Sách đại số/Số phức

Số phức

Trong đại số, Số phức được biểu diển dưới dạng toán tổng của một Số thực với một số ảo

Ký hiệu

Số phức có ký hiệu

$Z$

Số phức

$Z=x+jy=z(cos\theta +jsin\theta )=z{e}^{j\theta }$

$Z=Z\mathrm{\angle }\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$

Số phức nghịch

$Z=x-jy=z(cos\theta -jsin\theta )=z{e}^{-j\theta }$

$Z=Z\mathrm{\angle }-\theta =\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{\angle }-ta{n}^{-1}\frac{y}{x}$

Toán 2 số phức khác biệt

Dạng x,y

Với 2 số phức có dạng

$Z=x+jy=z(cos\theta +jsin\theta )=z{e}^{j\theta }$

$Z^{\ast }=x-jy=z(cos\theta -jsin\theta )=z{e}^{-j\theta }$

Ta có các phép toán số phức sau

$Z+Z^{\ast }=2x=2zcos\theta =z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$

$Z-Z^{\ast }=j2y=j2zsin\theta =z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$

$Z\times Z^{\ast }=x^2-y^2=co{s}^2\theta -si{n}^2\theta =z^2$

$\frac{Z}{Z^{\ast }}=\frac{x^2-y^2}{x-jy}=\frac{co{s}^2\theta -si{n}^2\theta }{cos\theta -jsin\theta }=e^{j2\theta }$

Từ trên, ta có

$x=cos\theta =\frac{Z+Z^{\ast }}{2}=\frac{Z}{2}(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$

$jy=jsin\theta =\frac{Z-Z^{\ast }}{2}=\frac{Z}{2}(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$

$Z=Z^{\ast }{e}^{j2\theta }=\frac{Z^2}{Z^{\ast }}$

Dạng X θ

Với 2 số phức khác biệt có dạng

$Z_1=|Z_1|\mathrm{\angle }{\theta }_1$

$Z_2=|Z_2|\mathrm{\angle }{\theta }_2$

Phép toán 2 số phức khác biệt

1. $|Z_1|\mathrm{\angle }{\theta }_1+|Z_2|\mathrm{\angle }{\theta }_2=$
2. $|Z_1|\mathrm{\angle }{\theta }_1-|Z_2|\mathrm{\angle }{\theta }_2=$
3. $|Z_1|\mathrm{\angle }{\theta }_1\times |Z_2|\mathrm{\angle }{\theta }_2=Z_1\times Z_2\mathrm{\angle }({\theta }_1+{\theta }_2)$
4. $|Z_1|\mathrm{\angle }{\theta }_1/|Z_2|\mathrm{\angle }{\theta }_2=\frac{Z_1}{Z_2}\mathrm{\angle }({\theta }_1-{\theta }_2)$

Toán 2 số phức thuận và nghịch

Dạng x y

Với 2 số phức thuận nghịch

$Z=(a+ib)=z(\cos \theta +i\sin \theta )$

$Z^{\ast }=(a-ib)=z(\cos \theta -i\sin \theta )$

Phép toán 2 số phức khác biệt

1. $(a+ib)+(a-ib)=2a$
2. $(a+ib)-(a-ib)=i2b$
3. $(a+ib)\times (a-ib)=a^2-b^2$
4. $\frac{(a+ib)}{(a-ib)}=\frac{(a+ib)}{(a-ib)}\frac{(a-ib)}{(a-ib)}=\frac{(a^2-b^2)}{(a-ib{)}^2}$

Từ trên

$a=\frac{Z+Z^{\ast }}{2}=\cos \theta$

$b=\frac{Z+Z^{\ast }}{j2}=\sin \theta$

$a+b=\frac{Z\times Z^{\ast }}{a-b}$

$a-b=\frac{Z\times Z^{\ast }}{a+b}$

Dạng Z θ

Với 2 số phức thuận và nghịch

$Z=|Z|\mathrm{\angle }\theta$

$Z^{\ast }=|Z|\mathrm{\angle }-\theta$

Phép toán 2 số phức khác biệt

$Z\times Z\ast =|Z|\mathrm{\angle }\theta \times |Z|\mathrm{\angle }-\theta =|Z{|}^2\mathrm{\angle }0$

$\frac{Z}{Z\ast }=\frac{|Z|\mathrm{\angle }\theta }{|Z|\mathrm{\angle }-\theta }=1\mathrm{\angle }2\theta$

Số ảo

Số ảo là một phần tử của Số phức có giá trị bằng căn của trừ 1. Số ảo có ký hiệu

$i$ hay $j$

Dạng số ảo

Số ảo thuận

$j=\sqrt{-1}$

Số ảo nghịch

$-j=\frac{1}{j}=j^{-1}$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^2=-1$ $\frac{j}{j}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^2=1$ $\frac{j}{-j}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^0=1$ $j^1=j$ $j^2=-1$ $j^3=-j$ Từ trên, ta có $j^n=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^n=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j{)}^0=1$ $(-j{)}^1=-j$ $(-j{)}^2=-1$ $(-j{)}^4=j$ Từ trên, ta có $(-j{)}^n=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j{)}^n=\pm j$ với $n=2m+1$