Sách kỹ sư/Sách công thức toán giải tích

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\Delta x=x-x_{o}$

Thay đổi biến số y

$\Delta y=y-y_{o}$ 
$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$   

Tỉ lệ thay đổi biến số

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$
${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}$

Đạo hàm

${\frac {d}{dt}}f(t)=f^{'}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}\sum {\frac {\Delta f(t)}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}\sum {\frac {f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}}$

Tích phân

Tích phân bất định

$\int f(t)dt=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(t)+{\frac {\Delta f(t)}{2}})\Delta t=F(t)+C$

Tích phân xác định

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a)$

Hoán chuyển tích phân

$f(x)$	$F(s)$	$F(j\omega )$
$f(x)$	$\int f(x)e^{-sx}(x)$	$\int f(x)e^{-j\omega x}(x)$
${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$	$s^{n}$	$j\omega ^{n}$
${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)$	$s^{n}f(x)$	$j\omega ^{n}f(x)$

Phương trình và Hàm số sóng sin

Phương trình đạo hàm bạc n

$af^{n}(t)+bf(t)=0$

$s^{n}f(t)+{\frac {b}{a}}f(t)=0$

$s^{n}=-{\frac {b}{a}}$

$s={\sqrt[{n}]{-{\frac {b}{a}}}}=\pm j{\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$

$f(t)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$

n ≥ 2

Phương trình đạo hàm bạc 2

$af^{''}(t)+bf^{'}(t)+cf(t)=0$

$f^{''}(t)+{\frac {b}{a}}f^{'}(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

$s^{2}f(t)+{\frac {b}{a}}sf(t)+{\frac {c}{a}}f(t)=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

$s=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )t}=A(\alpha )sin\omega t$

$\alpha ={\frac {b}{2a}}$

$\beta ={\frac {c}{a}}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

Ứng dụng

Lực

Lực

$F=ma=m{\frac {d}{dt}}v(t)=={\frac {d}{dt}}p(t)=m{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$

Chuyển động cong

Tính Chất Chuyển Động	Ký Hiệu	Công Thức	Đơn vị
Gia tốc	$a$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	m/s2
Vận tốc	$v$	$v(t)$	m/s
Đường dài |	$s$	$\int v(t)dt$	m
Lực	$F$	$m{\frac {d}{dt}}v(t)$	N
Năng lực	$W$	$F\int v(t)dt$	N m
Năng lượng	$E$	${\frac {F}{t}}\int v(t)dt$	N m/s

Chuyển động có vận tỐc chuyển động v(t)

Chuyển Động		v	a	s
Cong		$v(t)$	${\frac {d}{dt}}v(t)$	$\int v(t)dt$
Thẳng nghiêng		$at+v$	$a$	${\frac {1}{2}}at^{2}+vt+C$
Thẳng nghiêng		$at$	$a$	${\frac {at^{2}}{2}}+$
Thẳng ngang		$v$	$0$	$vt$
Thẳng dọc		$t$	$1$	${\frac {t^{2}}{2}}$

Chuyển động có đường dài chuyển động s(t)

Chuyển Động		s	v	a
Cong		$s(t)$	${\frac {d}{dt}}s(t)$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}s(t)$
Vector đường thẳng ngang		${\vec {X}}$ $X{\vec {i}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {X}}$ ${\frac {dX}{dt}}{\vec {i}}$ $v_{x}{\vec {i}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {X}}$ ${\frac {d^{2}X}{dt^{2}}}{\vec {i}}$ $a_{x}{\vec {i}}$
Vector đường thẳng dọc		${\vec {Y}}$ $Y{\vec {j}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Y}}$ ${\frac {dY}{dt}}{\vec {j}}$ $v_{y}{\vec {j}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Y}}$ ${\frac {d^{2}Y}{dt^{2}}}{\vec {j}}$ $a_{y}{\vec {j}}$
Vector đường thẳng nghiêng		${\vec {Z}}$ $Z{\vec {k}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {Z}}$ ${\frac {dZ}{dt}}{\vec {k}}$ $v_{z}{\vec {k}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {Z}}$ ${\frac {d^{2}Z}{dt^{2}}}{\vec {k}}$ $a_{z}{\vec {k}}$
Vector đường tròn		${\vec {R}}$ $R{\vec {r}}$	${\frac {d}{dt}}{\vec {R}}$ ${\frac {d}{dt}}R{\vec {r}}$ $R{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d}{dt}}R$ $R{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}$	${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {R}}$ ${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R{\vec {r}}$ $R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}+{\vec {r}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}R$ $R{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\vec {r}}$

Dao động sóng sin

Dao động lò xo lên xuống

$g={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y(t)=-{\frac {k}{m}}y(t)$

$y(t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Dao động lò xo qua lại

$a={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x(t)=-{\frac {k}{m}}x(t)$

$x(t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Dao động đong đưa con lắc

$g={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\theta (t)=-{\frac {\theta }{m}}y(t)$

$\theta (t)=Asin\omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {l}{m}}}$

Điện

Điện AC

$i(t)={\frac {d}{dt}}Q(t)$

$Q(t)=\int i(t)dt$

$v(t)={\frac {d}{d}}{\frac {W(t)}{Q(t)}}$

$W(t)=\int v(t)Q(t)dt=\int v(t)i(t)dt$

$U(t)={\frac {d}{dt}}W(t)={\frac {d}{dt}}\int v(t)i(t)dt$

Điện trở

$v(t)=i(t)x$

$i(t)={\frac {v(t)}{x}}$

$X={\frac {v(t)}{i(t)}}=0$

$Z=R+X=R\angle 0=R=R$

Cuộn từ

$v(t)=L{\frac {d}{dt}}i(t)$

$i(t)={\frac {1}{L}}\int v(t)dt$

$X={\frac {v(t)}{i(t)}}=\omega L\angle 90=j\omega L=sL$

$Z=R+X=R\angle 0+\omega L\angle 90=R+j\omega L=R+sL$

Tụ điện

$v(t)={\frac {1}{C}}\int i(t)dt$

$i(t)=C{\frac {d}{dt}}v(t)$

$X={\frac {v(t)}{i(t)}}={\frac {1}{\omega C}}\angle -90={\frac {1}{j\omega C}}={\frac {1}{sC}}$

$Z=R+X=R\angle 0+{\frac {1}{\omega C}}\angle -90=R+{\frac {1}{j\omega C}}=R+{\frac {1}{sC}}$

Mạch điện RLC nôi tiếp

Mạch điện RLC nôi tiếp với R≠0

Ỏ trạng thái cân bằng

$V_{L}+V_{C}+V_{R}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int idt+iR=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}i+{\frac {R}{L}}{\frac {d}{dt}}i+{\frac {1}{LC}}i=0$

$s^{2}i+{\frac {R}{L}}si+{\frac {1}{LC}}i=0$

$s^{2}+2\alpha s+\beta =0$

$s$	$\alpha ,\beta$	$f(t)=Ae^{st}$
$\alpha$	$\alpha =\beta$	$i=Ae^{-\alpha t}=A(\alpha )$
$\alpha \pm \lambda$	$\alpha >\beta$	$i=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )e^{\lambda t}+A(\alpha )e^{-\lambda t}$
$\alpha \pm j\omega$	$\alpha >\beta$	$i=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )t}=A(\alpha )sin\omega t$

$A(\alpha )=Ae^{-\alpha t}$

$\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$

$\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$

$\beta ={\frac {1}{LC}}$

$\alpha ={\frac {R}{2L}}$

Ở trạng thái đồng bộ

$Z_{t}=Z_{L}+Z_{C}+Z_{R}=R$

$Z_{C}+Z_{L}=0$

$\omega L=-{\frac {1}{\omega C}}$

$\omega _{o}={\sqrt {-{\frac {1}{LC}}}}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{LC}}}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

$i(\omega =0)=0$

$i(\omega =\omega _{o})={\frac {v}{R}}$

$i(\omega =00)=0$

Mạch điện LC nối tiếp với R=0

Với R=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện LC nối tiếp

Ở trạng thái cân bằng

$V_{L}+V_{C}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int idt=0$

${\frac {d^{2}}{dt^{2}}}i+{\frac {1}{LC}}i=0$

$s^{2}i+{\frac {1}{T}}i=0$

$s^{2}=-{\frac {1}{T}}$

$s={\sqrt {-{\frac {1}{T}}}}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}=\pm j\omega$

$i=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=A\sin \omega t$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

• Ở trạng thái đồng bộ

$Z_{C}=-Z_{L}$ .

$\omega _{o}=\pm j{\sqrt {\frac {1}{T}}}$

$T=LC$

$V_{C}=-V_{L}$

$v(\theta )=A\sin(\omega _{o}t+2\pi )-A\sin(\omega _{o}t-2\pi )$

Mạch điện RC nối tiếp với L=0

Với L=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện RC nối tiếp

$v_{C}+v_{R}=0$

$C{\frac {dv}{dt}}+{\frac {v}{R}}=0$

${\frac {dv}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v=0$

$sv+{\frac {1}{T}}v=0$

$s=-{\frac {1}{T}}=-\alpha$

$T=RC$

$v=Ae^{st}=Ae^{-\alpha t}$

Mạch điện RL nối tiếp với C=0

Với C=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện RL nối tiếp

$v_{L}+v_{R}=0$

$L{\frac {di}{dt}}+iR=0$

${\frac {di}{dt}}+{\frac {R}{L}}i=0$

$si+{\frac {1}{T}}i=0$

$s=-{\frac {1}{T}}=-\alpha$

$T={\frac {L}{R}}$

$i=Ae^{st}=Ae^{-\alpha t}$

Mạch điện của cuộn từ L với C, R=0

Với R=0 mạch điện RLC nối tiếp trở thành mạch điện của cuộn từ L

Ở trạng thái cân bằng

$\nabla ^{2}E=-\beta E$

$\nabla ^{2}B=-\beta B$

$E=A\sin \omega t$

$B=A\sin \omega t$

$\omega ={\sqrt {\beta }}={\sqrt {\frac {1}{T}}}={\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=C$

$T=\mu \epsilon$

Ở trạng thái đồng bộ

$\nabla ^{2}E=-\beta _{o}E$

$\nabla ^{2}B=-\beta _{o}B$

$E=A\sin \omega _{o}t$

$B=A\sin \omega _{o}t$

$\omega ={\sqrt {\beta _{o}}}={\sqrt {\frac {1}{T_{o}}}}={\sqrt {\frac {1}{\mu _{o}\epsilon _{o}}}}=C$

$T_{o}=\mu _{o}\epsilon _{o}$

Điện từ

Điện từ

Định luật Gauss	Từ thông	$\Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}$ $\Phi _{B}=\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }$
Định luật Ampere	Từ cảm	$B=Li={\frac {\mu }{A}}i$
Định luật Lentz	Từ cảm ứng	$-\phi =-NB=-NLi$
Định luật Faraday	Điện từ cảm ứng	$-\epsilon =-\int Edl=-{\frac {d\phi _{B}}{dt}}=-NL{\frac {di}{dt}}$
Định luật Maxwell-Ampere	Dòng điện	$i=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\iint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$ $\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\mathrm {enc} }+{\frac {d\mathbf {\Phi _{E}} }{dt}}$

Trường điện từ

H ≠ 0

$\nabla \cdot E=0$
$\nabla \times E=-{\frac {1}{T}}E$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=-{\frac {1}{T}}B$
$T=\mu \epsilon$

$\nabla \cdot E=\rho$
$\nabla \times E=-\nabla B$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=J+\nabla B$

H = 0

$\nabla \cdot E=0$
$\nabla \times E=-{\frac {1}{T_{o}}}E$
$\nabla \cdot B=0$
$\nabla \times B=-{\frac {1}{T_{o}}}B$
$T_{o}=\mu _{o}\epsilon _{o}$

Điện nhiệt

Điện trở

Năng lượng nhiệt trong vật

$W_{i}=i^{2}R(T)$

$R(T)=R_{o}+nT$

$R(T)=R_{o}e^{nT}$

Năng lượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh

$W_{e}=pv=mC\Delta T$

Cuộn từ , H = 0

Năng lượng nhiệt trong vật

$W_{e}=W_{H}+W_{B}=i^{2}R(T)+{\frac {1}{2}}Li^{2}$

Năng lượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh

$W_{e}=pv=p\omega _{o}=p{\sqrt {\frac {1}{\mu _{o}\epsilon _{o}}}}=pC=p\lambda _{o}f_{o}=hf_{o}$

Cuộn từ , H ≠ 0

Năng lượng nhiệt trong vật

$W_{e}=\int Lidt={\frac {1}{2}}Li^{2}$

Năng lượng nhiệt tỏa vào môi trường xung quanh

$W_{e}=pv=p\omega =p{\sqrt {\frac {1}{\mu \epsilon }}}=pC=p\lambda f=hf$