Sách kỹ sư/Sách công thức toán đại số

Số đại số

Số đại số được phân loai thành các loại số dưới đây

Loai số loại số	Ký hiệu	Thí dụ
Số tự nhiên	$N$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Số chẳn	$2N$	$2,4,6,8$
Số lẻ	$2N+1$	$1,3,5,7,9$
Số nguyên tố	$P$	$1,3,5,7$
Phân số	$c={\frac {a}{b}}$	${\frac {1}{2}}$
Số thập phân	$a=0.abcd$	$0.abcd$
Số hửu tỉ	$a=0.aaaaaa$	$0.33333$
Số vô tỉ	$a=0.abcdef$	$0.1345$
Số nguyên	$I=+I,0,-I$	$-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Số phức	$Z=a\pm jb$	$Z=2\pm j3$
Số thực	$a$	$1,2,3,4,5,6,7,8,9$
Số ảo	$j={\sqrt {-1}}$	$j5$

Phép toán đại số

Toán	Ký Hiệu	Công Thức	Định Nghỉa
Toán cộng	$+$	$A+B$	Toán Cộng hai số đại số
Toán trừ	$-$	$A-B$	Toán Trừ hai số đại số
Toán nhân	$x$	$A\times B$	Toán Nhân hai số đại số
Toán chia	$/$	$A/B$	Toán Chia hai số đại số
Toán lũy thừa	$a^{n}$	$a^{n}=a\times a\times a...$	Toán tìm tích n lần của chính số nhân
Toán căn	${\sqrt {}}$	${\sqrt {a}}=b$ nếu có $b^{n}=a$	Toán lủy thừa nghịch
Toán log	$Log,Ln$	$Loga=b$ Nếu có $10^{b}=a$	Toán Toán lủy thừa nghịch của một lủy thừa

Số tự nhiên

Mọi số đếm đều là số tự nhiên có ký hiệu $N$ . Thí dụ $1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Số chẳn

Mọi số chẳn đều chia hết cho 2 không có số dư và có

Ký hiệu

$2N$ .

Thí dụ

$2,4,6,8$

Số lẻ

Mọi số lẻ không chia hết cho 2 và có số dư bằng 1 và có

Ký hiệu

$2N+1$ .

Thí dụ

$1,3,5,7,9$

Số nguyên tố

Mọi số nguyên tố đều chia hết cho 1 và cho chính nó và có

Ký hiệu

$P$ .

Thí dụ

$1,3,5,7$

Phân số

Ký hiệu

${\frac {a}{b}}$

Thí dụ

${\frac {1}{2}}$

Lối dùng phân số

Cho biết tỉ lệ của 2 đại lượng

Phân số đại diện cho một tỉ lệ của 2 đại lượng cho biết thành phần của một đại lượng so với một đại lượng khác

Thí dụ

1 phần 2 cái bánh được viết là ${\frac {1}{2}}$

1 phần 3 cái bánh được viết là ${\frac {1}{3}}$

1 phần n cái bánh được viết là ${\frac {1}{n}}$

Khi so sánh 2 đại lượng đại số

• 2 đại lượng bằng nhau

${\frac {a}{b}}=1$ khi $a=b$

• 2 đại lượng khác nhau

${\frac {a}{b}}>1$ khi $a>b$

${\frac {a}{b}}<1$ khi $a<b$

Biểu diển phép tóan chia

${\frac {a}{b}}=a/b$

• Khi chia hết, được một thương só và không có số dư

${\frac {a}{b}}=c$ . Sao cho $ac=b$ . r = 0

• Khi không chia hết , được một thương só và có số dư

${\frac {a}{b}}=c$. Sao cho $ac+r=b$ . r≠0

• Số thập phân, số có dạng 0.abcd

${\frac {1}{2}}=0.5$

${\frac {1}{4}}=0.25$

${\frac {1}{8}}=0.125$

• Số hửu tỉ , số thập phân lặp lại

${\frac {1}{3}}=0.333333...$

• Số vô tỉ , số thập phân không lặp lại

$\pi =3.1415...$

Loại phân số

Hỗn số

Hổn số là một phân số có giá trị lớn hơn 1 .

Thí dụ

$a{\frac {b}{c}}$ .

Chuyển đổi Hỗn số sang phân số được thực hiện như sau

$a{\frac {b}{c}}=a+{\frac {b}{c}}={\frac {ac+b}{c}}$

Phân số tối giản

Phân số tối giản là phân số nhỏ nhứt không thể đơn giản nhỏ hơn được .

Thí dụ, phân số tối giản

${\frac {1}{2}}$ của các phân số sau ${\frac {2}{4}}$ , ${\frac {5}{10}}$

Phép toán phân số

Phép toán chia hết	Khi chia a cho b cho thương số c và số dư r a chia hết cho b khi ${\frac {a}{b}}=c$ . Vậy $a=bc$ a không chia hết cho b khi ${\frac {a}{b}}=c$. Vậy $a=bc+r$
So sánh phân số	Với hai phân số ${\frac {a}{b}}$ và${\frac {c}{d}}$ Hai phân số bằng nhau khi $a=c$ $b=d$ Hay ${\frac {ad}{bd}}={\frac {bc}{bd}}$ $ad=bc$ Hai phân số không bằng nhau khi ${\frac {a}{b}}>{\frac {c}{d}}$ ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$
Toán cộng , trừ, nhân, chia	${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$

Số nguyên

Mọi số tự nhiên có giá trị bằng không được gọi là số nguyên không, lớn hơn không được gọi là số nguyên dương , nhỏ hơn không được gọi là số nguyên âm

Ký hiệu

Số nguyên	Số nguyên dương	Số nguyên không	Số nguyên âm
I	+I>0	I=0	-I <0

Thí dụ

$-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$

Phép toán số nguyên

Số 0

Toán cộng	$0+\pm a=\pm a$
Toán trừ	$0-\pm a=\mp a$
Toán nhân	$0\times \pm a=0$
toán chia	$0/\pm a=0$

Số nguyên dương

Toán cộng	$a+a=2a$ $a+0=a$
Toán trừ	$a-a=0$ $a-0=a$
Toán nhân	$a\times a=a^{2}$ $a\times 1=a$ $a\times 0=0$
Toán chia	$a/a=1$ $a/1=a$ $a/0=00$
Toán lũy thừa	$a^{0}=1$ $a^{n}=a\times a\times a...$ $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ $a^{\frac {1}{n}}=n{\sqrt {a}}$
Toán căn	$n{\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{n}}$ ${\sqrt {0}}=Error$ ${\sqrt {1}}=1$ ${\sqrt {-1}}=j$ ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{mn}]{a}}=a^{\frac {1}{mn}}$ ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$ ${\sqrt[{n}]{ab}}$ = ${\sqrt[{n}]{a}}$ ${\sqrt[{n}]{b}}$ $a{\sqrt {a}}={\sqrt {a^{2}\times a}}={\sqrt {a^{3}}}$ ${\sqrt {a^{n}}}=a{\sqrt {a^{n-2}}}$
Toán Log	$Log10^{n}=n$ $\log _{b}(ac)=\log _{b}(a)+\log _{b}(c)\$ $\log _{b}(a/c)=\log _{b}(a)-\log _{b}(c)\$ $\log _{b}(b^{a})=a\$ $\log _{b}(a)={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$ for any $d>0,d<>1$ $\log _{b}(y^{a})=a\log _{b}(y)\$

Số nguyên âm

Toán cộng	$-a+(-a)=-2a$ $-a+0=-a$
Toán cộng	$-a-(-a)=0$ $-a-0=-a$
Toán nhân	$-a\times (-a)=a^{2}$ $-a\times 1=-a$ $-a\times 0=0$
Toán chia	$-a/(-a)=1$ $-a/1=-a$ $-a/0=00$
Toán lũy thừa	$(-a)^{0}=1$ $(-a)^{n}=-a^{n}$ Vói $n=2m+1$ $(-a)^{n}=a^{n}$ Với $n=2m$
Toán căn	${\sqrt {-a}}=\pm j{\sqrt {a}}$

Số phức

Số phức đại diện cho tổng hay hiệu của một số thực và một số ảo

Ký hiệu

$Z=a+jb$ . Số phức thuận

$Z=a-jb$ . Số phức nghịch

Ký hiệu tổng quát

$Z=a\pm jb$

Thí dụ

$Z=2\pm j3$

Biểu diển số phức

Số phức thuận	$Z=(a+ib)$	$Z\angle \theta$	$Z=Z(\cos \theta +i\sin \theta )$	$Ze^{j\theta }$
Số phức nghịch	$Z=(a-ib)$	$Z\angle -\theta$	$Z=Z(\cos \theta -i\sin \theta )$	$Ze^{-j\theta }$

Toán số phức

+	$2a$	$Z(\angle \theta +\angle -\theta )$	$2Z\cos \theta$	$Z(e^{j\theta }+e^{-j\theta })$
-	$i2b$	$Z(\angle \theta -\angle -\theta )$	$i2Z\sin \theta$	$Z(e^{j\theta }-e^{-j\theta })$
x	$a^{2}-b^{2}$	$Z^{2}\angle 0$	$Z^{2}(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )$	$Z^{2}e$
/	${\frac {a^{2}-b^{2}}{a-ib}}$	$1\angle 2\theta$	${\frac {\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }{(\cos \theta -i\sin \theta )}}$	$e^{j2\theta }$
$()^{n}$	$(a+ib)^{n}$	Định luật De Moive $(Z\angle \theta )^{n}=Z^{n}\angle n\theta$		$[e^{j\theta }]^{n}=e^{jn\theta }$

Số ảo

Ký hiệu

$\pm jb$

Với

$j={\sqrt {-1}}$

Thí dụ

$\pm 5j$

Toán số ảo

Cộng trừ nhân chia 2 số ảo	$j+j=2j$ $j-j=0$ $j\times j=j^{2}=-1$ ${\frac {j}{j}}=1$ $j+(-j)=0$ $j-(-j)=2j$ $j\times -j=-j^{2}=1$ ${\frac {j}{-j}}=-1$
Lủy thừa số ảo nguyên dương	$j^{0}=1$ $j^{1}=j$ $j^{2}=-1$ $j^{3}=-j$ Từ trên, ta có $j^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$ $j^{n}=\pm 1$ với $n=2m$
Lủy thừa số ảo nguyên âm	$(-j)^{0}=1$ $(-j)^{1}=-j$ $(-j)^{2}=-1$ $(-j)^{4}=j$ Từ trên, ta có $(-j)^{n}=\pm 1$ với $n=2m$ $(-j)^{n}=\pm j$ với $n=2m+1$

Số thực

$a$

Dải số

Dải Số là một chuổi số có định dạng . Thí dụ

Dải số của các số tự nhiên . $1,2,3,4,5,....,n$

Dải số của các số tự nhiên chẳn . $2,4,6,8,10,...,2n$

Dải số của các số tự nhiên lẻ .$1,3,5,7,...,2n+1$

Tổng dải số

Tổng số một phép toán giải tích tìm tổng của một dải số như sau

$s=1+2+3+...+n$

Tổng dải số có ký hiệu

$\sum$

Tổng của dải số từ 1 đến n có thể viết như sau

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}=1+2+\cdots +n=k(1+n)$.

Tổng chuổi số cấp số cộng

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số cộng có dạng tổng quát

$a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }[a+(n-1)d]=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]={\frac {n}{2}}(2a+(n-1)d)$

$S=a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]$

$S=[a+(n-1)d]+...+(n-1)d]+a$

$2S=[2a+(n-1)d]n$

$S=[2a+(n-1)d]{\frac {n}{2}}$

Thí dụ

Dải số cấp số cộng có dạng tổng quát

$1,2,3,...9$

Tổng số của dải số

$1+2+3+4+5+...9=50$

Cách giải

$S=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=10(5)=50$

Tổng chuổi số cấp số nhân

Dạng tổng quát

Tổng chuổi số cấp số nhân có dạng tổng quát

$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})$

Chứng minh

$\sum _{k=0}^{\infty }(ar^{k})=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\ldots +ar^{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...+ar^{n-1}$

$rS=ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+...+ar^{n}$

$S-rS=a-ar^{n}$

$S={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

$S={\frac {a}{1-r}}$ với $n<1$

Thí dụ

$1+1.1+1.1^{2}+1.1^{3}=4$

$1+1.2+1.2^{2}+1.2^{3}=1+2+4+8=15$

Tổng chuổi số Pascal

Dạng tổng quát

$(x+y)^{n}$

Công thức tổng quát

Công thức tổng quát lũy thừa n của một tổng

$(x+y)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{n \choose r}x^{r}y^{n-r}$

$(x+y)^{n}={n \choose 0}x^{0}y^{n}+{n \choose 1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+{n \choose {n-1}}x^{n-1}y^{1}+{n \choose n}x^{n}y^{0}$

$(x+y)^{n}=y^{n}+nxy^{n-1}+{n \choose 2}x^{2}y^{n-2}+\dots +{n \choose {n-2}}x^{n-2}y^{2}+nx^{n-1}y+x^{n}$

Với

${n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

Thí dụ

$(x+1)^{1}=$	$1x+1$
$(x+1)^{2}=$	$1x^{2}+2x+1$
$(x+1)^{3}=$	$1x^{3}+3x^{2}+3x+1$
$(x+1)^{4}=$	$1x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$
$(x+1)^{5}=$	$1x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+5x+1$

Hằng số trước biến số x

Từ trên , ta thấy hằng số trước biến số x tạo hình tam giác Pascal dưới đây

                                     1     1
                                  1     2     1
                               1     3     3     1
                            1     4     6     4     1
                         1     5     10    10    5     1
                      1     6     15    20    15    6     1
                   1     7     21    35    35    21    7     1
                1     8     28    56    70    56    28    8     1
             1     9     36    84    126   126   84    36    9     1
          1     10    45    120   210   252   210   120   45    10    1
       1      11    55    165   330   462   462   330   165   55   11     1

Tổng chuổi số Taylor

Dạng tổng quát

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

Tổng chuổi số Fourier

Tổng chuổi số Fourier có dạng tổng quát tổng của sine and cosine như sau

${\begin{aligned}s_{N}(x)&=\overbrace {a_{0}} ^{A_{0}}/2+\sum _{n=1}^{N}\left(\overbrace {a_{n}} ^{A_{n}\sin(\phi _{n})}\cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)+\overbrace {b_{n}} ^{A_{n}\cos(\phi _{n})}\sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\right),\\\end{aligned}}$

Với

${\begin{aligned}a_{0}&=A_{0}\\a_{n}&=A_{n}\sin(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\\b_{n}&=A_{n}\cos(\phi _{n})&{\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}$

Giá trị hằng số a,b

${\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n\geq 0\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}\right)\ dx&{\text{for }}n>0\end{aligned}}$

Dạng tổng của lũy thừa

${\begin{aligned}s_{N}(x)&=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi nx}{P}}},\end{aligned}}$

Với

$c_{n}\ \triangleq \ {\begin{cases}{\frac {A_{n}}{2i}}e^{i\phi _{n}}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})&{\text{for }}n>0\\{\frac {1}{2}}A_{0}={\frac {1}{2}}a_{0}&{\text{for }}n=0\\{\frac {-A_{-n}}{2i}}e^{-i\phi _{-n}}={\frac {1}{2}}(a_{-n}+ib_{-n})=c_{|n|}^{*}&{\text{for }}n<0.\end{cases}}$

Giá trị hằng số c

$c_{n}={\frac {1}{P}}\int _{x_{0}}^{x_{0}+P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi nx}{P}}}\ dx\quad {\text{for }}n\in \mathbb {N}$

Ứng dụng

Sóng vuông

Tổng chuổi số Fourier đại diện cho tổng chuổi số hàm số sóng sine

$s_{N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi nx}{P}}+\phi _{n}\right),\quad {\text{for integer}}\ N\ \geq \ 1.$

Biểu thức đại số

Biểu thức đại số tạo từ nhiều đơn thức đại số cùng , các ngoặc đơn kép cùng với các phép toán đại số . Thí dụ

$(2x+3y)+6x/2$

Với

Đơn thức đại số . $2x,3y,6x,2$

Dấu ngoặc đơn . ()

Toán đại số . +, /

Loại Biểu thức đại số

Đẳng thức đại số

Thí dụ

$(2x+3y)=6x/2$

Bình phương tổng 2 số đại số

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ab+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Bình phương hiệu 2 số đại số

$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-ab-ab+b^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Tổng 2 bình phương ||

$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$
$a^{2}+b^{2}=(a-b)^{2}+2ab$

Hiệu 2 bình phương

$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

Tổng 2 lập phương

$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Hiệu 2 lập phương

$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

Bất đẳng thức đại số

Thí dụ

$(2x+3y)>6x/2$

$(2x+3y)<6x/2$

Phép toán biểu thức đại số

Quy ước

Thứ tự thực thi phép toán biểu thức đại số như sau

1. Ngoặc	{}	[]	()
2. Lũy thừa	$a^{n}$
3. Nhân, Chia	X	/
4. Công, trừ	+	-

Thí dụ

$A=2x+5y-3$

$B=52y-5$

$A+B=(2x+5y-3)+(52y-5)=2x+(5y+52y)+(-3-5)=2x+57y-8$

$A-B=(2x+5y-3)-(52y-5)=2x+(5y-52y)+[-3-(-5)]=2x-47y+2$

Hàm số

Hàm số là một biểu thức đại số được dùng trong việc biểu diển tương quan giửa 2 đại lương với nhau . Thí dụ như

$y=2x+5$

Mọi hàm số đều có một hay nhiều hơn một biến số

Mọi hàm số của một biến số	$f(x)$	$y=2x$
Hàm số 2 biến số	$f(x,y)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}$ $f(r,\theta )$ . $Z\angle \theta ={\sqrt {(}}x^{2}+y^{2})\angle tan^{-1}{\frac {y}{x}}$
Hàm số 3 biến số	$f(x,y,z)$	$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

Mọi hàm số đều có một giá trị

Hàm số bằng không	$f(x)=0$
Hàm số bằng hằng số không đổi	$f(x)=C$
Hàm số khác không	$f(x)=y(x)$

Loại hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số tuần hoàn (Periodic function)	$f(x)=f(x+T)$	$sinx=sin(x+k2\pi )$
Hàm số chẳn (Even function)	$f(x)=f(-x)$	$y(x)=|x|$
Hàm số lẽ (Odd function)	$f(x)=-f(x)$	$y(x)=-y(x)$
Hàm số nghịch đảo (Inverse function)	$f^{-1}(x)={\frac {1}{f(x)}}$	$sin^{-1}{x}={\frac {1}{sinx}}$
Hàm số trong hàm số (Composite function)	$f(x)=f(g(x))$
Hàm số nhiều biến số (Parametric function)	$z=f(x,y)$
Hàm số tương quan/]] (Recursive function)
Hàm số chia/]] (Rational function)	$Q(x)={\frac {N(x)}{M(x)}}-R(x)$

Công thức toán của hàm số

Dạng hàm số	Công thức	Thí dụ
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_{o}+Z(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị $Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	$({\frac {Z}{Z}})^{2}=({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}$ $1=cos^{2}+sin^{2}$ $1=sec^{2}+tan^{2}$ $1=csc^{2}+cot^{2}$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=ax^{n}$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số lượng giác	$cos\theta ={\frac {X}{Z}}$ $sec\theta ={\frac {1}{X}}$ $csc\theta ={\frac {1}{Y}}$ $tan\theta ={\frac {Y}{X}}$ $cot\theta ={\frac {X}{Y}}$

Biểu diển Hàm số bằng tổng dải số lũy thừa

Maclaurin cho rằng mọi hàm số đều có thể biểu diển bằng tổng của dải số lũy thừa như sau

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}+...=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}+...$

Chứng minh

Khi x=0

$f(0)=a_{0}$

Khi lấy đạo hàm bậc nhứt của f(x) với giá trị x=0

$f^{'}(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}+4a_{4}x^{3}$

$f^{'}(0)=a_{1}$

Khi lấy đạo hàm bậc hai của f(x) với giá trị x=0

$f^{''}(x)=2a_{2}+(3)(2)a_{3}x+(4)(3)a_{4}x^{2}+(5)(4)a_{5}x^{3}$

$f^{''}(0)=2a_{2}$

$a_{2}={\frac {f^{''}(0)}{2}}$

Khi lấy đạo hàm bậc ba của f(x) với giá trị x=0

$f^{'''}(x)=(3)(2)a_{3}x+(4)(3)(2)a_{4}x+(5)(4)(3)a_{5}x^{2}$

$f^{'''}(0)=(3)(2)a_{3}$

$a_{3}={\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thế $a_{0},a-1,a-2$ vào hàm số ở trên $f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{3}+a_{4}x^{4}$ ta được

$f(x)=f(0)+f^{'}x(0)+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}$

Thí dụ

• $f(x)=\sin(x)$

$f(x)=\sin(x)$	$f(0)=\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\sin(x)$	$f^{''}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\sin(x)=0+x(1)+{\frac {x^{2}}{2!}}(0)+{\frac {x^{3}}{3!}}(-1)+{\frac {x^{5}}{5!}}(1)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}$

• $f(x)=\cos(x)$

$f(x)=\cos(x)$	$f(0)=\cos(0)=1$
$f^{'}(x)=-\sin(x)$	$f^{'}(0)=-\sin(0)=0$
$f^{''}(x)=-\cos(x)$	$f^{'''}(0)=-\cos(0)=-1$
$f^{''''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$
$f^{'''}(x)=\sin(x)$	$f^{'''}(0)=\sin(0)=0$

$\cos(x)=1+x(0)+{\frac {x^{2}}{2!}}(-1)+{\frac {x^{3}}{3!}}(0)+{\frac {x^{4}}{4!}}(1)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}$

Đồ thị hàm số

Đồ Thị là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên một mặt phẳng . Có hai loại đồ thị Đồ Thị điểm XY và Đồ Thị điểm Rθ

Đồ Thị điểm XY

Đồ thị	Hình	Ý nghỉa
Đồ Thị điểm XY		Đồ Thị XY là một Đồ Thị tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với nhau . Một ngang, gọi là trục hoành hay trục x . Một dọc, gọi là trục tung hay trục y cắt nhau tại một điểm, gọi là điểm gốc có tọa độ (0,0) Một điểm, A , trên Đồ Thị XY sẽ có một tọa độ A(X,Y) với chiều dài X và độ cao Y . Thí dụ, Tọa độ của một điểm A(4,8) có x = 4 và y = 8 $X=Rcos\theta$ $Y=Rsin\theta$

Đồ Thị điểm Rθ

Đồ thị	Hình	Ý nghỉa
Đồ Thị điểm Rθ		Đồ Thị Vòng Tròn là một cách hiển thị Tọa độ của một điểm trên vòng tròn có Bán kín R ở Góc độ θ Khi một đường thẳng có độ dài R cắt đường chân trời (đường thẳng ngang) tại một điểm và tạo thành một góc θ. Trên mặt phẳng Rθ, đường bán kín R cắt đường chân trời tại một điểm gốc (R,0) . Trên mặt phẳng Rθ, Một điểm chuyển động theo vòng tròn sẻ có một tọa độ A(R,θ) và được biểu hiện như sau A = R/_θ $R^{2}=X^{2}+Y^{2}$ $Tan\theta ={\frac {Y}{X}}$

Đồ thị hàm số

Tương quan giửa 2 đại lượng x, y biểu thị bằng hàm sô

$y=x$

Lập bảng tương quan giửa hai giá trị x và y

x	-2	-1	0	1	2
y = x	-2	-1	0	1	2

Đặt điểm (x,y) trên đồ thi x-y ta có Đồ thị hàm số đường thẳng đi qua điểm gốc (0,0) có độ nghiêng bằng 1

Đồ thị của các hàm số cơ bản

Dạng hàm số	Công thức	Đồ thị
Hàm số đường thẳng	Hàm số đường thẳng qua 2 điểm bất kỳ $y=y_{o}+a(x-x_{o})$ Hàm số đường thẳng cắt trục tung ở điển b có độ dóc a $y=ax+b$ . với $x_{o}=0,y_{o}=b$
Hàm số vòng tròn	Hàm số vòng tròn Z đơn vị $Z^{2}=X^{2}+Y^{2}$
Hàm số vòng tròn 1 đơn vị	${\frac {Z}{Z}}^{2}={\frac {X}{Z}}^{2}+{\frac {Y}{Z}}^{2}$ $1=cos^{2}+sin^{2}$ $1=sec^{2}+tan^{2}$ $1=csc^{2}+cot^{2}$
Hàm số lũy thừa Power function	$y=ax^{n}$
Hàm số Lô ga rít	$y(x)=Logx$
Hàm số lượng giác cos	$cos\theta ={\frac {X}{Z}}$
Hàm số lượng giác sin	$cos\theta ={\frac {Y}{Z}}$
Hàm số lượng giác sec	$cos\theta ={\frac {1}{X}}$
Hàm số lượng giác csc	$cos\theta ={\frac {1}{Y}}$
Hàm số lượng giác tan	$cos\theta ={\frac {Y}{X}}$
Hàm số lượng giác cot	$cos\theta ={\frac {X}{Y}}$

Line

Radial lines (those running through the pole) are represented by the equation

$$\varphi =\gamma ,$$

where $\gamma$ is the angle of elevation of the line; that is, $\varphi =\arctan m$, where $m$ is the slope of the line in the Cartesian coordinate system. The non-radial line that crosses the radial line $\varphi =\gamma$ perpendicularly at the point $(r_{0},\gamma )$ has the equation

$$r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\gamma ).$$

Otherwise stated $(r_{0},\gamma )$ is the point in which the tangent intersects the imaginary circle of radius $r_{0}$

Circle

A circle with equation Bản mẫu:Math

The general equation for a circle with a center at $(r_{0},\gamma )$ and radius a is

$$r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\gamma )+r_{0}^{2}=a^{2}.$$

This can be simplified in various ways, to conform to more specific cases, such as the equation

$$r(\varphi )=a$$

for a circle with a center at the pole and radius a.

When Bản mẫu:Math or the origin lies on the circle, the equation becomes

$$r=2a\cos(\varphi -\gamma ).$$

In the general case, the equation can be solved for Bản mẫu:Math, giving

$$r=r_{0}\cos(\varphi -\gamma )+{\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\varphi -\gamma )}}$$

The solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

Polar rose

A polar rose with equation Bản mẫu:Math

A polar rose is a mathematical curve that looks like a petaled flower, and that can be expressed as a simple polar equation,

$$r(\varphi )=a\cos \left(k\varphi +\gamma _{0}\right)$$

for any constant γ₀ (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k is rational, but not an integer, a rose-like shape may form but with overlapping petals. Note that these equations never define a rose with 2, 6, 10, 14, etc. petals. The variable a directly represents the length or amplitude of the petals of the rose, while k relates to their spatial frequency. The constant γ₀ can be regarded as a phase angle.

Archimedean spiral

One arm of an Archimedean spiral with equation Bản mẫu:Math for Bản mẫu:Math

The Archimedean spiral is a spiral discovered by Archimedes which can also be expressed as a simple polar equation. It is represented by the equation

$$r(\varphi )=a+b\varphi .$$

Changing the parameter a will turn the spiral, while b controls the distance between the arms, which for a given spiral is always constant. The Archimedean spiral has two arms, one for Bản mẫu:Math and one for Bản mẫu:Math. The two arms are smoothly connected at the pole. If Bản mẫu:Math, taking the mirror image of one arm across the 90°/270° line will yield the other arm. This curve is notable as one of the first curves, after the conic sections, to be described in a mathematical treatise, and as a prime example of a curve best defined by a polar equation.

Ellipse, showing semi-latus rectum

Conic sections

A conic section with one focus on the pole and the other somewhere on the 0° ray (so that the conic's major axis lies along the polar axis) is given by:

$$r={\ell \over {1-e\cos \varphi }}$$

where e is the eccentricity and $\ell$ is the semi-latus rectum (the perpendicular distance at a focus from the major axis to the curve). If e > 1, this equation defines a hyperbola; if Bản mẫu:Math, it defines a parabola; and if Bản mẫu:Math, it defines an ellipse. The special case Bản mẫu:Math of the latter results in a circle of the radius $\ell$.

Intersection of two polar curves

The graphs of two polar functions $r=f(\theta )$ and $r=g(\theta )$ have possible intersections of three types:

1. In the origin, if the equations $f(\theta )=0$ and $g(\theta )=0$ have at least one solution each.
2. All the points $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ where $\theta _{i}$ are solutions to the equation $f(\theta +2k\pi )=g(\theta )$ where $k$ is an integer.
3. All the points $[g(\theta _{i}),\theta _{i}]$ where $\theta _{i}$ are solutions to the equation $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ where $k$ is an integer.

Tóan hàm số

Thay đổi biến số

Thay đổi biến số x

$\Delta x=(x+\Delta x)-x$

Thay đổi biến số y

$\Delta y=\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số tính bằng tỉ lệ thay đổi biến số y trên thay đổi biến số x

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{(x+\Delta x)-x}}$

Đạo hàm

v

${\frac {d}{dx}}f(x)=f^{'}(x)=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Tích phân

Tích phân xác định

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Tích phân bất định

$\int f(x)dx=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum (f(x)+{\frac {\Delta f(x)}{2}})\Delta x=F(x)+C$

Phương trình đại số

Phương trình là một đẳng thức của một hàm số toán của 1 hay nhiều hơn một biến số có giá trị bằng không

$f(x)=0$

Với

x - Nghiệm số , mọi giá trị của x thỏa mản phương trình $f(x)=0$

Thí dụ

$2x+5=0$

$2xy+5=z$

$x^{2}+4x-12=0$

Giải phương trình đại số

Giải phương trình là cách thức tìm giá trị của biến số sao cho hàm số của biến số có giá trị bằng không . Giá trị của biến số thỏa mản điều kiện f(x)=0 được gọi là nghiệm số của phương trình

Giải phương trình tìm nghiệm số x thỏa mản phương trình $2x+4=6$

$2x=6-4=2$

$x=2/2=1$

Giải phương trình đường thẳng

Dạng tổng quát

$ax+b=0$

Giải phương trình

$ax+b=0$

$x+{\frac {b}{a}}=0$

Nghiệm số phương trình

$x=-{\frac {b}{a}}$

Giải phương trình đường tròn

Phương trình hình tròn hệ số thực

Dạng tổng quát

$X^{2}+Y^{2}=0$

Giải phương trình

$X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY$

$Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX$

Phương trình hình tròn hệ số phức

Dạng tổng quát

$X+jY=0$

Giải phương trình

$X=-jY$

$jY=-X$

$Y=jX$

Giải phương trình lũy thừa

Phương trình lũy thừa	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình lũy thừa bậc 1	$ax+b=0$	$x+{\frac {b}{a}}=0$ $x=-{\frac {b}{a}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc 2	$ax^{2}+bx+c=0$	$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0$ :$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$ $x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$. $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$. $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$. $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $x={\frac {-b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}.$ $ax^{n}+b=0$ $ax^{n}=-b$ v$x^{n}=-{\frac {b}{a}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$ $x=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}$
Giải phương trình lũy thừa bậc n	$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{o}=0$

Giải phương trình giải tích

Phương trình đạo hàm	Dạng tổng quát	Giải phương trình
Phương trình đạo hàm bậc n	$a{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)+bf(x)=0$	$s^{n}f(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$ $s^{n}=-{\frac {b}{a}}$ $s=n{\sqrt {-{\frac {b}{a}}}}=\pm jn{\sqrt {\frac {b}{a}}}=\pm j\omega$ $f(x)=Ae^{st}=Ae^{\pm j\omega t}=Asin\omega t$ . Với $n$ ≥ 2
Phương trình đạo hàm bậc 2	$a{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)+b{\frac {d}{dx}}f(x)+cf(x)=0$	$s^{2}f(x)+{\frac {b}{a}}sf(x)+{\frac {c}{a}}f(x)=0$ $s^{2}+2\alpha s+\beta =0$ $s=-\alpha$ . $f(x)=Ae^{-\alpha x}=A(\alpha )$ . $\alpha$ = $\beta$ $s=-\alpha \pm \lambda$ . $f(x)=Ae^{(-\alpha \pm \lambda )x}=A(\alpha )e^{\lambda x}+A(\alpha )e^{-\lambda x}$ . $\alpha$ < $\beta$ $s=-\alpha \pm j\omega$ . $f(x)=Ae^{(-\alpha \pm j\omega )x}=A(\alpha )sin\omega$ . $\alpha$ > $\beta$ $\alpha ={\frac {b}{2a}}$ . $\beta ={\frac {c}{a}}$ . $\lambda ={\sqrt {\alpha -\beta }}$ . $\omega ={\sqrt {\beta -\alpha }}$
Phương trình đạo hàm bậc 1	$a{\frac {d}{dx}}f(x)+bf(x)=0$	$sf(x)+{\frac {b}{a}}f(x)=0$ $s=-{\frac {b}{a}}$ $f(x)=Ae^{sx}=Ae^{-{\frac {b}{a}}x}=Ae^{-\alpha x}$

Giải phương trình ma trận

Lối giải hệ phương trình tuyến tính

Hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn có dạng tổng quát

${\begin{cases}a.x+b.y=e,\\c.x+d.y=f,\end{cases}}$

Giải phương trình cho nghiệm số

$x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}$.

Giải phương trình bằng ma trận

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận:

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}.$$\mathbf {} {\begin{bmatrix}e\\f\\\end{bmatrix}}.$

Tìm định thức ma trận

Định thức của A

$A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$

det(A)=ad-bc.

Định thức của X

$A={\begin{bmatrix}e&b\\f&d\end{bmatrix}}$

det(X)=ed-bf.

Định thức của Y

$Y={\begin{bmatrix}a&e\\c&f\end{bmatrix}}$

det(A)=af-cd.

Tìm nghiệm số

$x={\frac {X}{A}}\;\;;y={\frac {Y}{A}}$.

$x={\frac {ed-bf}{ad-bc}}\;\;;y={\frac {af-ce}{ad-bc}}$.

Chứng minh

Chia phương trình 1 cho a và phương trình 2 cho d, ta được

$x+{\frac {b}{a}}y={\frac {c}{a}}$

$x+{\frac {e}{d}}y={\frac {f}{d}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})\times y=({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Chia phương trình 2 cho b và phương trình 2 cho e, ta được

${\frac {a}{b}}x+y={\frac {c}{b}}$

${\frac {d}{e}}x+y={\frac {f}{e}}$

Trừ 2 phương trình trên, ta được

$({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})\times x=({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})$

Tìm giá trị nghiệm số y

Vậy, hệ phương trình đường thẳng

$ax+by=c$

$dx+ey=f$

Có nghiệm 2 nghiệm số

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Thí dụ

$2x+3y=4$

$5x+6y=7$

Thế $a=2,b=3,c=4,d=5,e=6,f=7$ vào

$x={\frac {({\frac {c}{b}}-{\frac {f}{e}})}{({\frac {a}{b}}-{\frac {d}{e}})}}$

$y={\frac {({\frac {c}{a}}-{\frac {f}{d}})}{({\frac {b}{a}}-{\frac {e}{d}})}}$

Ta có

$x={\frac {({\frac {4}{3}}-{\frac {7}{6}})}{({\frac {2}{3}}-{\frac {5}{6}})}}={\frac {3}{6}}/-{\frac {3}{6}}=-1$

$y={\frac {({\frac {4}{2}}-{\frac {7}{5}})}{({\frac {3}{2}}-{\frac {6}{7}})}}={\frac {6}{10}}/{\frac {3}{14}}={\frac {84}{30}}$