# Sách toán/Hàm số đại số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

${\displaystyle y=2x+5}$

## Tính chất

Mọi hàm số đều có một hay nhiều hơn một biến số

 Mọi hàm số của một biến số ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle y=2x}$ Hàm số 2 biến số ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle f(r,\theta )}$ . ${\displaystyle Z\angle \theta ={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}}$ Hàm số 3 biến số ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Mọi hàm số đều có một giá trị

 Hàm số bằng không ${\displaystyle f(x)=0}$ Hàm số bằng hằng số không đổi ${\displaystyle f(x)=C}$ Hàm số khác không ${\displaystyle f(x)=y(x)}$

## Loại hàm số

 Dạng hàm số Công thức Thí dụ Hàm số tuần hoàn (Periodic function) ${\displaystyle f(x)=f(x+T)}$ ${\displaystyle sinx=sin(x+k2\pi )}$ Hàm số chẳn (Even function) ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$ ${\displaystyle y(x)=|x|}$ Hàm số lẽ (Odd function) ${\displaystyle f(x)=-f(x)}$ ${\displaystyle y(x)=-y(x)}$ Hàm số nghịch đảo (Inverse function) ${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}}$ ${\displaystyle sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}}$ Hàm số trong hàm số (Composite function) ${\displaystyle f(x)=f(g(x))}$ Hàm số nhiều biến số (Parametric function) ${\displaystyle z=f(x,y)}$ Hàm số tương quan/]] (Recursive function) Hàm số chia/]] (Rational function) ${\displaystyle Q(x)={\frac {N(x)}{M(x)}}-R(x)}$

## Công thức toán của hàm số

 Dạng hàm số Công thức Thí dụ Hàm số đường thẳng Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ ${\displaystyle y=y_{o}+Z(x-x_{o})}$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a ${\displaystyle y=ax+b}$ Hàm số vòng tròn Hàm số vòng tròn Z đơn vị ${\displaystyle Z^{2}=X^{2}+Y^{2}}$ Hàm số vòng tròn 1 đơn vị ${\displaystyle ({\frac {Z}{Z}})^{2}=({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}}$ ${\displaystyle 1=cos^{2}+sin^{2}}$ ${\displaystyle 1=sec^{2}+tan^{2}}$${\displaystyle 1=csc^{2}+cot^{2}}$ Hàm số lũy thừa Power function ${\displaystyle y=ax^{n}}$ Hàm số Lô ga rít ${\displaystyle y(x)=Logx}$ Hàm số lượng giác ${\displaystyle cos\theta ={\frac {X}{Z}}}$ ${\displaystyle sec\theta ={\frac {1}{X}}}$ ${\displaystyle csc\theta ={\frac {1}{Y}}}$ ${\displaystyle tan\theta ={\frac {Y}{X}}}$ ${\displaystyle cot\theta ={\frac {X}{Y}}}$

## Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...}$
Chứng minh

Khi x=0

${\displaystyle f(0)=a_{0}}$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

${\displaystyle f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}}$
${\displaystyle f^{'}(0)=a_{1}}$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

${\displaystyle f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}}$
${\displaystyle f^{''}(0)=2a_{2}}$
${\displaystyle a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

${\displaystyle f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}}$
${\displaystyle f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}}$
${\displaystyle a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}}$

Thế ${\displaystyle a_{0},a-1,a-2}$ vào hàm số ở trên ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}}$ ta được

${\displaystyle f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}}$
Thí dụ
• ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$
 ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f(0)=\sin(0)=0}$ ${\displaystyle f^{''}(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f^{''}(0)=-\sin(0)=0}$ ${\displaystyle f^{'''}(x)=-\cos(x)}$ ${\displaystyle f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1}$ ${\displaystyle f^{''''}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f^{'''}(0)=\sin(0)=0}$
${\displaystyle \sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}}$

• ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$
 ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ ${\displaystyle f(0)=\cos(0)=1}$ ${\displaystyle f^{'}(x)=-\sin(x)}$ ${\displaystyle f^{'}(0)=-\sin(0)=0}$ ${\displaystyle f^{''}(x)=-\cos(x)}$ ${\displaystyle f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1}$ ${\displaystyle f^{''''}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f^{'''}(0)=\sin(0)=0}$ ${\displaystyle f^{'''}(x)=\sin(x)}$ ${\displaystyle f^{'''}(0)=\sin(0)=0}$
${\displaystyle \cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}}$

## Đồ thị hàm số

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ

### Đồ Thị điểm XY

 Đồ thị Hình Ý nghỉa Đồ Thị điểm XY Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang, gọi là trục hoành hay trục x . Một dọc, gọi là trục tung hay trục y cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0) Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ, Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8 ${\displaystyle X=Rcos\theta }$ ${\displaystyle Y=Rsin\theta }$

### Đồ Thị điểm Rθ

 Đồ thị Hình Ý nghỉa Đồ Thị điểm Rθ Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ ${\displaystyle R^{2}=X^{2}+Y^{2}}$ ${\displaystyle Tan\theta ={\frac {Y}{X}}}$

### Đồ thị hàm số

Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

${\displaystyle y=x}$

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

 x -2 -1 0 1 2 y = x -2 -1 0 1 2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Đồ thị của các hàm số cơ bản

 Dạng hàm số Công thức Đồ thị Hàm số đường thẳng Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ ${\displaystyle y=y_{o}+a(x-x_{o})}$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a ${\displaystyle y=ax+b}$ . với ${\displaystyle x_{o}=0,y_{o}=b}$ Hàm số vòng tròn Hàm số vòng tròn Z đơn vị ${\displaystyle Z^{2}=X^{2}+Y^{2}}$ Hàm số vòng tròn 1 đơn vị ${\displaystyle {\frac {Z}{Z}}^{2}={\frac {X}{Z}}^{2}+{\frac {Y}{Z}}^{2}}$ ${\displaystyle 1=cos^{2}+sin^{2}}$ ${\displaystyle 1=sec^{2}+tan^{2}}$${\displaystyle 1=csc^{2}+cot^{2}}$ Hàm số lũy thừa Power function ${\displaystyle y=ax^{n}}$ Hàm số Lô ga rít ${\displaystyle y(x)=Logx}$ Hàm số lượng giác cos ${\displaystyle cos\theta ={\frac {X}{Z}}}$ Hàm số lượng giác sin ${\displaystyle cos\theta ={\frac {Y}{Z}}}$ Hàm số lượng giác sec ${\displaystyle cos\theta ={\frac {1}{X}}}$ Hàm số lượng giác csc ${\displaystyle cos\theta ={\frac {1}{Y}}}$ Hàm số lượng giác tan ${\displaystyle cos\theta ={\frac {Y}{X}}}$ Hàm số lượng giác cot ${\displaystyle cos\theta ={\frac {X}{Y}}}$

#### Line

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation

${\displaystyle \varphi =\gamma ,}$
where ${\displaystyle \gamma }$ is the angle of elevation of the line; that is, ${\displaystyle \varphi =\arctan m}$, where ${\displaystyle m}$ is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line ${\displaystyle \varphi =\gamma }$ perpendicularly at the point ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ has the equation
${\displaystyle r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).}$

Otherwise stated ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius ${\displaystyle r_{0}}$

#### Circle

The general equation for a circle with a center at ${\displaystyle (r_{0},\gamma )}$ and radius a is

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.}$

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation

${\displaystyle r(\varphi )=a}$
for a circle with a center at the pole and radius a.

When Bản mẫu:Math or the origin lies on the circle, the equation becomes

${\displaystyle r=2a\cos(\varphi -\gamma ).}$

In the general case, the equation can be solved for Bản mẫu:Math, giving

${\displaystyle r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}}$
The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

#### Polar rose

A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation,

${\displaystyle r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)}$

for any constant γ0 (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ0 can be regarded as a phase angle.

#### Archimedean spiral

The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation

${\displaystyle r(\varphi )=a+b\varphi .}$
Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for Bản mẫu:Math and one for Bản mẫu:Math. The two arms are smoothly connected at the pole. If Bản mẫu:Math, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.

#### Conic sections

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by:

${\displaystyle r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}}$
where e is the eccentricity and ${\displaystyle \ell }$ is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If e > 1, this equation defines a hyperbola; if Bản mẫu:Math, it defines a parabola; and if Bản mẫu:Math, it defines an ellipse. The special case Bản mẫu:Math of the latter results in a circle of the radius ${\displaystyle \ell }$.

#### Intersection of two polar curves

The graphs of two polar functions ${\displaystyle r=f(\theta )}$ and ${\displaystyle r=g(\theta )}$ have possible intersections of three types:

1. In the origin, if the equations ${\displaystyle f(\theta )=0}$ and ${\displaystyle g(\theta )=0}$ have at least one solution each.
2. All the points ${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$ where ${\displaystyle \theta _{i}}$ are solutions to the equation ${\displaystyle f(\theta +2k\pi )=g(\theta )}$ where ${\displaystyle k}$ is an integer.
3. All the points ${\displaystyle [g(\theta _{i}),\theta _{i}]}$ where ${\displaystyle \theta _{i}}$ are solutions to the equation ${\displaystyle f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )}$ where ${\displaystyle k}$ is an integer.

## Tóan hàm số

### Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

${\displaystyle \Delta x=(x+\Delta x)-x}$

Thay đổi biến số y

${\displaystyle \Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)}$

### Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}}$

### Đạo hàm

Phép toán giải tích tìm biến đổi của một hàm số toán

 Đạo hàm v ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}$

### Tích phân

Phép toán giải tích tìm tổng biến đổi của một hàm số toán

 Loại tích phân Hình Công thức Tích phân xác định ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$ Tích phân bất định ${\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C}$