Sách hình học/Hình/Tam giác thường

Tính chất của tam giác hình học Euclide

1. Tổng các góc trong của một tam giác bằng 180^o (Định lý tổng ba góc trong của một tam giác)
2. Độ dài mỗi cạnh lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh kia và nhỏ hơn tổng độ dài của chúng. (Bất đẳng thức tam giác)
3. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. Ngược lại, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.(Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác).
4. Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trực tâm của tam giác. (Đồng quy tam giác)
5. Ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. (Đồng quy tam giác)
6. Ba đường trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. (Đồng quy tam giác)
7. Ba đường phân giác trong của tam giác cắt nhau tại một điểm là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. (Đồng quy tam giác)
8. Định lý hàm số cosin: Trong một tam giác, bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai canh còn lại trừ đi hai lần tích của độ dài hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.
9. Định lý hàm số sin: Trong một tam giác tỷ lệ giữa độ dài của mỗi cạnh với sin của góc đối diện là như nhau cho cả ba cạnh.

Tam giác đồng dạng

Hai tam giác được gọi là đồng dạng nếu một trong chúng bằng với một tam giác nhận được từ tam giác kia sau một phép vị tự.Các điều kiện cần và đủ để hai tam giác đồng dạng:

1. Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với nhau thì đồng dạng. (cạnh-cạnh-cạnh).
2. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì đồng dạng. (góc-góc).
3. Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ với góc xen giữa hai cặp cạnh ấy bằng nhau thì đồng dạng. (cạnh-góc-cạnh).

Các tính chất khác:

1. Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp và ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
2. Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Tam giác bằng nhau

Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi chúng có thể đặt trùng khít lên nhau sau một số phép tịnh tiến, quay và đối xứng. Nói cách khác hai tam giác được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi thỏa mãn một trong bảy điều kiện sau đây:

1. Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh).
2. Hai tam giác có hai cặp cạnh bất kỳ tương ứng bằng nhau và cặp góc xen giữa các cạnh đó bằng nhau thì bằng nhau (cạnh-góc-cạnh).
3. Hai tam giác có một cặp cạnh bất kỳ bằng nhau và hai cặp góc kề với cặp cạnh ấy bằng nhau thì bằng nhau (góc-cạnh-góc).
4. Hai tam giác có hai cặp cạnh bằng nhau và một cặp đường cao bằng nhau thì chúng bằng nhau.
5. Hai tam giác có hai cặp cạnh bất kỳ tương ứng và một cặp góc có vị trí tương ứng bằng nhau thì chúng bằng nhau.
6. Hai tam giác có hai cặp góc bất kỳ và một cặp cạnh bất kỳ bằng nhau thì chúng bằng nhau (hai góc + một cạnh)
7. Quan hệ bằng nhau giữa các tam giác là trường hợp đặc biệt của quan hệ đồng dạng giữa các tam giác khi các cạnh tỷ lệ nhau theo hệ số tỷ lệ là 1

Định lý cạnh hình tam giác

Định lý Sin

Trong lượng giác, định lý sin (hay định luật sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác bất kì với sin của các góc tương ứng. Định lý sin được biểu diễn dưới dạng

${\frac {a}{\sin A}}\,=\,{\frac {b}{\sin B}}\,=\,{\frac {c}{\sin C}}\!$.

trong đó a, b, c là chiều dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được viết dưới dạng nghịch đảo:

 ${\frac {\sin A}{a}}\,=\,{\frac {\sin B}{b}}\,=\,{\frac {\sin C}{c}}.\!$

Thí dụ 1

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lý sin ta có

${\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.$

$A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.$

Thí dụ 2

Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c, là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

$\angle A=\angle B={\frac {180^{\circ }-\angle C}{2}}=90-{\frac {\angle C}{2}}\!$

và

${R \over \sin A}={{\mbox{c}} \over \sin C}{\text{ v }}{R \over \sin B}={{\mbox{c}} \over \sin C}\,\!$

${{\mbox{c}}\,\sin A \over \sin C}=R{\text{ v }}{{\mbox{c}}\,\sin B \over \sin C}=R.\!$

Định lý Cos

Trong lượng giác, định lý cos biểu diễn sự liên quan giữa chiều dài của các cạnh của một tam giác phẳng với cosin của góc tương ứng:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$

Định lý cos khái quát định lý Pytago (định lý Pytago là trường hợp riêng trong tam giác vuông): nếu γ là góc vuông thì cos γ = 0, và định lý cos trở thành định lý Pytago:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

Chu vi Diện tích Thể tích

Chu vi	$a+b+c$
Diện tích	${\frac {ba}{2}}$
Thể tích	$ab{\frac {h}{2}}$