Sách hình học/Hình/Tam giác vuông

Tam giác vuông là một loại tam giác có 2 cạnh vuông góc với nhau cắt nhau tại một điểm tạo nên một góc vuông bằng $90^{o}$

c - Cạnh huyền

a - Cạnh đối

b - Cạnh kề

3 điểm . $A,B,C$
3 cạnh . $AB,BC,CA$
3 góc . $\angle A,\angle B,\angle C$
$\angle C=90^{o}$
${\overline {AC}}\perp {\overline {CB}}$

Tính chất

• Tam giác có 1 góc vuông là tam giác vuông
• Tam giác có 2 góc nhọn phụ nhau là tam giác vuông
• Tam giác có bình phương độ dài 1 cạnh bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh kia là tam giác vuông (định lý Pytago đảo)
• Tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông
• Tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó vuông
• Tam giác có cạnh đối diện góc 30° bằng một nửa một cạnh khác trong tam giác thì tam giác đó vuông.

Chu vi Diện tích Thể tích

Chu vi	$a+b+c$
Diện tích	${\frac {ba}{2}}$
Thể tích	$ab{\frac {h}{2}}$

Bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bán kính của đường tròn nội tiếp của một tam giác vuông với hai cạnh bên a và b và cạnh huyền c là:

$r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.$

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng chiều dài một nửa cạnh huyền

$R={\frac {c}{2}}.$

Đường cao

Đường cao của một tam giác vuông

Nếu một đường cao được vẽ từ đỉnh góc vuông cho tới cạnh huyền thì tam giác vuông được chia thành hai tam giác nhỏ hơn tương tự với tam giác gốc và tương tự với nhau. Từ đó:

• Chiều cao là trung bình nhân của hai đoạn cạnh huyền.
• Mỗi cạnh của tam giác vuông là trung bình nhân của cạnh huyền và hai đoạn của cạnh huyền kề với cạnh bên.

Công thức được viết là:

$\displaystyle f^{2}=de,$ (Đôi khi được gọi là Định lý đường cao tam giác vuông)

$\displaystyle b^{2}=ce,$

$\displaystyle a^{2}=cd$

Trong đó, a, b, c, d, e, f được thể hiện như trong biểu đồ. Do đó:

$fc=ab.$

Hơn nữa, chiều cao với cạnh huyền còn có liên quan tới các cạnh bên của tam giác vuông bằng

${\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.$

Tương quan các cạnh và góc

Hàm số góc lượng giác	Tỉ lệ cạnh	Đồ thị
Cosine	${\frac {X}{Z}}=\cos \theta$
Sine	${\frac {Y}{Z}}=\sin \theta$
Cosine	${\frac {1}{X}}=\sec \theta$
Cosecant	${\frac {1}{Y}}=\csc \theta$
Tangent	${\frac {Y}{X}}=\tan \theta$
Cotangent	${\frac {X}{Y}}=\cot \theta$

Định lý Pytago

Định lý Pytago phát biểu rằng:

Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này. (xem hình 3)

$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Tam giác vuông trên trục XY

Hàm số cạnh
Độ dài cạnh ngang	$X$	$x-x_{o}$	$\Delta x$	$Z\cos \theta$
Độ dài cạnh dọc	$Y$	$y-y_{o}$	$\Delta y$	$Z\sin \theta$
Độ dóc	$Z={\frac {Y}{X}}$	${\frac {y-y_{o}}{x-x_{o}}}$	${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$	$Tan\theta$
Độ nghiêng	$\theta =\tan ^{-1}Z$	$\theta =\tan ^{-1}{\frac {Y}{X}}$

Vector đương thẳng ngang	${\vec {X}}=X{\vec {i}}$
Vector đương thẳng dọc	${\vec {Y}}=Y{\vec {j}}$
Vector đương thẳng nghiêng	${\vec {Z}}=Z{\vec {k}}$

Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ dóc Z	$Y=ZX$ $y=y_{o}+Z(x-x_{o})$
Hàm số Đường thẳng nghiêng ở độ góc nghiêng θ	$Z\angle \theta ={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\angle Tan^{-1}{\frac {Y}{X}}$
Diện tích dưới hình	$s=X(y_{o}+{\frac {Y}{2}})=X(y_{o}+{\frac {ZX}{2}})=X(y-{\frac {ZX}{2}})={\frac {y^{2}-y_{o}^{2}}{2Z}}$