Trong toán học, các đẳng thức lượng giác là các phương trình chứa các hàm lượng giác, đúng với một dải lớn các giá trị của biến số.
Các đẳng thức này hữu ích cho việc rút gọn các biểu thức chứa hàm lượng giác. Ví dụ trong việc tính tích phân với các hàm không phải là lượng giác: có thể thay chúng bằng các hàm lượng giác và dùng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa phép tính.
Bản mẫu:Xem thêm
![{\displaystyle \tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\qquad \operatorname {cot} (x)={\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {1}{\tan(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aeacf9d219f0dd897abf88df25875ae240038bf)
Các đẳng thức sau dựa vào định lý Pytago.
![{\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59455871cbd1cc229f175c99ce9d58b20b75d156)
![{\displaystyle \tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d108f5141ca2e4bdd35a6bb5e6851645cabb0da)
![{\displaystyle \cot ^{2}(x)+1=\csc ^{2}(x)={\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466ece5c23a0ff622e073018f034a5f997787cc3)
Đẳng thức thứ 2 và 3 có thể suy ra từ đẳng thức đầu bởi chia nó cho cos²(x) và sin²(x).
Công thức cộng trừ lượng giác
[sửa]
- Xem thêm Định lý Ptolemy
Cách chứng minh nhanh các công thức này là dùng công thức Euler.
![{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin(x)\cos(y)\pm \cos(x)\sin(y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a622d6c8d04c640fbd1f0790e151290b2942c4dc)
![{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \sin(x)\sin(y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89a087e7829135a573deb56dce39371aee9dcb86)
![{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44ab55928ad4fec460396c1c2a69cfedb044f7b)
![{\displaystyle \ cot(x\pm y)={\frac {1\mp \tan(x)\tan(y)}{\tan(x)\pm \tan(y)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6486126c0f8b943a1a5f58fa1a03487895edb3d3)
![{\displaystyle {\rm {c\imath s}}(x+y)={\rm {c\imath s}}(x)\,{\rm {c\imath s}}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c30bb91d1fdfd9eb049af1fac035cb05b52a140)
![{\displaystyle {\rm {c\imath s}}(x-y)={{\rm {c\imath s}}(x) \over {\rm {c\imath s}}(y)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a081d2e83502c8b3109c5616344a15f22ffb598b)
với
![{\displaystyle {\rm {c\imath s}}(x)=e^{\imath x}=\cos(x)+\imath \sin(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9398ed869225817ee3bb2a5f33f7356f1adf1cee)
và
![{\displaystyle \imath ={\sqrt {-1}}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/387b0a87ca48d8837abc65bd1534e0bce0cc524c)
Các công thức sau có thể suy ra từ các công thức trên. Cũng có thể dùng công thức de Moivre với n = 2.
![{\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9cf10155d3b5728146762b9ee10d6ed216c31f)
![{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d0015eca8076a13b8b5b365cfa3e6e8d5f5edc)
![{\displaystyle \tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199100c934d04b31fe8570ec3b8d9664cb344530)
![{\displaystyle \cot(2x)={\frac {\cot ^{2}(x)-1}{2\cot(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4beda5ddbc0ded3526d34459ae636a1751f839b)
Công thức góc kép có thể dùng để tìm bộ ba Pytago. Nếu (a, b, c) là bộ ba Pytago thì (a2 − b2, 2ab, c2) cũng vậy.
![{\displaystyle \cos(nx)=2\cos((n-1)x)\cos(x)-\cos((n-2)x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb12717dc41f945bdc840c956bc2bc18cd2748f)
Ví dụ của trường hợp n = 3:
![{\displaystyle \sin(3x)=3\sin x-4\sin ^{3}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4963d3e6f054f4f0ee4ac9430d3ed131be741f01)
![{\displaystyle \cos(3x)=4\cos ^{3}x-3\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8dc8b776e6db2fa1a57df2d9656e0c91160f38f)
![{\displaystyle \sin(3x)=4\sin x\sin({\frac {\pi }{3}}-x)\sin({\frac {\pi }{3}}+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cd5b015a488e8c900c3cacb5459150e033df9d2)
![{\displaystyle \cos(3x)=4\cos x\cos({\frac {\pi }{3}}-x)\cos({\frac {\pi }{3}}+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca4e924bdfe2600a37eb1c7d30c456e973e4484)
![{\displaystyle \tan(3x)=\tan x\tan({\frac {\pi }{3}}-x)\tan({\frac {\pi }{3}}+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/590f8b03923754c0a2acc9b70eb6f836804cbc50)
Giải các phương trình ở công thức bội cho cos2(x) và sin2(x), thu được:
![{\displaystyle \sin ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d496ff2701236fd04a8c445209cbeba24fa47872)
![{\displaystyle \cos ^{2}(x)={1+\cos(2x) \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2510372d9500a21f5edbb96a2e1d34974250074d)
![{\displaystyle \tan ^{2}(x)={1-\cos(2x) \over 1+\cos(2x)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b39a9f868403c6eea85a65b3e966c06bb30e728d)
![{\displaystyle \sin ^{2}(x)\cos ^{2}(x)={1-\cos(4x) \over 8}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2454899e0ec9f4695a1774f2ac7315626dec8394)
![{\displaystyle \sin ^{3}(x)={\frac {3\sin(x)-\sin(3x)}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4907cff212575e7996cacfaebb6141c82831f702)
![{\displaystyle \cos ^{3}(x)={\frac {3\cos(x)+\cos(3x)}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7d558e0c5bf1e1579c8cc6a8ddc147a9e606304)
![{\displaystyle \sin ^{4}(x)={\frac {1\cos(4x)-4\cos(2x)+3}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9301b49c98e97e6b4f21962824a9aced8154c05)
![{\displaystyle \cos ^{4}(x)={\frac {1\cos(4x)+4\cos(2x)+3}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fa4627f802f5f4e02f40b54b530563e67d6be6)
Công thức góc chia đôi
[sửa]
Thay x/2 cho x trong công thức trên, rồi giải phương trình cho cos(x/2) và sin(x/2) để thu được:
![{\displaystyle \sin \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4739313b0ccc5f43551f1e23731469bea5d939)
![{\displaystyle \cos \left({\frac {x}{2}}\right)=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b0d527375ffd7ada07573a2cf511cca943c94b)
Dẫn đến:
![{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\sin(x/2) \over \cos(x/2)}=\pm \,{\sqrt {1-\cos x \over 1+\cos x}}.\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14460442a767d1e88f40dd436a6f56cbca120f72)
Nhân với mẫu số và tử số 1 + cos x, rồi dùng định lý Pytago để đơn giản hóa:
![{\displaystyle ={\sin x \over 1+\cos x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d08702df0ed94f1de806e23f8f9de7777ed0fbf)
Tương tự, lại nhân với mẫu số và tử số của phương trình (1) bởi 1 − cos x, rồi đơn giản hóa:
![{\displaystyle ={1-\cos x \over \sin x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c024c3223eb65c4a893a3edf99d53ad8bddd32)
Suy ra:
![{\displaystyle \tan \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23bd1dc644f95c82d6da5bb8f9a4feea93584086)
Nếu
![{\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd9c31dd472e898ca3b507a1c8f6815262d6ddc)
thì:
|
|
and |
|
and |
|
Phương pháp dùng t thay thế như trên hữu ích trong giải tích để chuyển các tỷ lệ thức chứa sin(x) và cos(x) thành hàm của t. Cách này giúp tính đạo hàm của biểu thức dễ dàng.
Biến tích thành tổng
[sửa]
Dùng công thức tổng và hiệu góc bên trên có thể suy ra.
![{\displaystyle \sin \left(x\right)\sin \left(y\right)={\cos \left(x-y\right)-\cos \left(x+y\right) \over 2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb9298c2feb18609cdd19e822da5937ad02c8f2)
![{\displaystyle \cos \left(x\right)\cos \left(y\right)={\cos \left(x+y\right)+\cos \left(x-y\right) \over 2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe8eddd094d926c2069fe1ba05afde64c866ac38)
![{\displaystyle \sin \left(x\right)\cos \left(y\right)={\sin \left(x+y\right)+\sin \left(x-y\right) \over 2}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0989c33791d6db2928da2b4b556764787ef11cc)
Biến tổng thành tích
[sửa]
Thay x bằng (x + y) / 2 và y bằng (x – y) / 2, suy ra:
![{\displaystyle \sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872769ce96c5ebed12e2ba673349558fd52bfc9d)
![{\displaystyle \sin(x)-\sin(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({x-y \over 2}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/315557032921c2f2dcd2f32f325b6c40a4e8edf6)
![{\displaystyle \cos(x)+\cos(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68f1d59fa0f495d292badde74d605b6fb1a99fbc)
![{\displaystyle \cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left({x+y \over 2}\right)\sin \left({x-y \over 2}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5034e131914a0d45a619385bbb20cbc69435ad)
Hàm lượng giác ngược
[sửa]
![{\displaystyle \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91232cec02d1ec0dad74d405b3a87f4ed4749cf4)
![{\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32267126e0fa9e0ff3e02a599c5f61ff1851f7d)
![{\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x>0\\-\pi /2,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ x<0\end{matrix}}\right..}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5809fecf3c43c19175d912a93b70a11363aa57)
![{\displaystyle \arctan(x)+\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/792cccaf9ae3d0788c1cffd7d87883ebffa5cb8f)
![{\displaystyle \arctan(x)-\arctan(y)=\arctan \left({\frac {x-y}{1+xy}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ac745ebc1acc661335410dfec947263390ed76)
![{\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac313fee80532cca62b0497c5951d3ff5059c67b)
![{\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318b4084e093abcc25035f523a5c58b7521e0889)
![{\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a32bc142eb5da5fe334aa7c496e99fc67ff33f)
![{\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a657dfc8a2af1dc1a57a7ea86536226babe99e)
![{\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b893b2464d6972d04108e36baf9bba7a1b750a)
![{\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e712485c56ecce77ce7d7f2da6426b7fb129db1)
![{\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f52446887052c87511159b7b8113f3bc4cb092)
![{\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/524466c42d884cea2a537eaa9e29eec04431381b)
với
Trong các ứng dụng với hàm đặc biệt, các tích vô hạn sau có ích:
![{\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f31f0f322bd5f7b9cac7e8a1b2e241e3603950)
![{\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31df2a806641470616027c8398c5bb045a947634)
![{\displaystyle \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a6081a766de913b9164ef66a6b197c00877b1c)
![{\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fe60b2f3674680f291083220eda74cb9773d05)
![{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a67d317174c8706ce7b1974336b5f57a9a93d9a)
Richard Feynman từ nhỏ đã nhớ đẳng thức sau:
![{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbd948a925467fd4bc7a0c7fbbe8b334ff0e369)
Tuy nhiên nó là trường hợp riêng của:
![{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f003b5949d295fcb2eb5696edc927f243fe381a)
Đẳng thức số sau chưa được tổng quát hóa với biến số:
.
Đẳng thức sau cho thấy đặc điểm của số 21:
![{\displaystyle \,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6954b1bc68bd3b00e5c734cd0fcc1c22ba4b2ae9)
Một cách tính pi có thể dựa vào đẳng thức số sau, do John Machin tìm thấy:
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba362ff207097dc35ca873f9a16bcda21a96b278)
hay dùng công thức Euler:
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ed05dee249464344bcae45d7b6f2b6021409e4)
Một số giá trị lượng giác thông dụng:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&0&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\frac {1}{2}}&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&1&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\\\\\tan 0&=&\tan 0^{\circ }&=&0&=&\cot 90^{\circ }&=&\cot \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\tan \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\tan 30^{\circ }&=&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&=&\cot 60^{\circ }&=&\cot \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\tan \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\tan 45^{\circ }&=&1&=&\cot 45^{\circ }&=&\cot \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\tan \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\tan 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}&=&\cot 30^{\circ }&=&\cot \left({\frac {\pi }{6}}\right)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8691e390cf57be30443caa79c4642b413b2dc401)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{7}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {\sqrt {7}}{189}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j+1)!}{189^{j}j!\,(2j+2)!}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d0be2f2453ed0752fcde34386c859f4e1009d9)
![{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{18}}={\frac {1}{6}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(3j)!}{27^{j}j!\,(2j+1)!}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1142de4ad9ae3b82a41dbb5ee520c43baba025ae)
Dùng tỷ lệ vàng φ:
![{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}=\phi /2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7806b99d7221f29e98af15441ece75728a8f013c)
![{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637ce4a172421f7f3c6b3c645d05128f2e099fe1)
-
-
![{\displaystyle -{\frac {\sin({\frac {\pi }{7}})}{\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\frac {\sin({\frac {3\pi }{7}})}{\sin ^{2}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {\sin({\frac {2\pi }{7}})}{\sin ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}}=2{\sqrt {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cfa569d5c5c009047f6e4d15fecd25b7b04f57c)
![{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}({\frac {\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {2\pi }{7}})}}+{\frac {\sin ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {\pi }{7}})}}+{\frac {\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {3\pi }{7}})}}=28}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e87d39702d2e96a8cb945756139b73585c455dde)
![{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}({\frac {\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {2\pi }{7}})}}({\frac {4\sin({\frac {\pi }{7}})}{\sin({\frac {2\pi }{7}})}}-{\frac {2\sin({\frac {3\pi }{7}})}{\sin({\frac {\pi }{7}})}})+{\frac {\sin ^{2}({\frac {3\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {\pi }{7}})}}({\frac {2\sin({\frac {2\pi }{7}})}{\sin({\frac {3\pi }{7}})}}+{\frac {4\sin({\frac {3\pi }{7}})}{\sin({\frac {\pi }{7}})}})-{\frac {\sin ^{2}({\frac {2\pi }{7}})}{\sin ^{4}({\frac {3\pi }{7}})}}({\frac {2\sin({\frac {\pi }{7}})}{\sin({\frac {2\pi }{7}})}}+{\frac {4\sin({\frac {2\pi }{7}})}{\sin({\frac {3\pi }{7}})}})=280}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfd745e4df78a3fab013b4be7a30c3994d68a1e4)
![{\displaystyle \cos({\frac {\pi }{17}})={\frac {1}{8}}{\sqrt {(}}2(2{\sqrt {{\sqrt {\frac {17(17-{\sqrt {17}})}{2}}}-{\sqrt {\frac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}-4{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}+3{\sqrt {17}}+17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+{\sqrt {17}}+15))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570cc9c4eb76ee2311303e939c8375d7f12bef3f)
![{\displaystyle \tan({\frac {\pi }{120}})={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8817ed99fb8c2f2c866b5224397a21de7ad821b)
![{\displaystyle \cos({\frac {\pi }{240}})={\frac {1}{16}}({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}})+{\sqrt {{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}+2}}({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad675f053111324385afc3409a34c835d3aa48b)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\cot ^{-1}(2)+\cot ^{-1}(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cac6356b678838c8e4f488042f16c78bf63e85)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\cot ^{-1}(2)+\cot ^{-1}(5)+\cot ^{-1}(8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39775a73b8fda912f336ced488b664ad560507e0)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=2\cot ^{-1}(3)+\cot ^{-1}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bea6bcd527d3f36593237ae893bbde5eda30d86)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=3\cot ^{-1}(4)+\cot ^{-1}({\frac {99}{5}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e74c2d270f30b7ab1850750798e805ed4530dbb)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(239)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d0686f0cd3d425acc6082610fd98453d593ad1)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(70)+\cot ^{-1}(99){\frac {\pi }{4}}=5\cot ^{-1}(6)-\cot ^{-1}({\frac {503}{16}})-\cot ^{-1}(117)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4550e88a17ad2d86c1f68f1c8e27a8bfd13976ca)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\cot ^{-1}(7)+2\cot ^{-1}({\frac {79}{3}}){\frac {\pi }{4}}=6\cot ^{-1}(8)+\cot ^{-1}({\frac {99}{5}})-3\cot ^{-1}(268)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49a0bcbffcf07fb0a297fca6732e60516128ebd)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\cot ^{-1}(10)-\cot ^{-1}(239)-4\cot ^{-1}(515){\frac {\pi }{4}}=8\cot ^{-1}(10)-2\cot ^{-1}({\frac {452761}{2543}})-\cot ^{-1}(1393)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff78ec22a901d4ea60db346347dd68dc9a4b2efc)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=8\cot ^{-1}(10)-\cot ^{-1}(100)-\cot ^{-1}(515)-\cot ^{-1}({\frac {371498882}{3583}}){\frac {\pi }{4}}=12\cot ^{-1}(18)+3\cot ^{-1}(70)+5\cot ^{-1}(99)+8\cot ^{-1}(307)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a4180b3e06e73d927b9a8c4b2f2ea14f4c4836)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=12\cot ^{-1}(18)+8\cot ^{-1}(99)+3\cot ^{-1}(239)+8\cot ^{-1}(307)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90792c08494493a3695f70de147ca8ac803f4c4)
Các công thức trong giải tích sau dùng góc đo bằng radian
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4198eacae2bc35f068a83197d7b31805e1b31f1)
![{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13776cd4f95a1a71dddc828f2aedd736d11deda)
![{\displaystyle {d \over dx}\sin(x)=\cos(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0292e5e62c680c10a355f65f02eb8a6e32f1b7d)
Các đẳng thức sau có thể suy ra từ trên và các quy tắc của đạo hàm:
![{\displaystyle {d \over dx}\cos(x)=-\sin(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9908aa9e1fd30b146762e1e09159b22fe4d4700)
![{\displaystyle {d \over dx}\tan(x)=\sec ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863dda0dbe74785b04454105fdb01714ab39ab9f)
![{\displaystyle {d \over dx}\cot(x)=-\csc ^{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ec721608584168ea272be6eca90c242bdb3000)
![{\displaystyle {d \over dx}\sec(x)=\sec(x)\tan(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/337af9038a09bec672aaf172b2f87c2080fbd425)
![{\displaystyle {d \over dx}\csc(x)=-\csc(x)\cot(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2081c626730e1e410f440dfb6daa0655b2b2dbc)
![{\displaystyle {d \over dx}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ee06cafd47549b1a25a9c73d6c4ec52d4525a6)
![{\displaystyle {d \over dx}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/379c555c55b58d52ebe717de70fd18710bded275)
Các biểu thức về tính tích phân có thể tìm tại danh sách tích phân với hàm lượng giác và danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược.
Hàm lượng giác nghịch đảo
[sửa]
Các hàm lượng giác tuần hoàn, do vậy để tìm hàm nghịch đảo, cần giới hạn miền của hàm. Dươi đây là định nghĩa các hàm lượng giác nghịch đảo:
Giới hạn miền
|
Định nghĩa
|
-π/2 < y < π/2
|
y = arcsin(x) khi và chỉ khi x = sin(y)
|
0 < y < π
|
y = arccos(x) khi và chỉ khi x = cos(y)
|
-π/2 < y < π/2
|
y = arctan(x) khi và chỉ khi x = tan(y)
|
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0
|
y = arccot(x) khi và chỉ khi x = cot(y)
|
0 < y < π và y ≠ π/2
|
y = arcsec(x) khi và chỉ khi x = sec(y)
|
-π/2 < y < π/2 và y ≠ 0
|
y = arccsc(x) khi và chỉ khi x = csc(y)
|
Các hàm nghịch đảo có thể được ký hiệu là sin−1 hay cos−1 thay cho arcsin và arccos. Việc dùng ký hiệu mũ có thể gây nhầm lẫn với hàm mũ của hàm lượng giác.
Các hàm lượng giác nghịch đảo cũng có thể được định nghĩa bằng chuỗi vô hạn:
![{\displaystyle {\begin{matrix}\arcsin z&=&z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c8f60ded82828320212e433436b5d381c73865)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\arccos z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bd7773591fb8a51901f27c7eb0309df89de0a2)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\arctan z&=&z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98de582e6c8f0524b98c0876aa60b36273c29a7)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\arccos z&=&\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&=&z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&=&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a858d1ec4141409005f9195336e61b0c0cbd14)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arcsec} z&=&\arccos \left(z^{-1}\right)\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58dc4328df794928bab36c1bc9dba830461d8a9)
![{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {arccot} z&=&{\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&=&{\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&=&{\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\end{matrix}}\,\quad \left|z\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8166156084d77a99f7de2b58df6303903722d659)
Chúng cũng có thể được định nghĩa thông qua các biểu thức sau, dựa vào tính chất chúng là đạo hàm của các hàm khác.
![{\displaystyle \arcsin \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961b7018b84fd4e4b4b22c46c10ab094b5974694)
![{\displaystyle \arccos \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,\mathrm {d} z,\quad |x|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4765447c08c80e786a151e2d994f04494146c4)
![{\displaystyle \arctan \left(x\right)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{1+z^{2}}}\,\mathrm {d} z,\quad \forall x\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d3982e7d0bed27b14dd6f5744ab6dd50165162)
![{\displaystyle \operatorname {arccot} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,\mathrm {d} z,\quad z>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8453509e3dd0422b985c08bd4d7fee9e7470df8)
![{\displaystyle \operatorname {arcsec} \left(x\right)=\int _{x}^{1}{\frac {1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a881f7e2957ded79d7f86e56abeeb4eb84262cb)
![{\displaystyle \operatorname {arccsc} \left(x\right)=\int _{x}^{\infty }{\frac {-1}{|z|{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,\mathrm {d} z,\quad x>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a215a4c582a0871aeea8f7470162dd0300295841)
Công thức trên cho phép mở rộng hàm lượng giác nghịch đảo ra cho các biến phức:
![{\displaystyle \arcsin(z)=-i\log \left(i\left(z+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005e1f6e1f2d0d1be62bb9dff3b9ace578176ecc)
![{\displaystyle \arccos(z)=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296ba5459c3ce73b1274265cd74965c10f307e2c)
![{\displaystyle \arctan(z)={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c8108bf087ab975301ed67e92e656fa98d786e)
- Xem thêm Danh sách tích phân với hàm lượng giác, Danh sách tích phân với hàm lượng giác ngược
![{\displaystyle \sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e863739245ff9022e0766723a53d52f05fc06017)
![{\displaystyle \sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e881a8119150497d49cff66cd28e3bf03aa592d6)
![{\displaystyle \cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6c1f8820258d3db350d332f76ccd8b12a3900c)
![{\displaystyle \cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef8ff180ff764621c697ccbce00d1f9042abf8b)
![{\displaystyle \sin x+\sin y=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e61dc2e968f668490946873abead195285aadc)
![{\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e158e73ca5e37db4eb86667c8c7edb37c2e0f21)
![{\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19591ce2ca5a648bfea8756400af76bae26b238f)
![{\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sin \left({\frac {x-y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586f8ea2974b9d94d02531340db674fd38898674)
![{\displaystyle \tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed18ebf0c0152aea976cfbc8c82786eb14038de9)
![{\displaystyle \tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918d27139ca23ee2095ffae2fd977c92a07cec61)
![{\displaystyle \cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ddaa42d7cea79ee4b850007750a10ec97ce0fa7)
![{\displaystyle \cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4fd752024fcc21715afdd07c3323d3d755eb7ca)