Sách điện từ/Phương trình Maxwell

Tủ sách mở Wikibooks

Các phương trình của Maxwell cho phép đoán trước được sự tồn tại của sóng điện từ, có nghĩa là khi có sự thay đổi của một trong các yếu tố như cường độ dòng điện, mật độ điện tích... sẽ sinh ra sóng điện từ truyền đi được trong không gian. Vận tốc của sóng điện từ là c, được tính bởi phương trình Maxwell, bằng với vận tốc ánh sáng được đo trước đó bằng thực nghiệm.

Điều này cho phép kết luận rằng ánh sáng là sóng điện từ. Các nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, tiêu biểu là các nghiên cứu của Max Planck về vật đen và của Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện đã cho ra đời lý thuyết lượng tử. Sự không phụ thuộc của vận tốc ánh sáng (Hằng số không đổi) vào chiều và hệ quy chiếu - những kết luận được rút ra từ phương trình Maxwell - là nền tảng của thuyết tương đối. Chú ý rằng khi ta thay đổi hệ quy chiếu, những biến đổi Galileo cổ điển không áp dụng được vào các phương trình Maxwell mà phải sử dụng một biến đổi mới, đó là biến đổi Lorentz. Einstein đã áp dụng biến đổi Lorentz vào cơ học cổ điển và cho ra đời thuyết tương đối hẹp.

Phương trình Maxwell[sửa]

Các phương trình Maxwell bao gồm bốn phương trình, đề ra bởi James Clerk Maxwell, dùng để mô tả trường điện từ cũng như những tương tác của chúng đối với vật chất. Bốn phương trình Maxwell mô tả lần lượt:

Bảng sau đây tóm tắt các phương trình và khái niệm cho trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng chữ đậmvectơ, trong khi đó những ký hiệu in nghiêngvô hướng.

Tên Dạng phương trình vi phân Dạng tích phân
Định luật Gauss:
Đinh luật Gauss cho từ trường
(sự không tồn tại của từ tích):
Định luật Faraday cho từ trường:
Định luật Ampere
(với sự bổ sung của Maxwell):

Bảng sau đây liệt kê khái niệm của các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Ký hiệu Ý nghĩa Đơn vị trong hệ SI
Cường độ điện trường volt / mét
Cường độ từ trường ampere / mét
Độ điện dịch
(Điện cảm)
coulomb / mét vuông
Vectơ cảm ứng từ
tesla,
weber / mét vuông
Mật độ điện tích,
coulomb / mét khối
Mật độ dòng điện,
ampere / mét vuông
Vectơ vi phân diện tích A, có hướng vuông góc với mặt S mét vuông
Vi phân của thể tích V được bao bọc bởi diện tích S mét khối
Vectơ vi phân của đường cong, tiếp tuyến với đường kính C bao quanh diện tích S mét
(còn gọi là div) toán tử tính suất tiêu tán: trên mét
(còn gọi là rot) toán tử tính độ xoáy cuộn của trường vectơ. trên mét

Các đại lượng DB liên hệ với EH bởi:

trong đó:

hệ số cảm ứng điện của môi trường,

hệ số cảm ứng từ của môi trường,

εhằng số điện môi của môi trường, và

μhằng số từ môi của môi trường.

Khi hai hằng số ε and μ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường, ta có hiện tượng phi tuyến; xem thêm trong các bài hiệu ứng Kerrhiệu ứng Pockels.)

Trong môi trường tuyến tính[sửa]

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb / mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere / mét) cho bởi:

Trong môi trường không tán sắc (các hằng số không phụ thuộc vào tần số của sóng điện từ), và đẳng hướng (không biến đổi đối với phép quay), ε và μ không phụ thuộc vào thời gian, phương trình Maxwell trở thành:

Trong môi trường đồng đều (không biến đổi đối với phép tịnh tiến), ε và μ không đổi theo không gian, và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm theo không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là tensor hạng 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Và trong các môi trường tán sắc ε và/hoặc μ phụ thuộc vào tần số ánh sáng (sóng điện từ), những sự phụ thuộc này tuân theo mối liên hệ Kramers-Kronig.

Trong chân không[sửa]

Chân không là môi trường tuyến tính, đồng đẳng (không biến đổi theo phép quay và phép tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε0μ0 (hiện tượng phi tuyến trong chân không vẫn tồn tại nhưng chỉ quan sát được khi cường độ ánh sáng vượt qua một ngưỡng rất lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất).

Đồng thời trong chân không không tồn tại điện tích cũng như dòng điện, phương trình Maxwell trở thành:

Những phương trình này có nghiệm đơn giản là các hàm sin và cos mô tả sự truyền sóng điện từ trong chân không, vận tốc truyền sóng là:

Ký hiệu Tên Giá trị Đơn vị trong hệ SI
Vận tốc ánh sáng mét trên giây
Độ điện thẩm chân không fara / mét
Độ từ thẩm chân không henry / mét

Tổng kết[sửa]

Phương trình Maxwell

Tên Dạng phương trình vi phân Dạng tích phân
Định luật Gauss:
Đinh luật Gauss cho từ trường
(sự không tồn tại của từ tích):
Định luật Faraday cho từ trường:
Định luật Ampere
(với sự bổ sung của Maxwell):

Phương trình sóng điện từ

Hàm số sóng điện từ

Với