Sách kỹ sư/Sách công thức toán đại số

Tủ sách mở Wikibooks

Số đại số[sửa]

Toán đại số dùng chữ cái a-z, A-Z đại diện cho các con số số học từ 0 đến 9. Thí dụ như A = 3 , B = 2 . Các chữ cái đại diện cho các con số số học được gọi là Biến số. Các con số từ 0-9 được gọi là Hằng số hay số có giá trị không đổi

Phép toán đại số[sửa]

Các phép toán đại số thực thi trên các số đại số bao gồm

Toán cộng[sửa]

Phép toán đại số tìm tổng của 2 số đại số . Phép toán cộng có ký hiệu . Phép toán cộng 2 số đại số số cộng a và số bị cộng b cho tổng số c như ở dưới đây

Toán trừ[sửa]

Phép toán đại số tìm hiệu của 2 số đại số. Phép toán trừ có ký hiệu . Toán Trừ hai số đại số

Toán nhân[sửa]

Toán chia[sửa]

||Toán Chia hai số đại số

Toán lũy thừa[sửa]

Toán tìm tích n lần của chính số nhân

Toán căn[sửa]

nếu có || Toán lủy thừa nghịch

Toán log[sửa]

Nếu có || Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Loại số đại số[sửa]

Số tự nhiên[sửa]

Số tự nhiên đại diện cho các số đếm trong hệ số thập phân . Thí dụ như . Số tự nhiên có ký hiệu

Số chẳn[sửa]

Mọi số tự nhiên chia hết cho 2 đều là số chẳn . Thí dụ như . Số chẳn có ký hiệu

Số lẻ[sửa]

Mọi số tự nhiên không chia hết cho 2 đều là số lẻ . Thí dụ như . Số lẻ có ký hiệu

Số nguyên tố[sửa]

Mọi số tự nhiên chia hết cho 1 và cho chính nó . Thí dụ như . Số nguên tố có ký hiệu

Số nguyên[sửa]

Số nguyên là số đại số bao gồm ba loại số số nguyên âm , số nguyên dương và số không . Số không có giá trị bằng 0 . Số nguyên âm có giá trị nhỏ hơn 0 . Số nguyên dương có giá trị lớn hơn 0 . Thí dụ như -1,0,+1

ký hiệu[sửa]

Số nguyên có ký hiệu chung

Số nguyên âm có ký hiệu chung
Số nguyên dươngcó ký hiệu chung
Số không


Thí dụ[sửa]

số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên từ 0 đến 9

Số nguyên âm .
Số nguyên dương .
Số nguyên không .

Phân số[sửa]

Phân số là số đại số có dạng tổng quát

Số thập phân[sửa]

Số hửu tỉ[sửa]

Số vô tỉ[sửa]

Số Phức[sửa]

Số Phức là số có dạng tổng quát

Số thực[sửa]

Số ảo[sửa]

Phép toán số đại số[sửa]

Phép toán phân số[sửa]

Phép toán Số nguyên[sửa]

Số nguyên


Toán Số nguyên Công thức
Cộng trừ nhân chia số nguyên với số không




Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên âm




Cộng trừ nhân chia số nguyên dương với số nguyên dương




Lũy thừa số nguyên



. . Với

Căn số nguyên




Phép toán Toán Số phức[sửa]

Số phức được biểu diển như ở dưới đây

Số phức Thuận Nghịch
Biểu diển dưới dạng xy
Biểu diển dưới dạng Zθ
Biểu diển dưới dạng hàm số lượng giác
Biểu diển dưới lũy thừa của e

Toán số phức được thực thi như sau

Toán Số phức Toán cộng Toán trừ Toán nhân Toán chia

Định lý Demoive

Phép toán Lũy thừa[sửa]

Toán lủy thừa Công thức
Lủy thừa không
Lủy thừa 1
Lủy thừa của số không
Lủy thừa của số 1
Lủy thừa trừ
Lủy thừa phân số
Lủy thừa của số nguyên âm


Với .
. Với

Lủy thừa của số nguyên dương
Lủy thừa của lủy thừa
Lủy thừa của tích hai số
Lủy thừa của thương hai số
Lủy thừa của căn
Cộng trừ nhân chia 2 lủy thừa






Lủy thừa của tổng hai số






Lủy thừa của hiệu hai số






Hiệu 2 lũy thừa
Tổng 2 lũy thừa

Phép toán Toán căn[sửa]

khi có
Toán căn số Công thức
Căn và lủy thừa
Căn của số nguyên




Căn lủy thừa


Căn thương số



Căn tích số


=

Vô căn


Ra căn


Phép toán Toán log[sửa]

khi có
Toán Log Công thức
Viết tắc

Log 1
Log lũy thừa
Lũy thừa log
Log của tích số
Log của thương số
Log của lủy thừa
Đổi nền log

Dải số[sửa]

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên .
Dải số của các số tự nhiên chẳn .
Dải số của các số tự nhiên lẻ .

Tổng dải số[sửa]

Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

Tổng dải số có ký hiệu

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

.


Tổng chuổi số cấp số cộng[sửa]

Dạng tổng quát[sửa]

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

Chứng minh[sửa]


Thí dụ[sửa]

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

Tổng số của dải số

Cách giải

Tổng chuổi số cấp số nhân[sửa]

Dạng tổng quát[sửa]

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

Chứng minh[sửa]

với

Thí dụ[sửa]

Tổng chuổi số Pascal[sửa]

Dạng tổng quát[sửa]

Công thức tổng quát[sửa]

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

Với

Thí dụ[sửa]

Hằng số trước biến số x[sửa]

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây


                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor[sửa]

Dạng tổng quát[sửa]


Tổng chuổi số Fourier[sửa]

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau


Với

Giá trị hằng số a,b


Dạng tổng của lũy thừa[sửa]

Với

Giá trị hằng số c

Chứng minh[sửa]

Ứng dụng[sửa]

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

Tích dải số[sửa]

Biểu thức đại số[sửa]

Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng , các ngoặc đơn kép cùng với các phép toán đại số . Thí dụ

Với

Đơn thức đại số .
Dấu ngoặc đơn . ()
Toán đại số . +, /

Loại Biểu thức đại số[sửa]

Đẳng thức đại số[sửa]

Thí dụ

Bình phương tổng 2 số đại số

Bình phương hiệu 2 số đại số

Tổng 2 bình phương ||


Hiệu 2 bình phương

Tổng 2 lập phương

Hiệu 2 lập phương

Bất đẳng thức đại số[sửa]

Thí dụ

Phép toán biểu thức đại số[sửa]

Quy ước[sửa]

Thứ tự thực thi phép toán biểu thức đại số như sau

1. Ngoặc {} [] ()
2. Lũy thừa
3. Nhân, Chia X /
4. Công, trừ + -

Thí dụ[sửa]

Hàm số[sửa]

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

Mọi hàm số đều có một hay nhiều hơn một biến số

Mọi hàm số của một biến số
Hàm số 2 biến số
.
Hàm số 3 biến số


Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không
Hàm số bằng hằng số không đổi
Hàm số khác không

Loại hàm số[sửa]

Dạng hàm số Công thức Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)
Hàm số chẳn (Even function)
Hàm số lẽ (Odd function)
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)
Hàm số trong hàm số (Composite function)
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)
Hàm số tương quan/]] (Recursive function)
Hàm số chia/]] (Rational function)

Công thức toán của hàm số[sửa]

Dạng hàm số Công thức Thí dụ

Hàm số đường thẳng

Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ

Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a

Hàm số vòng tròn

Hàm số vòng tròn Z đơn vị

Hàm số vòng tròn 1 đơn vị





Hàm số lũy thừa Power function


Hàm số Lô ga rít


Hàm số lượng giác





Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa[sửa]

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

Chứng minh

Khi x=0

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

Thế vào hàm số ở trên ta được

Thí dụ


Đồ thị hàm số[sửa]

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ

Đồ Thị điểm XY[sửa]

Đồ thị Hình Ý nghỉa
Đồ Thị điểm XY Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang, gọi là trục hoành hay trục x . Một dọc, gọi là trục tung hay trục y cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0)


Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ, Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8


Đồ Thị điểm Rθ[sửa]

Đồ thị Hình Ý nghỉa

Đồ Thị điểm Rθ


Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ


Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ


Đồ thị hàm số[sửa]

Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x -2 -1 0 1 2
y = x -2 -1 0 1 2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Đồ thị của các hàm số cơ bản

Dạng hàm số Công thức Đồ thị
Hàm số đường thẳng Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ

Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a
. với

Hàm số vòng tròn

Hàm số vòng tròn Z đơn vị


Hàm số vòng tròn 1 đơn vị






Hàm số lũy thừa Power function



Hàm số Lô ga rít



Hàm số lượng giác cos



Hàm số lượng giác sin



Hàm số lượng giác sec



Hàm số lượng giác csc



Hàm số lượng giác tan



Hàm số lượng giác cot





Line[sửa]

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation

where is the angle of elevation of the line; that is, , where is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line perpendicularly at the point has the equation

Otherwise stated is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius

Circle[sửa]

A circle with equation Bản mẫu:Math

The general equation for a circle with a center at and radius a is

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation

for a circle with a center at the pole and radius a.

When Bản mẫu:Math or the origin lies on the circle, the equation becomes

In the general case, the equation can be solved for Bản mẫu:Math, giving

The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

Polar rose[sửa]

A polar rose with equation Bản mẫu:Math

A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation,

for any constant γ0 (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ0 can be regarded as a phase angle.

Archimedean spiral[sửa]

One arm of an Archimedean spiral with equation Bản mẫu:Math for Bản mẫu:Math

The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation

Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for Bản mẫu:Math and one for Bản mẫu:Math. The two arms are smoothly connected at the pole. If Bản mẫu:Math, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.

Ellipse, showing semi-latus rectum

Conic sections[sửa]

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by:

where e is the eccentricity and is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If e > 1, this equation defines a hyperbola; if Bản mẫu:Math, it defines a parabola; and if Bản mẫu:Math, it defines an ellipse. The special case Bản mẫu:Math of the latter results in a circle of the radius .

Intersection of two polar curves[sửa]

The graphs of two polar functions and have possible intersections of three types:

  1. In the origin, if the equations and have at least one solution each.
  2. All the points where are solutions to the equation where is an integer.
  3. All the points where are solutions to the equation where is an integer.


Tóan hàm số[sửa]

Thay đổi biến số[sửa]

Thay đổi biến số x

Thay đổi biến số y

Biến đổi hàm số[sửa]

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

Tổng dải số[sửa]

Giới hạn[sửa]

Đạo hàm[sửa]

Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến bv

Tích phân[sửa]

Tích phân xác định

Tích phân được định nghĩa như diện tích S dưới đường cong y=f(x) với x chạy từ a đến b

Tích phân bất định

Phương trình đại số[sửa]

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình

Thí dụ[sửa]

Giải phương trình đại số[sửa]

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình


Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình


Giải phương trình đường thẳng[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Nghiệm số phương trình

Giải phương trình đường tròn[sửa]

Phương trình hình tròn hệ số thực[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Phương trình hình tròn hệ số phức[sửa]

Dạng tổng quát

Giải phương trình

Giải phương trình lũy thừa[sửa]

Phương trình lũy thừa Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1
Giải phương trình lũy thừa bậc 2


:
.
.
.




v

Giải phương trình lũy thừa bậc n

Giải phương trình giải tích[sửa]

Phương trình đạo hàm Dạng tổng quát Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n




. Với ≥ 2

Phương trình đạo hàm bậc 2



. . =
. . <
. . >
. . .

Phương trình đạo hàm bậc 1




Giải phương trình ma trận[sửa]

Giải phương trình ma trận[sửa]

Lối giải hệ phương trình tuyến tính[sửa]

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát

Giải phương trình cho nghiệm số

.

Giải phương trình bằng ma trận[sửa]

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

Tìm định thức ma trận[sửa]

Định thức của A

det(A)=ad-bc.


Định thức của X

det(X)=ed-bf.


Định thức của Y

det(A)=af-cd.

Tìm nghiệm số[sửa]

.
.


Chứng minh[sửa]

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

Trừ 2 phương trình trên, ta được

Tìm giá trị nghiệm số y


Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

Trừ 2 phương trình trên, ta được

Tìm giá trị nghiệm số y


Vậy, hệ phương trình đường thẳng

Có nghiệm 2 nghiệm số

Thí dụ[sửa]

Thế vào

Ta có