Sách Vật lý/Tương đối rộng/Phương trình trọng trường Einstein

Phương trình trọng trường Einstein có thể được viết theo dạng

$R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

Trong đó:

• $R_{\mu \nu }\,$: tenxơ độ cong Ricci
• $R\,$: độ cong vô hướng (vô hướng Ricci)
• $g_{\mu \nu }\,$: tenxơ mêtric
• $\Lambda \,$: hằng số vũ trụ học
• $G\,$: hằng số hấp dẫn (giống như hằng số hấp dẫn trong định luật hấp dẫn của Newton)
• $c\,$: tốc độ của ánh sáng trong chân không
• $T_{\mu \nu }\,$: tenxơ ứng suất-năng lượng.

Tenxơ đối xứng chỉ chứa 10 thành phần độc lập, phương trình tenxơ của Einstein tương đương với 1 hệ 10 phương trình vô hướng độc lập. Cùng với 4 đồng nhất thức Bianchi, tương ứng với cách chọn 4 tọa độ tự do, làm cho thực sự có 6 phương trình độc lập không suy biến khi viết phương trình trường Einstein dưới dạng tường minh.

Tenxơ Einstein được định nghĩa bằng:

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}Rg_{\mu \nu },$

Nó là một tenxơ đối xứng hạng hai và là hàm của tenxơ mêtric. Phương trình Einstein khi đó viết thành

$G_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda ={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.$

Cho biết trước một sự sắp đặt vật chất, tức là biết tenxơ năng lượng-xung lượng T_μν, có thể coi phương trình này tìm nghiệm tenxơ mêtric g_μν (đại diện cho không thời gian và cũng thể hiện trường hấp dẫn), do tenxơ Ricci và vô hướng Ricci đều phụ thuộc vào g_μν một cách phức tạp.

Biết được tenxơ mêtric g_μν, có thể biết được một chất điểm tự do đi theo đường trắc địa trong không thời gian tương ứng với g_μν như nào. Trong thuyết tương đối rộng, chất điểm tự do không chịu ngoại lực tác động, và lực hấp dẫn không được coi là một ngoại lực tác động lên vật mà chỉ là hiệu ứng của đường trắc địa cong trong không thời gian cong; đường đi cong của chất điểm tự do có thể coi như tác động của lực hấp dẫn trong cơ học cổ điển.

Việc giải phương trình Einstein và hiểu các nghiệm là công việc cơ bản trong môn vũ trụ học. Một số lời giải cho các trường hợp đặc biệt có thể kể đến là nghiệm Schwarzschild (chân không xung quanh một thiên thể không quay, không tích điện), nghiệm Reissner-Nordström và nghiệm Kerr. Khi không thời gian hoàn toàn là chân không (không có vật chất), lời giải thu về mêtric Minkowski của không thời gian phẳng.

Phương trình trường Einstein tiệm cận về định luật vạn vật hấp dẫn Newton trong phép xấp xỉ trường yếu và xấp xỉ chuyển động chậm (so với tốc độ ánh sáng). Thực tế là hằng số hấp dẫn và các hằng số khác được dùng trong phương trình trường Einstein để khớp nó với định luật vạn vật hấp dẫn Newton trong hai phép xấp xỉ trên.