Sách toán/Phép toán số đại số

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
Toán cộng	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
Toán chia	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa	$a^{n}$	$a^{n}=a\times a\times a...$ a nhân với chính nó n lần	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn	${\sqrt {}}$	${\sqrt {a}}=b$ nếu có $b^{n}=a$	Toán lủy thừa nghịch
Toán log	$Log,Ln$	$Loga=b$ Nếu có $10^{b}=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Công thức toán đại số

Toán bội số

• $na+ma=a(n+m)$

$na+nb=n(a+b)$

• $na-ma=a(n-m)$

$na-nb=n(a-b)$

• $na\times ma=a^{2}(n\times m)$

$na\times nb=nmab$

• ${\frac {na}{ma}}={\frac {n}{m}}$

${\frac {na}{nb}}={\frac {a}{b}}$

Số 0

Toán cộng	$0+\pm a=\pm a$
Toán trừ	$0-\pm a=\mp a$
Toán nhân	$0\times \pm a=0$
toán chia	$0/\pm a=0$

Số nguyên dương

Toán cộng	$a+a=2a$ $a+0=a$
Toán trừ	$a-a=0$ $a-0=a$
Toán nhân	$a\times a=a^{2}$ $a\times 1=a$ $a\times 0=0$
Toán chia	$a/a=1$ $a/1=a$ $a/0=00$
Toán lũy thừa	$a^{0}=1$ $a^{n}=a\times a\times a...$ $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ $a^{\frac {1}{n}}=n{\sqrt {a}}$
Toán căn	$n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt {0}}=Error$ ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {-1}}=j$ ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}$ ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ ${\sqrt[{n}]{ab}}$ = ${\sqrt[{n}]{a}}$ ${\sqrt[{n}]{b}}$ $a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}$ ${\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}$
Toán Log	$Log10^{n}=n$ $\log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)\$ $\log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)\$ $\log _{b}(b^{a})=a\$ $\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$ for any $d>0,d<>1$ $\log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)\$

Số nguyên âm

Toán cộng	$-a+(-a)=-2a$ $-a+0=-a$
Toán cộng	$-a-(-a)=0$ $-a-0=-a$
Toán nhân	$-a\times (-a)=a^{2}$ $-a\times 1=-a$ $-a\times 0=0$
Toán chia	$-a/(-a)=1$ $-a/1=-a$ $-a/0=00$
Toán lũy thừa	$(-a)^{0}=1$ $(-a)^{n}=-a^{n}$ Vói $n=2m+1$ $(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$
Toán căn	${\sqrt {-a}}=\pm j{\sqrt {a}}$

Toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}$ a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}-{\frac {r}{c}}$
So sánh phân số	Với hai phân số ${\frac {a}{b}}$ và${\frac {c}{d}}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay ${\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi ${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}$ ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$

Toán số phức

Với 2 số phức thuận nghịch

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\angle \theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Ze^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\angle -\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Ze^{-j\theta }$
+	$2a$	$Z(\angle \theta +\angle -\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\angle \theta -\angle -\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^{2}-b^{2}$	$Z^{2}\angle 0$	$Z^{2}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$	$Z^{2}e$
/	${\frac {a^{2}-b^{2}}{a-ib}}$	$1\angle 2\theta$	${\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}}$	$e^{j2\theta }$
$()^{n}$	$(a+ib)^{n}$	Định luật De Moive $(Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta$		$[e^{j\theta }]^{n}=e^{jn\theta }$

Toán lũy thừa

Lủy thừa không	$a^{0}=1$
Lủy thừa 1	$a^{1}=a$
Lủy thừa của số không	$0^{n}$
Lủy thừa của số 1	$1^{n}=1$
Lủy thừa trừ	$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$
Lủy thừa phân số	$a^{\frac {m}{n}}=n{\sqrt {a^{m}}}$
Lủy thừa của số nguyên âm	$(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$. $(-a)^{n}=-a^{n}$ . Với $n=2m+1$
Lủy thừa của số nguyên dương	$(+a)^{n}=a^{n}$
Lủy thừa của lủy thừa	$(a^{m})^{n}=(a^{n})^{m}=a^{mn}$
Lủy thừa của tích hai số	$(ab)^{m}=a^{m}\times b^{m}$
Lủy thừa của thương hai số	$({\frac {a}{b}})^{m}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$
Lủy thừa của căn	$({\sqrt {a^{n}}})^{m}=a^{\frac {m}{n}}$
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa	$a^{m}+a^{n}=a^{m}(1+a^{n-m})$ $a^{m}-a^{n}=a^{m}(1-a^{n-m})$ $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$ $a^{m}/a^{n}=a^{m-n}$
Lủy thừa của tổng hai số	$(a+b)^{n}=\underbrace {(a+b)\times (a+b)\cdots \times (a+b)} _{n}=a^{n}+C_{n-1}a^{n-1}b+...+C_{1}ab^{n-1}+b^{n}$ $(a+b)^{0}=1$ $(a+b)^{1}=a+b$ $(a+b)^{2}=(a+b)\times (a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a+b)^{3}=(a+b)\times (a+b)\times (a+b)=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Lủy thừa của hiệu hai số	$(a-b)^{n}=\underbrace {(a-b)\times (a-b)\cdots \times (a-b)} _{n}$ $(a-b)^{0}=1$ $(a-b)^{1}=a+b$ $(a-b)^{2}=(a-b)\times (a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$ $(a-b)^{3}=(a-b)\times (a-b)\times (a-b)=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
Hiệu 2 lũy thừa	$a^{2}-b^{2}=(a+b)\times (a-b)$
Tổng 2 lũy thừa	$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab$

Toán căn

Căn và lủy thừa	$n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}$
Căn của số nguyên	${\sqrt {0}}=Error$ ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {-1}}=j$
Căn lủy thừa	${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}$
Căn thương số	${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}$ ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
Căn tích số	${\sqrt {ab}}$ = ${\sqrt {a}}$ ${\sqrt {b}}$
Vô căn	$a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}$
Ra căn	${\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}$

Toán log

Toán Log	$Log_{a}b=c$ khi có $a^{c}=b$
Viết tắc	$Log=Log_{10}$ $Ln=Log_{2}$
Log 1	$Log(1)=0$
Log lũy thừa	$Log_{n}(A)^{n}=A$
Lũy thừa log	$B^{Log_{B}(A)}=A$
Log của tích số	$Log(AB)=LogA+LogB$
Log của thương số	$Log({\frac {A}{B}})=LogA-LogB$
Log của lủy thừa	$Log(A^{n})=nLogA$
Đổi nền log	$Log_{a}x={\frac {Logx}{Loga}}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi $a=bc$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}$ a không chia hết cho b khi $a=bc+r$ . Vậy $b={\frac {a}{c}}-{\frac {r}{c}}$
So sánh phân số	Với hai phân số ${\frac {a}{b}}$ và${\frac {c}{d}}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay ${\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi ${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}$ ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Phép toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$

Phép toán số phức

Với 2 số phức thuận nghịch

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\angle \theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Ze^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\angle -\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Ze^{-j\theta }$
+	$2a$	$Z(\angle \theta +\angle -\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\angle \theta -\angle -\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^{2}-b^{2}$	$Z^{2}\angle 0$	$Z^{2}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$	$Z^{2}e$
/	${\frac {a^{2}-b^{2}}{a-ib}}$	$1\angle 2\theta$	${\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}}$	$e^{j2\theta }$
$()^{n}$	$(a+ib)^{n}$	Định luật De Moive $(Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta$		$[e^{j\theta }]^{n}=e^{jn\theta }$