Với
Chu vi , Diện tích , Thể tích [ sửa ]
Chu vi
P
=
d
π
=
2
r
π
{\displaystyle P=d\pi =2r\pi }
Diện tích
S
=
r
2
.
π
{\displaystyle S=r^{2}.\pi }
A
=
(
d
2
.
π
)
/
4
{\displaystyle A=(d^{2}.\pi )/4}
Thể tích
Hàm số hình tròn hệ số thực [ sửa ]
Hình tròn bán kín Z đơn vị (R=Z)
X
2
+
Y
2
=
Z
2
{\displaystyle X^{2}+Y^{2}=Z^{2}}
Hình tròn bán kín 1 đơn vị (R=1)
X
2
+
Y
2
=
Z
2
{\displaystyle X^{2}+Y^{2}=Z^{2}}
(
X
Z
)
2
+
(
Y
Z
)
2
=
(
Z
Z
)
2
{\displaystyle ({\frac {X}{Z}})^{2}+({\frac {Y}{Z}})^{2}=({\frac {Z}{Z}})^{2}}
cos
2
θ
+
sin
2
θ
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}
sec
2
θ
−
tan
2
θ
=
1
{\displaystyle \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1}
sec
2
θ
−
tan
2
θ
=
1
{\displaystyle \sec ^{2}\theta -\tan ^{2}\theta =1}
Hàm số hình tròn hệ số phức [ sửa ]
Hình tròn hệ số phức Hình Hàm số toán
Hình tròn bán kín Z đơn vị (R=Z)
Z
=
X
+
j
Y
{\displaystyle Z=X+jY}
Z
=
Z
(
cos
θ
+
j
sin
θ
)
{\displaystyle Z=Z(\cos \theta +j\sin \theta )}
Z
=
Z
e
j
θ
{\displaystyle Z=Ze^{j\theta }}
1
=
X
+
j
Y
Z
{\displaystyle 1={\frac {X+jY}{Z}}}
1
=
(
cos
θ
+
j
sin
θ
)
{\displaystyle 1=(\cos \theta +j\sin \theta )}
1
=
e
j
θ
{\displaystyle 1=e^{j\theta }}
Phương trình đường tròn [ sửa ] Phương trình hình tròn hệ số thực [ sửa ] Dạng tổng quát
X
2
+
Y
2
=
0
{\displaystyle X^{2}+Y^{2}=0}
Giải phương trình
X
=
−
Y
2
=
±
j
Y
{\displaystyle X={\sqrt {-Y^{2}}}=\pm jY}
Y
=
−
X
2
=
±
j
X
{\displaystyle Y={\sqrt {-X^{2}}}=\pm jX}
Phương trình hình tròn hệ số phức [ sửa ] Dạng tổng quát
X
+
j
Y
=
0
{\displaystyle X+jY=0}
Giải phương trình
X
=
−
j
Y
{\displaystyle X=-jY}
j
Y
=
−
X
{\displaystyle jY=-X}
Y
=
j
X
{\displaystyle Y=jX}
Vectơ đường tròn [ sửa ] Đường tròn hệ số thực [ sửa ]
Z
→
=
X
→
+
Y
→
=
X
i
→
+
Y
j
→
=
∇
⋅
Z
→
+
∇
×
Z
→
{\displaystyle {\vec {Z}}={\vec {X}}+{\vec {Y}}=X{\vec {i}}+Y{\vec {j}}=\nabla \cdot {\vec {Z}}+\nabla \times {\vec {Z}}}
X
→
=
X
i
→
=
∇
⋅
Z
→
{\displaystyle {\vec {X}}=X{\vec {i}}=\nabla \cdot {\vec {Z}}}
Y
→
=
Y
j
→
=
∇
×
Z
→
{\displaystyle {\vec {Y}}=Y{\vec {j}}=\nabla \times {\vec {Z}}}
Với
X
=
x
−
x
o
=
Δ
x
=
Z
cos
θ
{\displaystyle X=x-x_{o}=\Delta x=Z\cos \theta }
Y
=
y
−
y
o
=
Δ
y
=
Z
sin
θ
{\displaystyle Y=y-y_{o}=\Delta y=Z\sin \theta }
Z
=
Y
X
=
y
−
y
o
x
−
x
o
=
Δ
y
Δ
x
=
T
a
n
θ
{\displaystyle Z={\frac {Y}{X}}={\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=Tan\theta }
θ
=
T
a
n
−
1
Y
X
{\displaystyle \theta =Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}}
Đường tròn hệ số thực [ sửa ]
Z
=
X
+
j
Y
=
z
(
cos
θ
+
j
sin
θ
)
=
z
e
j
θ
{\displaystyle Z=X+jY=z(\cos \theta +j\sin \theta )=ze^{j\theta }}
Cung trong hình học (ký hiệu: ⌒ ) là đoạn đóng của một đường cong khả vi trong một đa tạp. Cung tròn là một phần của đường tròn hay là một phần của chu vi (biên) của hình tròn.
Độ dài cung tròn [ sửa ] Độ dài cung tròn của đường tròn bán kính
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
θ
r
{\displaystyle \theta r\,\!}
L
c
h
u
v
i
=
θ
2
π
.
{\displaystyle {\frac {L}{\mathrm {chuvi} }}={\frac {\theta }{2\pi }}.\,\!}
tương đương
L
2
π
r
=
θ
2
π
,
{\displaystyle {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {\theta }{2\pi }},\,\!}
tương đương
L
=
θ
r
.
{\displaystyle L=\theta r.\,\!}
Nếu số đo góc ở tâm là
α
{\displaystyle \alpha }
θ
=
α
180
π
,
{\displaystyle \theta ={\frac {\alpha }{180}}\pi ,\,\!}
Thế vào phương trình trên, thu được công thức tương đương
L
=
α
π
r
180
.
{\displaystyle L={\frac {\alpha \pi r}{180}}.\,\!}
Một cách thực hành tính độ dài cung tròn là vẽ hai đoạn thẳng từ hai đầu mút giới hạn cung tròn đến tâm đường tròn, đo góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó rồi từ đó nhân chéo để tính ra độ dài L:
số đo góc (tính bằng độ)/360 = L/Chuvi. Ví dụ: cho số đo góc là 60 độ, chu vi là 24 cm
60
360
=
L
24
{\displaystyle {\frac {60}{360}}={\frac {L}{24}}}
360
L
=
1440
{\displaystyle 360L=1440}
L
=
4
{\displaystyle L=4}
Diện tích [ sửa ] Diện tích phần giới hạn bởi cung tròn và tâm đường tròn (tức hình quạt tròn) là:
A
=
1
2
r
2
θ
.
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}
Chia hai vế cho
π
r
2
{\displaystyle {\pi r^{2}}}
Tỷ lệ giữa diện tích
A
{\displaystyle A}
θ
{\displaystyle \theta }
A
π
r
2
=
θ
2
π
.
{\displaystyle {\frac {A}{\pi r^{2}}}={\frac {\theta }{2\pi }}.}
Giản lược
π
{\displaystyle \pi }
A
r
2
=
θ
2
.
{\displaystyle {\frac {A}{r^{2}}}={\frac {\theta }{2}}.}
Nhân hai vế với
r
2
{\displaystyle r^{2}}
A
=
1
2
r
2
θ
.
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}r^{2}\theta .}
Tương tự phần trên, công thức tương đương nếu số đo góc đo bằng độ:
A
=
α
360
π
r
2
.
{\displaystyle A={\frac {\alpha }{360}}\pi r^{2}.}
Bán kín [ sửa ] Có thể tính được bán kính
r
{\displaystyle r}
H
{\displaystyle H}
W
{\displaystyle W}
Xét dây trương cung của một cung tròn, tạm gọi là dây cung số 1. Đường trung trực của nó là một dây cung khác và là đường kính hình tròn, tạm gọi là dây cung số 2. Dây cung số 1 có độ dài là
W
{\displaystyle W}
W
2
{\displaystyle {\frac {W}{2}}}
2
r
{\displaystyle 2r}
H
{\displaystyle H}
(
2
r
−
H
)
{\displaystyle (2r-H)}
H
(
2
r
−
H
)
=
(
W
2
)
2
{\displaystyle H(2r-H)=\left({\frac {W}{2}}\right)^{2}}
suy ra:
2
r
−
H
=
W
2
4
H
{\displaystyle 2r-H={\frac {W^{2}}{4H}}}
do đó:
r
=
W
2
8
H
+
H
2
.
{\displaystyle r={\frac {W^{2}}{8H}}+{\frac {H}{2}}.}
Ứng dụng [ sửa ] 
