Sách đại số/Số phức

Số phức

Trong đại số, Số phức được biểu diển dưới dạng toán tổng của một Số thực với một số ảo

Số phức có ký hiệu

Z

Số phức

Z=x+jy=z(cos\theta +jsin\theta )=ze^{j\theta }

Z=Z\angle \theta ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}

Số phức nghịch

Z=x-jy=z(cos\theta -jsin\theta )=ze^{-j\theta }

Z=Z\angle {-\theta }={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\angle -tan^{-1}{\frac {y}{x}}

Với 2 số phức có dạng

Z=x+jy=z(cos\theta +jsin\theta )=ze^{j\theta }

Z^{*}=x-jy=z(cos\theta -jsin\theta )=ze^{-j\theta }

Ta có các phép toán số phức sau

Z+Z^{*}=2x=2zcos\theta =z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })

Z-Z^{*}=j2y=j2zsin\theta =z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })

Z\times Z^{*}=x^{2}-y^{2}=cos^{2}\theta -sin^{2}\theta =z^{2}

{\frac {Z}{Z^{*}}}={\frac {x^{2}-y^{2}}{x-jy}}={\frac {cos^{2}\theta -sin^{2}\theta }{cos\theta -jsin\theta }}=e^{j2\theta }

Từ trên, ta có

x=cos\theta ={\frac {Z+Z^{*}}{2}}={\frac {Z}{2}}(e^{j\theta }+e^{-j\theta })

jy=jsin\theta ={\frac {Z-Z^{*}}{2}}={\frac {Z}{2}}(e^{j\theta }-e^{-j\theta })

Z=Z^{*}e^{j2\theta }={\frac {Z^{2}}{Z^{*}}}

Với 2 số phức khác biệt có dạng

Z_{1}=|Z_{1}|\angle \theta _{1}

Z_{2}=|Z_{2}|\angle \theta _{2}

Phép toán 2 số phức khác biệt

$|Z_{1}|\angle \theta _{1}+|Z_{2}|\angle \theta _{2}=$
$|Z_{1}|\angle \theta _{1}-|Z_{2}|\angle \theta _{2}=$
$|Z_{1}|\angle \theta _{1}\times |Z_{2}|\angle \theta _{2}=Z_{1}\times Z_{2}\angle (\theta _{1}+\theta _{2})$
$|Z_{1}|\angle \theta _{1}/|Z_{2}|\angle \theta _{2}={\frac {Z_{1}}{Z_{2}}}\angle (\theta _{1}-\theta _{2})$

Với 2 số phức thuận nghịch

Z=(a+ib)=z(\cos \theta +i\sin \theta )

Z^{*}=(a-ib)=z(\cos \theta -i\sin \theta )

Phép toán 2 số phức khác biệt

$(a+ib)+(a-ib)=2a$
$(a+ib)-(a-ib)=i2b$
$(a+ib)\times (a-ib)=a^{2}-b^{2}$
${\frac {(a+ib)}{(a-ib)}}={\frac {(a+ib)}{(a-ib)}}{\frac {(a-ib)}{(a-ib)}}={\frac {(a^{2}-b^{2})}{(a-ib)^{2}}}$

Từ trên

a={\frac {Z+Z^{*}}{2}}=\cos \theta

b={\frac {Z+Z^{*}}{j2}}=\sin \theta

a+b={\frac {Z\times Z^{*}}{a-b}}

a-b={\frac {Z\times Z^{*}}{a+b}}

Với 2 số phức thuận và nghịch

Z=|Z|\angle \theta

Z^{*}=|Z|\angle -\theta

Phép toán 2 số phức khác biệt

Z\times Z*=|Z|\angle \theta \times |Z|\angle -\theta =|Z|^{2}\angle 0

{\frac {Z}{Z*}}={\frac {|Z|\angle \theta }{|Z|\angle -\theta }}=1\angle 2\theta

Số ảo là một phần tử của Số phức có giá trị bằng căn của trừ 1. Số ảo có ký hiệu

i

hay

j

j={\sqrt {-1}}

-j={\frac {1}{j}}=j^{-1}

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$