Sách sóng kỹ sư

Sóng sin đều

Sóng Sin đều là sóng có dạng sau

Công thức toán

Có thể biểu diển bằng hàm số toán như sau

Hàm sô lượng giác

f(t)=Asin\omega t=A

Hàm sô lũy thừa đại số

f(t)=Ae^{\pm j\omega t}

Phương trình và hàm số sóng Lambert

Mọi sóng đều thoả mãn một phương trình vi phân riêng phần gọi là phương trình sóng. Các phương trình sóng có thể có nhiều dạng, phụ thuộc vào môi trường truyền và kiểu lan truyền.

Dạng đơn giản nhất, dành cho sóng lan truyền theo phương x, theo thời gian t và dao động sóng thay đổi trên biến y:

{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.

Ở đây, v là vận tốc lan truyền sóng. Hàm sóng tổng quát thoả mãn phương trình trên, giải bởi d'Alembert, là:

y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)

Phương trình và hàm số sóng Laplace

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

af^{n}(t)+bf(t)=0

f^{n}(t)+{\frac {b}{a}}f(t)=0

Dùng hoán đổi tích phân Laplace ta có

s^{n}f(t)=-{\frac {b}{a}}f(t)

Phương trình sóng Laplace

s^{n}=-{\frac {b}{a}}

s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega

Nghiệm của phương trình trên

f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t

\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}

. n >=2

Ứng dụng

Dao động lò xo, con lắc

Đao động lò xo lên xuống, qua lại và dao động con lắc đong đưa

{\frac {d}{dt}}f(t)=-\beta f(t)

Hàm số dao động sóng sin

f(t)=Asin\omega t

Với

\beta ={\sqrt {\frac {k}{m}}}

- Lò xo

\beta ={\sqrt {\frac {l}{m}}}

- Con lắc

Dao động điện RLC nối tiếp

Dao động điện từ

Sóng sin đều dừng

Sóng dừng Lambert

Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

y(x,t)=A(x,t)\cos(\omega t-kx+\varphi ),\,

Ở đây

A(x, t) là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc,

k là số sóng

φ là pha ban đầu.

Nếu biên độ của sóng không phụ thuộc thời gian thì sóng gọi là sóng dừng.

A(x,t)=A(x)

Tần số góc liên hệ với tần số qua:

\omega =2\pi f

Còn số sóng liên hệ với vận tốc lan truyền v của sóng qua:

v={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,

Ở đây λ là bước sóng f là tần số. Tần số f liên hệ với chu kỳ T qua:

f={\frac {1}{T}}

Mọi sóng điều hoà đều có thể đặc trưng bởi biên độ, tần số, vận tốc và pha. Ngoài ra, sóng có thể được mô tả theo phương dao động.

Sóng dừng Lambert

v(t,\theta )=Vsin(\omega t+\theta )-Vsin(\omega t-\theta )

Sóng sin không đều

Với phương trình dạo hàm bậc hai có dạng tổng quát sau

af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0

f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0

s^{''}f(t)+{\frac {b}{a}}s^{'}f(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0

Phương trình được viết dưới dạng phương trình sóng Laplace như sau

s^{2}-2\alpha s+\beta =0

Giải phương trình trên cho nghiệm

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(t)=Ae^{st}$	Đồ thị
$-\alpha$	α=β	$Ae^{\alpha }t=A(\alpha )$
$-\alpha \pm \lambda$	α<β	$Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
$-\alpha \pm j\omega$	α>β	$Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$

Với

\alpha ={\frac {b}{2a}}

\beta ={\frac {c}{a}}

\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}

\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}

Sóng sin điện từ

Tổng kết

Mọi sóng sin đều có

Dạng sóng	Hình	Phương trình sóng Laplace hay Lambert	Hàm số sóng	Điều kiện
Sóng sin đều		${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)=-\beta f(t)$	$f(t)=Asin\omega t$	$\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f$ n ≥ 2
Sóng sin đều		${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)=-\beta f(t)$	$f(t)=Asin\omega t$	$\omega ={\sqrt {\beta }}=\lambda f$ n ≥ 2
Sóng sin không đều		${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)=-2\alpha f(t)-\beta f(t)$	$f(t)=A(\alpha )sin\omega t$	$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}=\lambda f$
Sóng sin điện từ