Sách đại số/Toán số đại số

Phép toán số đại số

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
Toán cộng	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
Toán chia	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa	$a^{n}$	$a^{n}=a\times a\times a...$	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn	${\sqrt {}}$	${\sqrt {a}}=b$ nếu có $b^{n}=a$	Toán lủy thừa nghịch
Toán log	$Log,Ln$	$Loga=b$ Nếu có $10^{b}=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Số tự nhiên

Mọi số đếm đều là số tự nhiên có ký hiệu $N$ . Thí dụ $1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Số chẳn

Mọi số chẳn đều chia hết cho 2 không có số dư và có ký hiệu $2N$ . Thí dụ $2,4,6,8$

Số lẻ

Mọi số lẻ không chia hết cho 2 và có số dư bằng 1 và có ký hiệu $2N+1$ . Thí dụ $1,3,5,7,9$

Số nguyên tố

Mọi số nguyên tố đều chia hết cho 1 và cho chính nó và có ký hiệu $P$ . Thí dụ $1,3,5,7$

Số nguyên

Mọi số tự nhiên có giá trị

• Bằng không được gọi là số nguyên không
• Lớn hơn không được gọi là số nguyên dương
• Nhỏ hơn không được gọi là số nguyên âm

Ký hiệu

Số nguyên	Số nguyên dương	Số nguyên không	Số nguyên âm
I	+I>0	I=0	-I <0

Thí dụ

$-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Phép toán số nguyên

Số 0

Toán cộng	$0+\pm a=\pm a$
Toán trừ	$0-\pm a=\mp a$
Toán nhân	$0\times \pm a=0$
toán chia	$0/\pm a=0$

Số nguyên dương

Toán cộng	$a+a=2a$ $a+0=a$
Toán trừ	$a-a=0$ $a-0=a$
Toán nhân	$a\times a=a^{2}$ $a\times 1=a$ $a\times 0=0$
Toán chia	$a/a=1$ $a/1=a$ $a/0=00$
Toán lũy thừa	$a^{0}=1$ $a^{n}=a\times a\times a...$ $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ $a^{\frac {1}{n}}=n{\sqrt {a}}$
Toán căn	$n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt {0}}=Error$ ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {-1}}=j$ ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}$ ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ ${\sqrt[{n}]{ab}}$ = ${\sqrt[{n}]{a}}$ ${\sqrt[{n}]{b}}$ $a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}$ ${\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}$
Toán Log	$Log10^{n}=n$ $\log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)\$ $\log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)\$ $\log _{b}(b^{a})=a\$ $\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$ for any $d>0,d<>1$ $\log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)\$

Số nguyên âm

Toán cộng	$-a+(-a)=-2a$ $-a+0=-a$
Toán cộng	$-a-(-a)=0$ $-a-0=-a$
Toán nhân	$-a\times (-a)=a^{2}$ $-a\times 1=-a$ $-a\times 0=0$
Toán chia	$-a/(-a)=1$ $-a/1=-a$ $-a/0=00$
Toán lũy thừa	$(-a)^{0}=1$ $(-a)^{n}=-a^{n}$ Vói $n=2m+1$ $(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$
Toán căn	${\sqrt {-a}}=\pm j{\sqrt {a}}$

Phân số

Ký hiệu

${\frac {a}{b}}$

Thí dụ

${\frac {1}{2}}$

Lối dùng phân số

Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là ${\frac {1}{2}}$

1 phần 3 cái bánh được viết là ${\frac {1}{3}}$

1 phần n cái bánh được viết là ${\frac {1}{n}}$

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

• 2 đại lượng bằng nhau

${\frac {a}{b}}=1$ khi $a=b$

• 2 đại lượng khác nhau

${\frac {a}{b}}>1$ khi $a>b$

${\frac {a}{b}}<1$ khi $a<b$

Biểu diển phép tóan chia

${\frac {a}{b}}=a/b$

• Khi chia hết, được một thương só và không có số dư

${\frac {a}{b}}=c$ . Sao cho $ac=b$ . r = 0

• Khi không chia hết , được một thương só và có số dư

${\frac {a}{b}}=c$. Sao cho $ac+r=b$ . r≠0

• Số thập phân, số có dạng 0.abcd

${\frac {1}{2}}=0.5$

${\frac {1}{4}}=0.25$

${\frac {1}{8}}=0.125$

• Số hửu tỉ , số thập phân lặp lại

${\frac {1}{3}}=0.333333...$

• Số vô tỉ , số thập phân không lặp lại

$\pi =3.1415...$

Loại phân số

Hỗn số

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1 . Thí dụ $a{\frac {b}{c}}$ . Chuyển đổi Hỗn số sang phân số được thực hiện như sau

$a{\frac {b}{c}}=a+{\frac {b}{c}}={\frac {ac+b}{c}}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được . Thí dụ, phân số tối giản ${\frac {1}{2}}$ của các phân số sau ${\frac {2}{4}}$ , ${\frac {5}{10}}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi ${\frac {a}{b}}=c$ . Vậy $a=bc$ a không chia hết cho b khi ${\frac {a}{b}}=c$. Vậy $a=bc+r$
So sánh phân số	Với hai phân số ${\frac {a}{b}}$ và${\frac {c}{d}}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay ${\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi ${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}$ ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Số phức

Ký hiệu

$Z=a\pm jb$

Thí dụ

$Z=2\pm j3$

Toán số phức

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\angle \theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Ze^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\angle -\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Ze^{-j\theta }$
+	$2a$	$Z(\angle \theta +\angle -\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\angle \theta -\angle -\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^{2}-b^{2}$	$Z^{2}\angle 0$	$Z^{2}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$	$Z^{2}e$
/	${\frac {a^{2}-b^{2}}{a-ib}}$	$1\angle 2\theta$	${\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}}$	$e^{j2\theta }$
$()^{n}$	$(a+ib)^{n}$	Định luật De Moive $(Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta$		$[e^{j\theta }]^{n}=e^{jn\theta }$

Số ảo

Ký hiệu

$\pm jb$

Với

$j={\sqrt {-1}}$

Thí dụ

$\pm 5j$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$

Số thực

$a$

Hằng số

Hằng số là một số có giá trị không đổi

Thí dụ

$\pi =3.1415....$

$e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995....$

Các hằng số toán học

Hằng số π	Với mọi đường tròn, tỷ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó là một hằng số	$\pi ={\frac {C}{d}}$
Hằng số e	Cơ số của logarit tự nhiên, là giá trị giới hạn của biểu thức	$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
Hằng số Apéry		$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots$
Hằng số γ	Hằng số Euler–Mascheroni	$\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\log(n)\right]=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx.$
Hằng số Fibonacci		$\psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+\cdots$ $\approx 3.359885666243177553172011302918927179688905133731\dots$
Hằng số Khinchin		Với $x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}}\;$ thì giá trị giới hạn:$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{1/n}=K_{0}$ là một hằng số $K_{0}=\prod _{r=1}^{\infty }{\left\{1+{1 \over r(r+2)}\right\}}^{\log _{2}r}\approx 2.6854520010\dots$
Tỷ lệ vàng	tỷ số giữa toàn thể với phần lớn sao cho bằng tỷ số phần lớn với phần nhỏ,	$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\,...$

Các hằng số vật lý

• Hằng số hấp dẫn: $G=\left(6,67428\pm 0,0010\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}\,$
• Hằng số Planck: $h=6.626\ 069\ 3\times 10^{-34}\ {\mbox{J}}\cdot {\mbox{s}}$
• Hằng số Boltzmann: $k_{B}=1.38(24)\times 10^{-23}\ {\mbox{J/K}}=8,617(15)\times 10^{-5}\ \ {\mbox{eV/K}}$
• Hằng số khí lý tưởng: $R=N_{A}k_{B}=8.314\ {\mbox{Jmol}}^{-1}K^{-1}$

Các hằng số hóa học

• Hằng số axít: Hằng số cân bằng giữa axit yếu và ion hoặc phân tử do axit đó phân li ra
• Hằng số base: Là hằng số cân bằng giữa base yếu và proton mà base nhận để tạo nên axit và axit đó.
• Hằng số Avogadro : $N_{A}=6,0221415\ \cdot 10^{23}\ {\mbox{mol}}^{-1}$