Sách đại số/Phương trình đại số

Phương trình đại số

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

$f(x)=0$

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình $f(x)=0$

Thí dụ

$2x+5=0$

$2xy+5=z$

$x^{2}+4x-12=0$

Giải phương trình đại số

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình

Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình $2x+4=6$

$2x=6-4=2$

$x=2/2=1$

Giải phương trình đại số

Giải phương trình đường thẳng

Dạng tổng quát

$ax+b=0$

Giải phương trình

$ax+b=0$

$x+{\frac {b}{a}}=0$

Nghiệm số phương trình

$x=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình đường tròn

Phương trình hình tròn hệ số thực

Dạng tổng quát

$X^{2}+Y^{2}=0$

Giải phương trình

$X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY$

$Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX$

Phương trình hình tròn hệ số phức

Dạng tổng quát

$X+jY=0$

Giải phương trình

$X=-jY$

$jY=-X$

$Y=jX$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+{\frac {b}{a}}=0$ $x=-{\frac {b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$ax^{2}+bx+c=0$	$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ :$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$ $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$. $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$. $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$. $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $ax^{n}+b=0$ $ax^{n}=-b$ v$x^{n}=-{\frac {b}{a}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{o}=0$

Giải phương trình giải tích

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$ $s^{n}=-{\frac {b}{a}}$ $s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$ $f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0$ $s^{2}+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha ={\frac {b}{2a}}$ . $\beta ={\frac {c}{a}}$ . $\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$ . $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$ $s=-{\frac {b}{a}}$ $f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}$

Giải phương trình ma trận

Lối giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát

${\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}$

Giải phương trình cho nghiệm số

$x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}$.

Giải phương trình bằng ma trận

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}e\\f\\\end{bmatrix}}.$

Tìm định thức ma trận

Định thức của A

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

det(A)=ad-bc.

Định thức của X

$A={\begin{bmatrix}e&b\\f&d\end{bmatrix}}$

det(X)=ed-bf.

Định thức của Y

$Y={\begin{bmatrix}a&e\\c&f\end{bmatrix}}$

det(A)=af-cd.

Tìm nghiệm số

$x={\frac {X}{A}}\;\;;y={\frac {Y}{A}}$.

$x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}$.

Chứng minh

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+{\frac {b}{a}}y={\frac {c}{a}}$

$x+{\frac {e}{d}}y={\frac {f}{d}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})\times y=({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

${\frac {a}{b}}x+y={\frac {c}{b}}$

${\frac {d}{e}}x+y={\frac {f}{e}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})\times x=({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Thí dụ

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Ta có

$x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1$

$y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}$