Sách điện từ/Phương trình Maxwell

Tủ sách mở Wikibooks

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

Phương trình Maxwell[sửa]

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng chữ đậmvectơ, trong khi đó những ký hiệu in nghiêngvô hướng.

Tên Phương trình vi phân riêng phần Dạng tích phân
Định luật Gauss:
Đinh luật Gauss cho từ trường
(sự không tồn tại của từ tích):
Định luật Faraday cho từ trường:
Định luật Ampere
(với sự bổ sung của Maxwell):

Hay

Tên Phương trình vi phân riêng phần Dạng tích phân
Định luật Gauss:
Đinh luật Gauss cho từ trường
(sự không tồn tại của từ tích):
Định luật Faraday cho từ trường:
Định luật Ampere
(với sự bổ sung của Maxwell):

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị trong hệ SI
Cường độ điện trường volt / mét
Cường độ từ trường ampere / mét
Độ điện dịch
(Điện cảm)
coulomb / mét vuông
Vectơ cảm ứng từ
tesla,
weber / mét vuông
Mật độ điện tích,
coulomb / mét khối
Mật độ dòng điện,
ampere / mét vuông
Vectơ vi phân diện tích A, có hướng vuông góc với mặt S mét vuông
Vi phân của thể tích V được bao bọc bởi diện tích S mét khối
Vectơ vi phân của đường cong, tiếp tuyến với đường kính C bao quanh diện tích S mét
(còn gọi là div) toán tử tính suất tiêu tán: trên mét
(còn gọi là rot) toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ. trên mét

Các đại lượng DB liên hệ với EH bởi:

trong đó:

hệ số cảm ứng điện của môi trường,
hệ số cảm ứng từ của môi trường,
εhằng số điện môi của môi trường, và
μhằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerrhiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính[sửa]

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không[sửa]

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε0μ0 (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

Ký hiệu Tên Giá trị Đơn vị trong hệ SI
Vận tốc ánh sáng mét trên giây
Độ điện thẩm chân không fara / mét
Độ từ thẩm chân không henry / mét