Bước tới nội dung

Sách kỹ sư/Sách công thức toán đại số

Tủ sách mở Wikibooks

Số đại số

[sửa]

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số loại số Ký hiệu Thí dụ
Số tự nhiên
  Số chẳn
  Số lẻ
  Số nguyên tố
  Phân số
    Số thập phân
    Số hửu tỉ
    Số vô tỉ
  Số nguyên
  Số phức
    Số thực
    Số ảo

Phép toán đại số

[sửa]
Toán Ký Hiệu Công Thức Định Nghỉa
Toán cộng Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân Toán Nhân hai số đại số
Toán chia Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn nếu có Toán lủy thừa nghịch
Toán log Nếu có Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Mọi số đếm đều là số tự nhiên có ký hiệu . Thí dụ

Mọi số chẳn đều chia hết cho 2 không có số dư và có

Ký hiệu

.

Thí dụ

Mọi số lẻ không chia hết cho 2 và có số dư bằng 1 và có

Ký hiệu

.

Thí dụ

Mọi số nguyên tố đều chia hết cho 1 và cho chính nó và có

Ký hiệu

.

Thí dụ

Ký hiệu

[sửa]

Thí dụ

[sửa]

Lối dùng phân số

[sửa]
Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng
[sửa]

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là
1 phần 3 cái bánh được viết là
1 phần n cái bánh được viết là

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

  • 2 đại lượng bằng nhau
khi
  • 2 đại lượng khác nhau
khi
khi
Biểu diển phép tóan chia
[sửa]
  • Khi chia hết, được một thương só và không có số dư
. Sao cho . r = 0
  • Khi không chia hết , được một thương só và có số dư
. Sao cho . r≠0
  • Số thập phân, số có dạng 0.abcd
  • Số hửu tỉ , số thập phân lặp lại
  • Số vô tỉ , số thập phân không lặp lại

Loại phân số

[sửa]
Hỗn số
[sửa]

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1 .

Thí dụ

.

Chuyển đổi Hỗn số sang phân số được thực hiện như sau

Phân số tối giản
[sửa]

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .

Thí dụ, phân số tối giản

của các phân số sau ,

Phép toán phân số

[sửa]

Phép toán chia hết

Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r
a chia hết cho b khi . Vậy
a không chia hết cho b khi . Vậy

So sánh phân số

Với hai phân số
Hai phân số bằng nhau khi


Hay



Hai phân số không bằng nhau khi


Toán cộng , trừ, nhân, chia




Mọi số tự nhiên có giá trị bằng không được gọi là số nguyên không, lớn hơn không được gọi là số nguyên dương , nhỏ hơn không được gọi là số nguyên âm

Ký hiệu

[sửa]
Số nguyên Số nguyên dương Số nguyên không Số nguyên âm
I +I>0 I=0 -I <0

Thí dụ

[sửa]

Phép toán số nguyên

[sửa]

Số 0

[sửa]
Toán cộng
Toán trừ
Toán nhân
toán chia

Số nguyên dương

[sửa]
Toán cộng

Toán trừ



Toán nhân




Toán chia




Toán lũy thừa





Toán căn







=


Toán Log





for any

Số nguyên âm

[sửa]

Toán cộng



Toán cộng



Toán nhân




Toán chia




Toán lũy thừa


Vói
Với

Toán căn



Số phức đại diện cho tổng hay hiệu của một số thực và một số ảo

Ký hiệu

[sửa]
. Số phức thuận
. Số phức nghịch

Ký hiệu tổng quát

Thí dụ

[sửa]

Biểu diển số phức

[sửa]
Số phức thuận
Số phức nghịch

Toán số phức

[sửa]
+
-
x
/
Định luật De Moive

Ký hiệu

[sửa]

Với

Thí dụ

[sửa]

Toán số ảo

[sửa]
Cộng trừ nhân chia 2 số ảo










Lủy thừa số ảo nguyên dương






Từ trên, ta có
với
với

Lủy thừa số ảo nguyên âm






Từ trên, ta có
với
với

Dải số

[sửa]

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên .
Dải số của các số tự nhiên chẳn .
Dải số của các số tự nhiên lẻ .

Tổng dải số

[sửa]

Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

Tổng dải số có ký hiệu

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

.


Tổng chuổi số cấp số cộng

[sửa]
Dạng tổng quát
[sửa]

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

Chứng minh
[sửa]


Thí dụ
[sửa]

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

Tổng số của dải số

Cách giải

Tổng chuổi số cấp số nhân

[sửa]
Dạng tổng quát
[sửa]

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

Chứng minh
[sửa]
với
Thí dụ
[sửa]

Tổng chuổi số Pascal

[sửa]
Dạng tổng quát
[sửa]
Công thức tổng quát
[sửa]

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

Với

Thí dụ
[sửa]

Hằng số trước biến số x

[sửa]

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây


                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

[sửa]

Dạng tổng quát

[sửa]


Tổng chuổi số Fourier

[sửa]

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau


Với

Giá trị hằng số a,b


Dạng tổng của lũy thừa

[sửa]

Với

Giá trị hằng số c

Chứng minh

[sửa]

Ứng dụng

[sửa]
Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

Tích dải số

[sửa]

Biểu thức đại số

[sửa]

Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng , các ngoặc đơn kép cùng với các phép toán đại số . Thí dụ

Với

Đơn thức đại số .
Dấu ngoặc đơn . ()
Toán đại số . +, /

Loại Biểu thức đại số

[sửa]

Đẳng thức đại số

[sửa]

Thí dụ

Bình phương tổng 2 số đại số

Bình phương hiệu 2 số đại số

Tổng 2 bình phương ||


Hiệu 2 bình phương

Tổng 2 lập phương

Hiệu 2 lập phương

Bất đẳng thức đại số

[sửa]

Thí dụ

Phép toán biểu thức đại số

[sửa]

Quy ước

[sửa]

Thứ tự thực thi phép toán biểu thức đại số như sau

1. Ngoặc {} [] ()
2. Lũy thừa
3. Nhân, Chia X /
4. Công, trừ + -

Thí dụ

[sửa]

Hàm số đại số

[sửa]

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

Mọi hàm số đều có một hay nhiều hơn một biến số

Mọi hàm số của một biến số
Hàm số 2 biến số
.
Hàm số 3 biến số


Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không
Hàm số bằng hằng số không đổi
Hàm số khác không

Loại hàm số

[sửa]
Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)
Hàm số chẳn (Even function)
Hàm số lẽ (Odd function)
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)
Hàm số trong hàm số (Composite function)
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)
Hàm số tương quan/]] (Recursive function)
Hàm số chia/]] (Rational function)

Công thức toán của hàm số

[sửa]
Dạng hàm số Công thức Thí dụ

Hàm số đường thẳng

Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ

Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a

Hàm số vòng tròn

Hàm số vòng tròn Z đơn vị

Hàm số vòng tròn 1 đơn vị





Hàm số lũy thừa Power function


Hàm số Lô ga rít


Hàm số lượng giác





Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa

[sửa]

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

Chứng minh

Khi x=0

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

Thế vào hàm số ở trên ta được

Thí dụ


Đồ thị hàm số

[sửa]

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ

Đồ Thị điểm XY

[sửa]
Đồ thị Hình Ý nghỉa
Đồ Thị điểm XY Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang, gọi là trục hoành hay trục x . Một dọc, gọi là trục tung hay trục y cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0)


Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ, Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8


Đồ Thị điểm Rθ

[sửa]
Đồ thị Hình Ý nghỉa

Đồ Thị điểm Rθ


Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ


Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ


Đồ thị hàm số

[sửa]

Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x -2 -1 0 1 2
y = x -2 -1 0 1 2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Đồ thị của các hàm số cơ bản

Dạng hàm số Công thức Đồ thị
Hàm số đường thẳng Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ

Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a
. với

Hàm số vòng tròn

Hàm số vòng tròn Z đơn vị


Hàm số vòng tròn 1 đơn vị






Hàm số lũy thừa Power function



Hàm số Lô ga rít



Hàm số lượng giác cos



Hàm số lượng giác sin



Hàm số lượng giác sec



Hàm số lượng giác csc



Hàm số lượng giác tan



Hàm số lượng giác cot





Line

[sửa]

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation where is the angle of elevation of the line; that is, , where is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line perpendicularly at the point has the equation

Otherwise stated is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius

Circle

[sửa]
A circle with equation r(φ) = 1

The general equation for a circle with a center at and radius a is

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation for a circle with a center at the pole and radius a.

When r0 = a or the origin lies on the circle, the equation becomes

In the general case, the equation can be solved for r, giving The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

Polar rose

[sửa]
A polar rose with equation r(φ) = 2 sin 4φ

A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation,

for any constant γ0 (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ0 can be regarded as a phase angle.

Archimedean spiral

[sửa]
One arm of an Archimedean spiral with equation r(φ) = φ / 2π for 0 < φ < 6πpi

The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for φ > 0 and one for φ < 0. The two arms are smoothly connected at the pole. If a = 0, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.

Ellipse, showing semi-latus rectum

Conic sections

[sửa]

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by: where e is the eccentricity and is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If e > 1, this equation defines a hyperbola; if e = 1, it defines a parabola; and if e < 1, it defines an ellipse. The special case e = 0 of the latter results in a circle of the radius .

Intersection of two polar curves

[sửa]

The graphs of two polar functions and have possible intersections of three types:

  1. In the origin, if the equations and have at least one solution each.
  2. All the points where are solutions to the equation where is an integer.
  3. All the points where are solutions to the equation where is an integer.

Tóan hàm số

[sửa]

Thay đổi biến số

[sửa]

Thay đổi biến số x

Thay đổi biến số y

Biến đổi hàm số

[sửa]

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

Tổng dải số

[sửa]

Giới hạn

[sửa]

Đạo hàm

[sửa]
Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến bv

Tích phân

[sửa]

Tích phân xác định

Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến b

Tích phân bất định

Phương trình đại số

[sửa]

Phương trình

[sửa]

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình

Thí dụ

[sửa]

Giải phương trình

[sửa]

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình


Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình

Giải phương trình đường thẳng

[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Nghiệm số phương trình

Giải phương trình đường tròn

[sửa]
Phương trình hình tròn hệ số thực
[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Phương trình hình tròn hệ số phức
[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Giải phương trình lũy thừa

[sửa]
Phương trình lũy thừa Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1
Giải phương trình lũy thừa bậc 2


:
.
.
.




v

Giải phương trình lũy thừa bậc n

Giải phương trình giải tích

[sửa]
Phương trình đạo hàm Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n




. Với ≥ 2

Phương trình đạo hàm bậc 2



. . =
. . <
. . >
. . .

Phương trình đạo hàm bậc 1