Sách toán/Chuyển động

Chuyển động cong

Chuyển động cong v(t)

Chuyển Động v(t)		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Chuyển động cong s(t)

Chuyển Động s(t)		s	v	a
Cong		$s(t)$	${\frac {d}{dt}}s(t)$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$
Tròn		$r\theta (t)$	$r{\frac {d}{dt}}\theta (t)$	$r{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)$

Dao động sóng

Dao động sóng sin

Dao động sóng sin ngang

$F_{a}=F_{x}$

$ma=-kx$

${\frac {d}{dx^{2}}}x=-{\frac {k}{m}}x=-\beta x$

$x=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Dao động sóng sin dọc

$F_{a}=F_{y}$

$ma=-ky$

${\frac {d}{dx^{2}}}y=-{\frac {k}{m}}y=-\beta y$

$y=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Dao động sóng sin nghiêng

$F_{a}=F_{\theta }$

$mg=-l\theta$

${\frac {d}{dx^{2}}}\theta =-{\frac {l}{m}}\theta =-\beta \theta$

$\theta =Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}$

Phương trình và hàm số sóng sin

Hàm số sóng sin có thể biểu diển bằng công thức toán của một Hàm số sóng lượng giác như sau

$f(t)=ASin(n\omega t)$

Mọi sóng sin đều thoả mãn một phương trình đạo hàm bậc n

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

Phương trình trên có thể viết dưới dạng phương trình sóng như sau

$f^{n}(t)=-\beta f(t)$

$\beta ={\frac {b}{a}}$

n ≥ 2

Chứng minh

Theo hoán chuyển Laplace

$F(s)=\int f(t)e^{-st}dt$

$f(t)$	$F(s)$
${\frac {d}{dt^{n}}}$	$s^{n}$
${\frac {d}{dt^{n}}}f(t)$	$s^{n}f(t)$

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

$s^{n}f(t)+\beta f(t)=0$

$s^{n}=-\beta =-{\frac {b}{a}}$

$s^{n}={\sqrt[{n}]{-\beta }}=\pm j{\sqrt[{n}]{\beta }}=\pm jn\omega$

$f(t)=Ae^{st}$

$f(t)=Ae^{\pm jn\omega t}=Asin(n\omega t)$

$\omega ={\sqrt[{n}]{\beta }}$

n >= 2

Vector

Không gian 1 chiều

Đạo hàm bậc nhứt

Vector đường thẳng ngang

${\vec {X}}^{'}={\frac {d}{dt}}{\vec {X}}={\frac {d}{dt}}X{\vec {i}}=v_{x}{\vec {i}}$

Vector đường thẳng dọc

${\vec {Y}}^{'}={\frac {d}{dt}}{\vec {Y}}={\frac {d}{dt}}Y{\vec {i}}=v_{y}{\vec {j}}$

Vector đường thẳng nghiêng

${\vec {Z}}^{'}={\frac {d}{dt}}{\vec {Z}}={\frac {d}{dt}}Z{\vec {i}}=v_{z}{\vec {k}}$

Đạo hàm bậc hai

Vector đường thẳng ngang

${\vec {X}}^{''}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {X}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}X{\vec {i}}=a_{x}{\vec {i}}$

Vector đường thẳng dọc

${\vec {Y}}^{''}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Y}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}Y{\vec {i}}=a_{y}{\vec {j}}$

Vector đường thẳng nghiêng

${\vec {Z}}^{''}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Z}}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}Z{\vec {i}}=a_{z}{\vec {k}}$

Không gian 2 chiều

Đạo hàm bậc nhứt

Vector đường tròn

${\vec {Z}}^{'}=({\vec {X}}+{\vec {Y}})^{'}=({\vec {X}})^{'}+({\vec {Y}})^{'}=(X{\vec {i}})^{'}+(Y{\vec {j}})^{'}=(R{\vec {r}})^{'}$

${\vec {Z}}^{'}={\frac {d}{dt}}({\vec {X}}+{\vec {Y}})={\frac {d}{dt}}({\vec {X}})+{\frac {d}{dt}}({\vec {Y}})={\frac {d}{dt}}(X{\vec {i}})+{\frac {d}{dt}}(Y{\vec {j}})$

${\vec {Z}}^{'}={\frac {d}{dt}}(R{\vec {r}})=R{\frac {d}{dt}}({\vec {r}})+{\vec {r}}{\frac {d}{dt}}(R)=R{\frac {d}{dt}}({\vec {r}})$