=8$
Số căn	$n\sqrt{a}$ khi có $a^{\frac{1}{n}}$	$n\sqrt{a}$	$a^{\frac{1}{n}}$
Số log	$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$	$Lo{g}_{a}b$	$Lo{g}_{10}100=2$
Số nguyên	$I=+I,-I,0$	$I$	$+1,-1,0$
Phân số	Số có dạng một số trên một số khác	$\frac{a}{b}$	$\frac{1}{2}$
Số thập phân		$0.abcd$	$0.5$
Số hửu tỉ
Số vô tỉ
Số phức	$Z=a\pm jb$	$Z$	$2\pm j3$
Số thực	$a$	$a$	$2$
Số ảo	$j/i=\sqrt{-1}$	$i,j$	$\pm j3$
Hằng số	Số đại số có giá trị không đổi	$c$	$\pi ,e$

Phép toán số đại số

Số nguyên

Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không	$a+0=a$ $a-0=a$ $a\times 0=0$ $a/0=oo$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm	$a+(-a)=0$ $a-(-a)=2a$ $a\times (-a)=-a^2$ $a/(-a)=-1$
Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương	$a+a=2a$ $a-a=0$ $a\times a=a^2$ $\frac{a}{a}=1$
Lũy thừa số nguyên	$a^0=1$ $a^n=a\times a\times a\mathrm{...}\times a$ $(-a{)}^n=a^n$ . $n=2m$$(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Căn số nguyên	$\sqrt{0}=0$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{(-1)}=j$

Lũy thừa

Lủy thừa không	$a^0=1$
Lủy thừa 1	$a^1=a$
Lủy thừa của số không	$0^n$
Lủy thừa của số 1	$1^n=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac{m}{n}}=n\sqrt{a^m}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a{)}^n=a^n$ Với $n=2m$. $(-a{)}^n=-a^n$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a{)}^n=a^n$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^m{)}^n=(a^n{)}^m=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab{)}^m=a^m\times b^m$
Lủy thừa của thương hai số	$(\frac{a}{b}{)}^m=\frac{a^m}{a^n}$
Lủy thừa của căn	$(\sqrt{a^n}{)}^m=a^{\frac{m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^m+a^n=a^m(1+a^{n-m})$ $a^m-a^n=a^m(1-a^{n-m})$ $a^m\times a^n=a^{m+n}$ $a^m/a^n=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)}}=a^n+C_{n-1}{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+C_{1}a{b}^{n-1}+b^n$ $(a+b{)}^0=1$ $(a+b{)}^1=a+b$ $(a+b{)}^2=(a+b)\times (a+b)=a^2+2ab+b^2$ $(a+b{)}^3=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b{)}^n=\underset{n}{\underbrace{(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)}}$ $(a-b{)}^0=1$ $(a-b{)}^1=a+b$ $(a-b{)}^2=(a-b)\times (a-b)=a^2-2ab+b^2$ $(a-b{)}^3=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^2-b^2=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$

Toán căn

Căn và lủy thừa	$n\sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}$
Căn của số nguyên	$\sqrt{0}=Error$ $\sqrt{1}=1$ $\sqrt{-1}=j$
Căn lủy thừa	$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$
Căn thương số	$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
Căn tích số	$\sqrt{ab}$ = $\sqrt{a}$ $\sqrt{b}$
Vô căn	$a\sqrt{a}=\sqrt{a^2\times a}=\sqrt{a^3}$
Ra căn	$\sqrt{a^n}=a\sqrt{a^{n-2}}$

Toán log

Toán Log	$Lo{g}_{a}b=c$ khi có $a^c=b$
Viết tắc	$Log=Lo{g}_{10}$ $Ln=Lo{g}_2$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Lo{g}_n(A{)}^n=A$
Lũy thừa log	$B^{Lo{g}_B(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log(\frac{A}{B})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^n)=nLogA$
Đổi nền log	$Lo{g}_{a}x=\frac{Logx}{Loga}$

Toán số phức

Số phức được biểu diển như ở dưới đây

Số phức	Thuận $Z$	Nghịch $Z^{\ast }$
Biểu diển dưới dạng xy	$Z=x+jy$	$Z=x-jy$
Biểu diển dưới dạng Zθ	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$	$Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }-ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác	$Z=z(cos\theta +jsin\theta )$	$Z=z(cos\theta -jsin\theta )$
Biểu diển dưới lũy thừa của e	$Z=z{e}^{j\theta }$	$Z=z{e}^{-j\theta }$

Toán số phức được thực thi như sau

Toán Số phức	Toán cộng	Toán trừ	Toán nhân	Toán chia
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$x+jy$ và $x-jy$	$2x$	$2y$	$x^2-y^2$	$\frac{x^2-y^2}{x-jy}$
$Z=z{e}^{j\theta }$ và $Z=z{e}^{-j\theta }$	$z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$	$z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$	$z^2$	$e^{j2\theta }$

Định lý Demoive

$(Z\mathrm{\angle }\theta {)}^n=Z^n\mathrm{\angle }n\theta$

Dải số

Dải số

Dải số là một dải số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên

$1,2,3,4,5,\mathrm{....},n$

Dải số của các số tự nhiên chẳn

$1,2,4,6,8,10,\mathrm{...},2n$

Tổng chuổi số

Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

$s=1+2+3+\mathrm{...}+n=k(1+n)$

Tổng dải số có ký hiệu

$\sum$

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=1+2+\cdots +n$

.

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+\mathrm{...}+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+\mathrm{...}+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]\frac{n}{2}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,\mathrm{...9}$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+\mathrm{...9}=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

$a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(a{r}^k)=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\dots +a{r}^n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\mathrm{...}+a{r}^{n-1}$

$rS=ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+\mathrm{...}+a{r}^n$

$S-rS=a-a{r}^n$

$S=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S=\frac{a}{1-r}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^2+1.1^3=4$

$1+1.2+1.2^2+1.2^3=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y{)}^n=\sum _{r=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})x^r{y}^{n-r}$

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^0{y}^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^n{y}^0$

$(x+y{)}^n=y^n+nx{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2{y}^{n-2}+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-2})x^{n-2}{y}^2+n{x}^{n-1}y+x^n$

Với

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

Thí dụ

$(x+1{)}^1=$	$1x+1$
$(x+1{)}^2=$	$1x^2+2x+1$
$(x+1{)}^3=$	$1x^3+3x^2+3x+1$
$(x+1{)}^4=$	$1x^4+4x^3+6x^2+4x+1$
$(x+1{)}^5=$	$1x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quá

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n$

Tổng dải số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+\mathrm{...}=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+\mathrm{...}$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_0$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$

$f^{\text{'}}(0)=a_1$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$

$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$

$a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$

$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$

$a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Thí dụ=

• $f(x)=\sin (x)$

$f(x)=\sin (x)$	$f(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\sin (x)=0+x(1)+\frac{x^2}{2!}(0)+\frac{x^3}{3!}(-1)+\frac{x^5}{5!}(1)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

• $f(x)=\cos (x)$

$f(x)=\cos (x)$	$f(0)=\cos (0)=1$
$f^{\text{'}}(x)=-\sin (x)$	$f^{\text{'}}(0)=-\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=-\cos (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=-\cos (0)=-1$
$f^{{\text{'}}^{‴}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$
$f^{{\text{'}}^{″}}(x)=\sin (x)$	$f^{{\text{'}}^{″}}(0)=\sin (0)=0$

$\cos (x)=1+x(0)+\frac{x^2}{2!}(-1)+\frac{x^3}{3!}(0)+\frac{x^4}{4!}(1)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}$

Tổng chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_N(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^N{A}_n\cdot \sin (\frac{2\pi nx}{P}+{\varphi }_n),\text{for integer}N\ge 1.$

Công thức tổng dải số

$\sum _{k=0}^{n}c=nc$ where $c$ is some constant.

$\sum _{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum _{k=0}^n{k}^3=\frac{n^2(n+1{)}^2}{4}$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots =e^x$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots =\ln (1+x)\text{ for }|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos (x)\text{ for all }x\in ℂ$

Biểu thức

Một đa thức đại số của nhiều đơn thức đại số

Thí dụ

$2x+5y-3$

Phép toán biểu thức

Thứ tự thực thi phép toán biểu thức đại số như sau

1. Ngoặc	{}	[]	()
2. Lũy thừa	$a^n$
3. Nhân, Chia	X	/
4. Công, trừ	+	-

Thí dụ

$A=2x+5y-3$

$B=52y-5$

$A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8$

$A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2$

Đẳng thức

Định nghỉa

Đẳng thức đại diện cho 2 đa thức bằng nhau . Thí dụ như Định lý Pythagore về tương quan các cạnh trong tam giác vuông

$c^2=a^2+b^2$

Các đẳng thức đạo số cơ bản

Bình phương tổng 2 số đại số

$(a+b{)}^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

Bình phương hiệu 2 số đại số

$(a-b{)}^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

Tổng 2 bình phương

$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab$

$a^2+b^2=(a-b{)}^2+2ab$

Hiệu 2 bình phương

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Tổng 2 lập phương

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

Hiệu 2 lập phương

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Bất đẳng thức

Định nghỉa

Bất đẳng thức đại diện cho 2 đa thức không bằng nhau

$a+b$ > c

$a+b$ < c

Hàm số

Tính chất

Hàm số	Công thức
Hàm số có dạng tổng quát	$f(x,y,z,\mathrm{...})$
Giá trị hàm số	$f(x,y,z,\mathrm{...})=C$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn Periodic function	$f(t)=f(t+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn even function	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ odd function	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo inverse function	$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$si{n}^{-1}x=\frac{1}{sinx}$
Hàm số trong hàm số composite function	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số parametric function	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] recursive function

Phép toán hàm số

Đồ thị hàm số

Với mọi giá trị của x sẻ có một giá trị hàm số của x tương đương . Thí dụ, với hàm số f(x)=x ta có thể thiết lập bảng giá trị tương quan của x và hàm số của x . Khi đặt các giá trị của x và của f(x) trên đồ thị XY ta có thể vẻ được hình đường thẳng có độ góc bằng 1 đi qua điểm gốc ở tọa độ (0,0)

x	-2	-1	0	1	2	Hình
F(x)=x	-2	-1	0	1	2

Đồ thị hàm số	Thẳng	Cong	Tròn	Lũy thừa	Log	Lượng giác
	Đồ thị Hàm số đường thẳng	Đồ thị Hàm số đường cong	Đồ thị Hàm số vòng tròn	Đồ thị Hàm số lũy thừa	Đồ thị hàm số Log	Đồ thị hàm số lượng giác $\cos x$ $\sin x$ $\tan x$ $\cot x$ $\sec x$ $\csc x$

x

Công thức toán hàm số

Danh sách các hàm số	Ý nghỉa	Công thức
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ	$Y=ZX$ $y=y_o+Z(x-x_o)$
Hàm số vòng tròn Z đơn vị		$Z^2=X^2+Y^2$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị		${\frac{Z}{Z}}^2={\frac{X}{Z}}^2+{\frac{Y}{Z}}^2$ $1=co{s}^2+si{n}^2$ v $1=se{c}^2+ta{n}^2$ $1=cs{c}^2+co{t}^2$|-
Hàm số lượng giác		$cos\theta =\frac{X}{Z}$ $sin\theta =\frac{Y}{Z}$ $sec\theta =\frac{1}{X}$ $csc\theta =\frac{1}{Y}$ $tan\theta =\frac{Y}{X}$ $cot\theta =\frac{X}{Y}$
Hàm số lũy thừa Power function		$y=a{x}^n$
Hàm số Lô ga rít		$y(x)=Logx$
Hàm số tổng lũy thừa n degree Polynomial function		$y(x)=a{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_0{x}^0$
Hàm số chia/]] Rational function		$Q(x)=\frac{N(x)}{M(x)}-R(x)$

Biểu diển hàm số bằng tổng dải số Maclaurin

Dải số Maclaurin

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4+\mathrm{...}=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}+\mathrm{...}$

Chứng minh

Khi x=0 $f(0)=a_0$ Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0 $f^{\text{'}}(x)=a_1+2a_{2}x+3a_3{x}^2+4a_4{x}^3$ $f^{\text{'}}(0)=a_1$ Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0 $f^{{\text{'}}^{\prime }}(x)=2a_2+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_4{x}^2+(5)(4)a_5{x}^3$ $f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)=2a_2$ $a_2=\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2}$ Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0 $f^{{\text{'}}^{″}}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_5{x}^2$ $f^{{\text{'}}^{″}}(0)=(3)(2)a_3$ $a_3=\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$ Thế $a_0,a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^3+a_4{x}^4$ ta được $f(x)=f(0)+f^{\text{'}}x(0)+\frac{f^{{\text{'}}^{\prime }}(0)}{2!}+\frac{f^{{\text{'}}^{″}}(0)}{3!}$

Toán hàm số

Với mọi hàm số $y=f(x)$

Thay đổi biến số

$\mathrm{\Delta }x=(x+\mathrm{\Delta }x)-x$

$\mathrm{\Delta }y=\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)$

Tỉ lệ thay đổi biến số

$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}$

Giới hạn

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x}=\frac{f(\mathrm{\Delta }x)-f(0)}{(\mathrm{\Delta }x)}$

Đạo hàm

$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\text{'}}(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum \frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Tích phân

Tích phân bất định

$\int f(x)dx=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\sum (f(x)+\frac{\mathrm{\Delta }f(x)}{2})\mathrm{\Delta }x=F(x)+C$

Tích phân xác định

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Phương trình

Dạng tổng quát

Phương trình có dạng tổng quát

$f(x,y,z,\mathrm{...})=0$

Loại phương trình

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát
Phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_o=0$
Phương trình lũy thừa đạo hàm bậc n	$a_n{f}^n(x)+a_{n-1}{f}^{n-1}(x)+\mathrm{...}+a_o{f}^0(x)=0$
Hệ phương trình	$ax+by=c$ $dx+ey=f$

Giải phương trình

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+\frac{b}{a}=0$ $x=-\frac{b}{a}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$a{x}^2+bx+c=0$	$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ :$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}.$ $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$. ${(x+\frac{b}{2a})}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $x=\frac{-b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$ $a{x}^n+b=0$ $a{x}^n=-b$ v$x^n=-\frac{b}{a}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$ $x=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\mathrm{...}+a_{1}x+a_o=0$

Giải phương trình đạo hàm

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a\frac{d^n}{d{x}^n}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s^n=-\frac{b}{a}$ $s=n\sqrt{-\frac{b}{a}}=\pm jn\sqrt{\frac{b}{a}}=\pm j\omega$ $f(x)=A{e}^{st}=A{e}^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)+b\frac{d}{dx}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+\frac{b}{a}sf(x)+\frac{c}{a}f(x)=0$ $s^2+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=A{e}^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=A{e}^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha =\frac{b}{2a}$ . $\beta =\frac{c}{a}$ . $\lambda =\sqrt{\alpha -\beta }$ . $\omega =\sqrt{\beta -\alpha }$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a\frac{d}{dx}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+\frac{b}{a}f(x)=0$ $s=-\frac{b}{a}$ $f(x)=A{e}^{sx}=A{e}^{-\frac{b}{a}x}=A{e}^{-\alpha x}$